Черговий тип сил, який нам належить розглянути,— це псевдосили. У розд. 11 ми обговорили взаємини двох молодих людей, Джо і Міка, володарів різних систем координат. Нехай положення частинки за вимірюваннями Міка є x, а Джо дає для неї х`: тоді зв'язок між ними такий:
x = x` +s, y = y`, z = z`,
де s показує, наскільки змістилася система Джо відносно системи Міка. Нехай у Міка в системі виконуються закони руху. Як вони виглядають для Джо? Спершу ми виявимо, що
dx/dt = dx`/dt + ds/dt.
Раніше ми вважали s сталою і переконалися, що закони руху при цьому не змінюються, оскільки ds/dt = 0; врешті-решт в обох системах усі закони фізики однакові. Але нехай s = ut, де u— стала швидкість руху по прямій. Тоді s непостійна ds/dt — не нуль, а u, тобто константа. Але прискорення d2x/dt2 таке саме, як d2x`/dt2, бо du/dt = 0. Цим доводиться закон, використаний у розд. 10, а саме: коли ми рухаємося по прямій зі сталою швидкістю, усі закони фізики виглядають так, ніби ми стояли. Це перетворення Галілея. А тепер ми хочемо розглянути випадок цікавіший, коли s залежить від часу ще складніше, наприклад s = at2/2. Тоді ds/dt = at, a d2s/dt2 = a, тобто прискорення стале; можна розглянути також випадок, коли прискорення саме виявляється функцією часу. Це означає, що хоча закон сили з погляду Джо виглядає як
m·d2x/dt2 = Fx,
але закон сили, на думку Міка, інший:
m·d2x`/dt2 = Fx` - ma
Іншими словами, оскільки система координат Міка прискорюється відносно системи Джо, з'являється додатковий член ma. Щоб працювати із законами Ньютона, Мік зобов'язаний підправити сили, ввести в них цей член. Іншими словами, з'являється уявна, містична, нова сила невідомого походження; вона виникає, звісно, через те, що в Міка координатна система неправильна. Це — приклад псевдосили; з іншими прикладами можна зустрітися, якщо система координат обертається. Прикладом псевдо- (ніби-, начебто-) сили є добре відома «відцентрова сила». Спостерігач у системі координат, що обертається (в ящику, що обертається), виявить таємничі сили, не викликані жодним з відомих джерел сил; вони відкидають предмети до стінки ящика. А пояснюються вони просто тим, що у спостерігача немає ньютонової системи координат — найпростішої з усіх. Псевдосили виявляються в цікавому досліді, що полягає в тому, що ми штовхаємо з прискоренням глек з водою по столу. Тяжіння діє на воду вниз, але через горизонтальне прискорення є ще й псевдосила в горизонтальному напрямку, назад відносно прискорення. Сума сили тяжіння і псевдосили утворює кут з вертикаллю, під час прискорення поверхня води перпендикулярна до цієї суми сил, тобто нахилена під кутом до столу, і вода піднята до задньої стінки глека. Коли ми перестаємо штовхати глек, коли він сповільнюється внаслідок тертя, псевдосила змінює свій напрямок і вода приливає до передньої стінки глека (рис. 12.4).
x = x` +s, y = y`, z = z`,
де s показує, наскільки змістилася система Джо відносно системи Міка. Нехай у Міка в системі виконуються закони руху. Як вони виглядають для Джо? Спершу ми виявимо, що
dx/dt = dx`/dt + ds/dt.
Раніше ми вважали s сталою і переконалися, що закони руху при цьому не змінюються, оскільки ds/dt = 0; врешті-решт в обох системах усі закони фізики однакові. Але нехай s = ut, де u— стала швидкість руху по прямій. Тоді s непостійна ds/dt — не нуль, а u, тобто константа. Але прискорення d2x/dt2 таке саме, як d2x`/dt2, бо du/dt = 0. Цим доводиться закон, використаний у розд. 10, а саме: коли ми рухаємося по прямій зі сталою швидкістю, усі закони фізики виглядають так, ніби ми стояли. Це перетворення Галілея. А тепер ми хочемо розглянути випадок цікавіший, коли s залежить від часу ще складніше, наприклад s = at2/2. Тоді ds/dt = at, a d2s/dt2 = a, тобто прискорення стале; можна розглянути також випадок, коли прискорення саме виявляється функцією часу. Це означає, що хоча закон сили з погляду Джо виглядає як
m·d2x/dt2 = Fx,
але закон сили, на думку Міка, інший:
m·d2x`/dt2 = Fx` - ma
Іншими словами, оскільки система координат Міка прискорюється відносно системи Джо, з'являється додатковий член ma. Щоб працювати із законами Ньютона, Мік зобов'язаний підправити сили, ввести в них цей член. Іншими словами, з'являється уявна, містична, нова сила невідомого походження; вона виникає, звісно, через те, що в Міка координатна система неправильна. Це — приклад псевдосили; з іншими прикладами можна зустрітися, якщо система координат обертається. Прикладом псевдо- (ніби-, начебто-) сили є добре відома «відцентрова сила». Спостерігач у системі координат, що обертається (в ящику, що обертається), виявить таємничі сили, не викликані жодним з відомих джерел сил; вони відкидають предмети до стінки ящика. А пояснюються вони просто тим, що у спостерігача немає ньютонової системи координат — найпростішої з усіх. Псевдосили виявляються в цікавому досліді, що полягає в тому, що ми штовхаємо з прискоренням глек з водою по столу. Тяжіння діє на воду вниз, але через горизонтальне прискорення є ще й псевдосила в горизонтальному напрямку, назад відносно прискорення. Сума сили тяжіння і псевдосили утворює кут з вертикаллю, під час прискорення поверхня води перпендикулярна до цієї суми сил, тобто нахилена під кутом до столу, і вода піднята до задньої стінки глека. Коли ми перестаємо штовхати глек, коли він сповільнюється внаслідок тертя, псевдосила змінює свій напрямок і вода приливає до передньої стінки глека (рис. 12.4).
Зображення
Дуже важливою властивістю псевдосил слід вважати те, що вони завжди пропорційні масам; те саме справедливо і для тяжіння. Існує тому можливість, що тяжіння — це теж псевдосила. Чи не може статися, що тяжіння викликається відсутністю правильної системи координат? Адже ми завжди можемо отримати силу, пропорційну масі, варто тільки уявити, що тіло прискорюється. Наприклад, людина, поміщена в ящик, який стоїть на землі, виявляє, що її щось притискає до підлоги з силою, пропорційною її масі. Якби землі не було зовсім, а ящик усе ще спочивав, то людина плавала б у просторі. З іншого боку, якби знову не було землі, а ящик хтось тягнув би вгору з прискоренням g, то людина в ящику, аналізуючи фізику цього явища, виявила б псевдосилу, що притискає її до підлоги точно так само, як це робить тяжіння.
Ейнштейн висунув знамениту гіпотезу, що прискорення викликає імітацію (подобу) тяжіння, що сили прискорення (псевдосили) не можна відрізнити від сил тяжіння; не можна сказати, яка частина даної сили — тяжіння, а яка — псевдосила.
Здавалося б, ніщо не заважає вважати тяжіння псевдосилою, казати, що нас притискає вниз через те, що нас прискорює вгору; але як бути з жителями Нової Зеландії, на іншому боці Землі — їх-то куди прискорює? Ейнштейн зрозумів, що тяжіння можна вважати псевдосилою одночасно тільки в одній точці; його міркування привели до припущення, що геометрія світу складніша за звичайну геометрію Евкліда. Наше обговорення питання суто якісне і не претендує ні на що, крім загальної ідеї.
Щоб пояснити в загальних рисах, як тяжіння може бути результатом дії псевдосил, ми наведемо суто геометричний приклад, що не має нічого спільного зі справжнім станом речей. Припустімо, що ми з вами живемо в двовимірному світі і нічого про третій вимір не знаємо. Ми б вважали, що живемо на площині, а насправді, припустімо, жили б на кулі; нехай тепер ми кинули предмет уздовж нашої поверхні, не діючи більше на нього жодними силами. Як би він рухався? Нам здавалося б, що він рухається по прямій лінії, але оскільки третього виміру немає і він повинен був би залишатися на поверхні кулі, то він рухався б по найкоротшій відстані на сфері, тобто по колу великого кола. Кинемо точно так само інший предмет, але в іншому напрямку; він попрямує теж по дузі великого кола. Ми думаємо, що перебуваємо на площині, і сподіваємося тому, що відстань між двома предметами зростатиме лінійно з плином часу. Але ретельні спостереження раптом виявлять, що на достатньо великій відстані предмети знову почнуть зближатися, ніби вони притягують одне одного. Але вони не притягуються одне до одного; уся справа в геометрії, це з нею відбувається щось «дивне». Хоча ця картина і не стосується геометрії Евкліда (не показує нам, що в ній є «дивного»), але вона показує, що, помітно спотворивши геометрію, можна все тяжіння віднести на рахунок псевдосили. У цьому й полягає загальна ідея теорії тяжіння Ейнштейна.