В'язкість

У попередньому розділі ми говорили про поведінку води,   нехтуючи  при  цьому   ефектами в'язкості. Тепер же мені хотілося б обговорити, як в'язкість впливає на течію рідини. Розглянемо реальну поведінку рідини. Я опишу  якісно, як поводиться рідина в найрізноманітніших умовах, так щоб ви краще відчули цю  науку. І  хоча  ви  побачите складні  рівняння  і  почуєте  про важкі речі,   наша  мета зовсім не в тому, щоб вивчити всі тонкощі. Мета цього розділу швидше «загальноосвітня»,  просто я хочу  дати вам  деяке   уявлення про  те,  як  влаштований світ.  Однак тут все ж є один пункт, який вартий того, щоб його вивчити: корисно знати просте  визначення   в'язкості. З   нього ми й почнемо. Все ж інше призначене для вашого задоволення.
 
У попередньому розділі ми знайшли, що закони руху рідини  містяться  в  рівнянні

У нашому наближенні «сухої» води ми відкидали останній доданок, так що всіма ефектами в'язкості ми нехтували. Крім того, ми іноді робили ще додаткове наближення, вважаючи рідину нестисливою, і при цьому отримували додаткове рівняння:

Це наближення часто виявляється цілком пристойним, особливо коли швидкість потоку набагато менша за швидкість звуку. Але в реальних рідинах ми майже ніколи не можемо знехтувати внутрішнім тертям, яке ми називаємо в'язкістю; більшість цікавих речей у поведінці рідини так чи інакше пов'язана саме з цією властивістю. Так, ми дізналися, що циркуляція «сухої» води ніколи не змінюється: якщо її не було спочатку, то вона ніколи й не з'явиться. Але водночас ми щодня стикаємося з циркуляцією в рідині. Тож нашу теорію треба підправити.
 
Почнемо з важливого експериментального факту. Коли ми займалися потоком «сухої» води, що обтікає якийсь предмет або тече повз нього, тобто так званим «потенціальним потоком», у нас не було причин забороняти воді мати складову швидкості, тангенціальну до поверхні предмета; лише нормальна компонента мала дорівнювати нулю. Ми не брали до уваги можливість виникнення сил зсуву між рідиною і твердим тілом. А от виявляється, хоча це далеко не очевидно, що в усіх випадках, де це було перевірено експериментально, швидкість рідини на поверхні твердого тіла точно дорівнює нулю. Ви, звісно, помічали, що лопаті вентилятора збирають на себе тонкий шар пилу, і це попри те, що вони обертаються в повітрі. Той самий ефект можна спостерігати навіть у великих аеродинамічних трубах. Чому ж пил не здувається повітрям? Незважаючи на те що лопаті вентилятора швидко обертаються в повітрі, швидкість повітря відносно них, виміряна безпосередньо на їхній поверхні, дорівнює нулю, так що потік повітря не турбує навіть найдрібніших порошинок. Ми повинні модифікувати теорію так, щоб вона узгоджувалася з тим експериментальним фактом, що в усіх звичайних рідинах молекули, які перебувають поряд з поверхнею, мають нульову  швидкість (відносно поверхні).
Спочатку ми характеризували рідину так, що якщо прикласти до неї напруження зсуву, то, хоч би яким малим воно було, рідина «піддається» і тече. У статичному випадку жодних напружень зсуву немає. Однак, коли рівноваги ще немає, у момент, коли ви тиснете на рідину, сили зсуву цілком можуть бути. В'язкість якраз і описує ці сили, що виникають у рідині, яка рухається. Щоб виміряти сили зсуву в процесі руху рідини, розглянемо такий експеримент. Припустімо, що є дві плоскі тверді пластини, між якими міститься вода (фіг. 41.1), причому одна з пластин нерухома, тоді як інша рухається паралельно їй з малою швидкістю v₀. Якщо ви вимірюватимете силу, потрібну для підтримання руху верхньої пластини, то знайдете, що вона пропорційна площі пластини і відношенню v₀/d, де d — відстань між пластинами. Таким чином,  напруження зсуву F/A пропорційне  v₀/d:

Коефіцієнт пропорційності η називається коефіцієнтом в'язкості.
 
Якщо перед нами складніший випадок, то ми завжди можемо розглянути у воді невеликий плоский прямокутний об'єм, грані якого паралельні потоку (фіг. 41.2). Сили в цьому об'ємі визначаються виразом

Далі, ∂v_x/∂y являє собою швидкість зміни деформацій зсуву, визначених нами в розд. 38, так що сили в рідині пропорційні  швидкості зміни деформацій  зсуву.
 
У загальному  випадку ми пишемо

При рівномірному обертанні рідини похідна ∂v_x/∂y дорівнює ∂v_y/∂x з протилежним знаком, a S_xy дорівнюватиме нулю, як це й потрібно, бо в рівномірно  обертовій рідині напруження відсутні. (Подібну ж річ ми робили в розд. 39 при визначенні е_xy.)  Зрозуміло, що для S_yz і S_zx теж є відповідні вирази.
 
Як приклад застосування цих ідей розглянемо рух рідини між двома коаксіальними циліндрами. Нехай радіус внутрішнього циліндра дорівнює a, його швидкість буде v_a, а радіус зовнішнього циліндра нехай буде b, а швидкість дорівнює v_b (фіг. 41.3). Виникає питання, який розподіл швидкостей між циліндрами? Щоб відповісти на нього, почнемо з отримання формули для в'язкого зсуву в рідині на відстані r від осі. Із симетрії задачі можна припустити, що потік завжди тангенціальний і що його величина залежить тільки від r; v=v(r). Якщо ми поспостерігаємо за смітинкою у воді, розташованою на відстані r від осі, то її координати як функції часу будуть

де ω = v/r. При цьому х- і y-компоненти швидкості дорівнюють

З формули (41.3) отримуємо

Для точок з y = 0  маємо  ∂ω/∂y = 0,  а x (∂ω/∂х)  дорівнюватиме r (dω/dr). Тож у цих точках

(Розумно думати, що величина S має залежати від ∂ω/∂r, коли ω не змінюється з r, рідина перебуває в стані рівномірного обертання і напруження в ній не виникають.)
 
Обчислене нами напруження являє собою тангенціальний зсув, однаковий всюди навколо циліндра. Ми можемо отримати момент сил, що діє на циліндричній поверхні радіусом r, шляхом множення напруження зсуву на плече імпульсу r та площу 2πrl:

Оскільки рух води стаціонарний і кутове прискорення відсутнє, то повний момент, що діє на циліндричну поверхню води між радіусами r і r + dr, має дорівнювати нулю; іншими словами, момент сил на відстані r має врівноважуватися рівним йому і протилежно спрямованим моментом сил на відстані r + dr, так що τ не повинно залежати від r. Іншими словами, r³ (dω/dr) дорівнює деякій сталій, скажімо A, і

Інтегруючи, знаходимо, як ω змінюється з r:

Сталі  A  і  В  мають  визначатися  з умови, що ω = ω_a у точці r = a, а ω = ω_b у точці  r = b.   Тоді знаходимо

Таким чином, ω як функція r нам відома, а отже, відома і v = ωr.
 
Якщо ж нам потрібно визначити момент сил, то його можна отримати з виразів (41.7) і (41.8):

Він пропорційний відносній кутовій швидкості двох циліндрів. Є стандартний прилад для вимірювання коефіцієнтів  в'язкості, який влаштований таким чином: один з циліндрів (скажімо, зовнішній) насаджено на вісь, але утримується в нерухомому стані пружинним динамометром, який вимірює момент сил, що діє на нього, а внутрішній циліндр обертається зі сталою кутовою швидкістю. Коефіцієнт в'язкості визначається при цьому з формули (41.11).
 
З визначення коефіцієнта в'язкості ви бачите, що η вимірюється в ньютон·с/м². Для води при 20° С

Часто зручніше буває користуватися питомою в'язкістю, яка дорівнює η, поділеній на густину ρ. При цьому величини питомих в'язкостей води й повітря порівнянні:

Зазвичай в'язкість дуже сильно залежить від температури. Наприклад, для води безпосередньо над точкою замерзання відношення η/ρ в 1,8 раза більше, ніж при 20° С.