Фундаментальні сили. Поля

Ми хочемо побесідувати тепер про решту фундаментальних сил. Називаємо ми їх фундаментальними тому, що закони їхньої дії фундаментально прості. Спершу розглянемо електричну силу. Тіла несуть у собі електричні заряди, які складаються просто з електронів і протонів. Якщо два тіла заряджені, між ними діє електрична сила; якщо величини зарядів дорівнюють відповідно q₁ и q₂, то сила змінюється обернено пропорційно квадрату відстані між зарядами
F = (const)· (q₁q₂)/r²
Для різнойменних зарядів цей закон схожий на закон тяжіння, але для однойменних сила стає відштовхувальною, і її знак (напрямок) змінюється. Самі заряди q₁ і q₂ можуть бути і додатними, і від'ємними; практично, користуючись формулою, можна отримати правильний знак сили, якщо поставити біля q їхні знаки. Сила спрямована вздовж відрізка, що з'єднує заряди. Коефіцієнт у формулі залежить, звісно, від вибору одиниць сили, заряду і довжини. Зазвичай заряд вимірюють у кулонах, проміжок — у метрах, а силу — у ньютонах. Щоб отримати силу в ньютонах, константа (з історичних причин її пишуть у вигляді 1/(4πε₀) ) повинна набувати числового значення
1/(4πε₀) = 8,99*10⁹ ньютон*м²/кулон²
тобто
ε₀ = 8,854*10^-12 кулон²/ньютон*м²
Отже, закон сили для нерухомих зарядів має вигляд

У природі найважливіший з усіх зарядів — це заряд окремого електрона, він дорівнює 1,60*10^-19 кулон. Хто працює не з великими зарядами, а з електричними силами між фундаментальними частинками, ті воліють якось виділити сполучення (q_ел)²/4πε₀, в якому q_ел визначається як заряд електрона. Це сполучення часто трапляється, і для спрощення розрахунків його позначають е²; його числове значення в системі СІ виявляється рівним (1,52*10^-14)². Зручність користування константою в цій формі полягає в тому, що сила в ньютонах, яка діє між двома електронами, запишеться просто як e2/r2 (r дано в метрах), без жодних коефіцієнтів. Насправді електричні сили набагато складніші, ніж випливає з цієї формули, бо формула стосується нерухомих тіл. Зараз ми розглянемо загальніший випадок. Аналіз фундаментальних сил (не сил тертя, а електричних сил чи сил тяжіння) пов'язаний з цікавим і дуже важливим поняттям. Теорія цих сил набагато складніша, ніж це випливає із закону обернених квадратів. Цей закон діє лише тоді, коли взаємодіючі тіла перебувають у спокої. Тому потрібен вдосконалений метод поводження з дуже складними силами — силами, які виникають, коли тіла починають рухатися заплутаним чином. Як виявилося, для аналізу сил такого типу дуже корисний підхід, заснований на введенні поняття «поля». Щоб пояснити думку на прикладі, скажімо, електричної сили, покладімо, що в точці Р перебуває заряд q₁, а в точці R— заряд q₂. Сила, що діє між зарядами, дорівнює

Щоб проаналізувати цю силу за допомогою поняття поля, ми кажемо, що заряд q₁ у точці Р створює в точці В такі «умови», за яких заряд g₂, потрапляючи в В, «відчуває» дію сили. Це один із мислимих шляхів опису дії сили. Може, він виглядає дивно: ми кажемо, що дію сили F на заряд q₂ у точці R можна розбити на дві частини — на q₂ і Е, причому величина Е існує в точці R незалежно від того, є там заряд чи ні (аби всі інші заряди були на своїх місцях). Величина Е є «умова», створена зарядом q₁, a F — відповідь, відгук заряду q₂ на Е. Величину Е називають електричним полем. Це — вектор. Формула для електричного поля Е, створеного в точці R зарядом q₁, що перебуває в точці Р, така: заряд,  помножений на сталу 1/4πε0, поділений на r² (r — відстань від Р до R); поле діє в напрямку радіус-вектора (вектор напрямку радіус-вектора — це радіус-вектор, поділений на свою довжину). Таким чином, вираз для Е такий:

тобто зв'язуємо силу, поле і заряд у полі. У чому ж суть усього цього? Суть у тому, що аналіз розділяється на дві частини. Одна частина каже, що щось створює поле, а інша — що воно діє на щось. Дозволяючи нам розглядати дві частини незалежно, цей поділ спрощує в багатьох випадках розрахунки складних задач. Коли зарядів багато, то спершу ми розраховуємо сумарне електричне поле, створюване цими зарядами в R, а потім, знаючи величину заряду, поміщеного в R, знаходимо силу, що діє на нього. Та й у випадку тяжіння ми можемо зробити те саме. Сила тепер F = — Gm₁m₂r/r³. Аналіз повністю збігається: сила притягання тіла в полі тяжіння дорівнює добутку маси тіла на поле С. Сила, що діє на m₂, дорівнює масі m₂, помноженій на поле С. створене масою ти, тобто F= m₂G. Отже, поле С, створюване масою ть, є С = — Gm₁r/r³; воно, як і електричне поле, спрямоване по радіусу. Такий поділ на дві частини не такий уже тривіальний, як могло б здатися на перший погляд. Він був би тривіальним, був би просто іншим записом того самого, якби закони дії сил були зовсім прості, але вони дуже складні, і виявляється, що поле настільки реальне, що майже не залежить від об'єктів, які його створюють. Можна коливати заряд, і вплив цього (поле) позначиться на відстані. Якщо коливання припиняться, в полі все одно відчуватимуться сліди цих коливань, бо взаємодія двох частинок не відбувається миттєво. Тому й бажано вміти пам'ятати, що тут раніше відбувалося. Якщо сила дії на заряд залежить від того, де інший заряд був учора і яким він тоді був, то повинна бути можливість простежити за тим, що було вчора; у цьому й полягає сутність поля. Чим складніші сили, тим реальніше поле, і наша техніка поділу стає все менш і менш штучною. Бажаючи аналізувати сили за допомогою полів, ми потребуємо законів двоякого роду. Перші— це відгук на поле. Вони дають нам рівняння руху. Наприклад, закон відгуку маси на поле тяжіння полягає в тому, що сила дорівнює масі, помноженій на поле тяжіння, або якщо тіло ще й заряджене, то відгук заряду на електричне поле дорівнює заряду, помноженому на електричне поле. Друга частина аналізу природи в таких положеннях — це формулювання законів, що визначають напруженість поля і спосіб його виникнення. Ці закони іноді називають рівняннями поля. У потрібний момент ми з ними познайомимося, а поки скажемо про них лише кілька слів. Ось вам для початку найдивовижніша властивість поля, вона абсолютно точна і легко засвоюється. Загальне електричне поле, створюване групою джерел, є векторною сумою полів, створюваних окремо першим, другим і т. д. джерелами. Іншими словами, коли поле створене безліччю зарядів і якщо окреме поле першого є Е₁ а другого — Е₂ і т. д., то ми повинні просто скласти ці вектори, щоб отримати загальне поле. Цей принцип виражається у вигляді

або, у згоді з визначенням поля,

Чи можна ці методи застосувати до тяжіння? Силу притягання двох мас m₁ і m₂ Ньютон виразив у вигляді F= — Gm₁m₂r/r³. Але відповідно до поняття поля можна сказати, що m₁ створює поле С у всьому навколишньому просторі і сила, що притягує m₂, дорівнює

За аналогією з електрикою

і тоді поле тяжіння кількох мас дорівнює

У розд. 7, де розглядався рух планет, ми по суті використовували саме цей принцип. Ми складали всі вектори сил, щоб виявити загальну силу, що діє на планету. Поділивши на її масу, ми й отримаємо (12.10). Рівняння (12.6) і (12.10) виражають так званий принцип суперпозиції, або накладання полів. Цей принцип проголошує, що загальне поле кількох джерел є сумою полів, створюваних кожним з них. Наскільки нам нині відомо, цей закон в електриці напевно виконується навіть тоді, коли заряди рухаються і закон сил ускладнюється. Бувають іноді уявні порушення, але уважний аналіз завжди доводить, що просто забули якийсь із рухомих зарядів. Але на відміну від електричних зарядів, для сильних полів тяжіння він не зовсім точний. У теорії тяжіння Ейнштейна доводиться, що рівняння Ньютона (12.10) дотримується лише наближено. З електрикою тісно пов'язана сила іншого роду, звана магнітною; її теж можна аналізувати через поняття поля. Деякі з якісних зв'язків між цими силами видно в досліді з електронною трубкою (рис. 12.3). На одному кінці трубки поміщено джерело, що випускає потік електронів, а всередині є пристрій, що розганяє електрони до великої швидкості і посилає частину їх на світний екран на іншому кінці трубки. Світна пляма в центрі екрана, в місці ударів електронів, дозволяє простежити за їхнім шляхом. На шляху до екрана пучок проходить крізь вузьку щілину між паралельними металевими пластинами, розташованими, припустімо, плазом. До пластин підведено напругу, що дозволяє будь-яку з них заряджати негативно. Напруга створює між пластинами електричне поле.

У першій частині досліду негативна напруга подається на нижню пластину, тобто на ній утворюється надлишок електронів. Однойменні заряди відштовхуються, і тому світна пляма на екрані злітає раптово вгору. (Можна сказати й інакше: електрони «відчувають» поле і відповідають відхиленням угору.) Потім перемкнемо напругу і зарядимо негативно вже верхню пластину. Світна пляма на екрані опуститься вниз, показуючи, що електрони пучка відштовхуються електронами верхньої пластини. (Іншими словами, електрони «відповіли» на зміну напрямку поля.) У другій частині досліду напруга на пластини вже не подається, а натомість перевіряється вплив магнітного поля на електронний пучок. Для цього потрібен підковоподібний магніт, досить широкий, щоб «осідлати» практично всю трубку. Припустімо, що ми підвели магніт знизу до трубки, обхопили ним її і спрямували полюси догори (у вигляді літери U). Ми помічаємо, що пляма на екрані зміщується, скажімо, догори, коли магніт наближається знизу. Виходить, що магніт відштовхує пучок. Але не все так просто: якщо ми перевернемо магніт, не переставляючи його сторін, і наблизимо його до трубки згори, то пляма знову зсунеться вгору, тобто замість відштовхування настало притягання. А тепер повернемо магніт у початкове положення, коли він обхоплював трубку знизу. Так, пляма, як і раніше, відхиляється догори; але повернемо магніт на 180° навколо вертикальної осі, щоб він мав вигляд літери U, але вже з переставленими полюсами. Дивіться-но, пляма стрибає вниз і залишається там, навіть якщо ми перевертаємо тепер U догори ногами. Щоб зрозуміти таку своєрідну поведінку, потрібно вигадати якусь іншу комбінацію сил. Пояснюється все це ось як. Уздовж магніту, від полюса до полюса, тягнеться магнітне поле. Воно спрямоване завжди від одного певного полюса (який можна забезпечити якоюсь міткою) до іншого. Обертання магніту навколо його осі не змінює напрямку поля, а перестановка полюсів місцями змінює. Наприклад, якщо електрони летять горизонтально по осі х, а магнітне поле теж горизонтальне, але спрямоване по осі у, то магнітна сила, що діє на рухомий електрон, спрямована по осі z (угору або вниз, це вже залежить від того, як спрямоване поле — по осі у чи проти неї). Ми поки не дамо повного закону сил взаємодії зарядів, що рухаються один відносно одного в довільних напрямках, бо він надто складний, але натомість наведемо формули для випадку, коли поля відомі. Дія сили на заряджений предмет залежить від його руху; коли предмет нерухомий, сила, що діє на нього, вважається пропорційною заряду з коефіцієнтом, званим електричним полем. Коли тіло рухається, сила змінюється, і поправка, новий «шматок» сили, виявляється лінійно залежною від швидкості і спрямованою поперек швидкості v і поперек іншої векторної величини — магнітної індукції В. Коли складові електричного поля Е і магнітної індукції В суть відповідно (Е_x, Е_y, Е_z,) і (В_x, B_y, B_z), а складові швидкості v суть (v_x, v_y, v_z), то складові сумарної електричної і магнітної сил, що діють на рухомий заряд q, такі:

Якщо випадково магнітне поле має тільки компоненту В_y, а швидкість — тільки v_x, то у магнітної сили залишається складова вздовж z, поперек B і y.