В'язкий потік

Перейдемо тепер до загальної теорії в'язкого потоку, принаймні настільки загальної, наскільки це відомо людині. Ви вже розумієте, що компоненти напружень зсуву пропорційні просторовим похідним від різних компонент швидкості, таких, як ∂v_x/∂y або ∂v_y/∂x. Однак у загальному випадку стисливої рідини в напруженнях є ще й інший член, який залежить від інших похідних швидкості.  Загальний вираз має вигляд

де x_i — будь-яка з координат х, у або z; v_i — будь-яка з прямокутних складових швидкості. (Значок δ_ij позначає символ Кронекера, який дорівнює одиниці при i=j і нулю при i≠j) До всіх діагональних елементів S_ij тензора напружень додається додатковий член η′∇·v. Якщо рідина нестислива, то ∇·v = 0 і додаткового члена не з'являється, так що він справді має відношення до внутрішніх сил при стисканні. Для опису рідини, так само як і для опису однорідного пружного тіла, потрібні дві сталі. Коефіцієнт η являє собою «звичайний» коефіцієнт в'язкості, який ми вже враховували. Він називається також першим коефіцієнтом в'язкості, а новий коефіцієнт η′ називається другим  коефіцієнтом в'язкості.
 
Тепер нам належить знайти в'язку силу f_в'язк , що діє на одиницю об'єму, після чого ми зможемо підставити її в рівняння (41.1) і отримати рівняння руху реальної рідини. Сила, що діє на маленький кубічний об'єм рідини, являє собою рівнодійну всіх сил, що діють на всі шість граней. Взявши їх по дві одразу, ми отримаємо різницю, яка залежить від похідних напружень, а отже, від других похідних швидкостей. Це приємний результат, бо він приведе нас знову до векторного рівняння. Компонента в'язкої сили, що діє на одиницю об'єму в напрямку осі x_i, дорівнює

Зазвичай залежність коефіцієнтів в'язкості від координат положення несуттєва, і нею можна знехтувати. Тоді в'язка сила на одиницю об'єму містить лише другі похідні швидкості. Ми бачили в розд. 39, що найзагальнішою формою других похідних у векторному рівнянні буде сума Лапласіана (∇·∇)v=∇²v і градієнта дивергенції (∇(∇·v)). Вираз (41.14) являє собою якраз таку суму з коефіцієнтами η і (η + η′). Ми отримуємо

У випадку нестисливої рідини ∇ · v = 0 і в'язка сила в одиниці об'єму буде просто дорівнювати η∇²v. Це і все, чим зазвичай користуються; однак якщо вам знадобиться обчислити поглинання звуку в рідині, то вам знадобиться і другий член. Тепер ми можемо закінчити виведення рівняння руху реальної рідини. Підставляючи (41.15) у рівняння (41.1), отримуємо

Рівняння вийшло, звісно, складне, але нічого не вдієш, така природа.
 
Якщо ми  введемо Ω = ∇×v,  як  робили це раніше, то наше рівняння можна  записати у вигляді

Ми знову припускаємо, що єдиними об'ємними силами є консервативні сили на кшталт сил тяжіння. Щоб зрозуміти сенс нового члена, давайте розглянемо випадок нестисливої рідини. Якщо ми візьмемо ротор рівняння (41.16), то отримаємо

Це нагадує (40.9) з тією лише різницею, що в правій частині є ще один доданок. Коли права частина дорівнювала нулю, то мала місце теорема Гельмгольца про те, що вихори завжди рухаються разом з рідиною. Тепер же в правій частині з'явився досить складний вираз, з якого, однак, не одразу випливають фізичні висновки. Якби ми знехтували членом ∇×(Ω×v), то отримали б дифузійне рівняння. Новий член означає, що вихори дифундують у рідині. При великому градієнті вихори розповзаються в сусідні  області рідини.
 
Саме тому потовщуються кільця тютюнового диму. З цим же пов'язане красиве явище, що виникає при проходженні кільця «чистого» вихору (тобто «бездимного» кільця, створеного за допомогою описаної в попередньому розділі апаратури) крізь хмару диму. Коли воно виходить із хмари, до нього «прилипає» певна кількість диму, і ми бачимо порожнисту оболонку з диму. Якась кількість завихреності Ω дифундує в навколишній дим, продовжуючи свій рух вперед разом з вихором.