Число Рейнольдса

Подивимося тепер, як змінюється течія рідини через новий член з в'язкістю. Розглянемо трохи докладніше дві задачі. Перша — обтікання рідиною циліндра; цю задачу ми намагалися розв'язати в попередньому розділі, використовуючи теорію нев'язкої рідини. Виявляється, що сьогодні можливо знайти розв'язок в'язких рівнянь лише для деяких особливих випадків. Тож дещо з того, про що я вам розповім, ґрунтується на експериментальних вимірюваннях, вважаючи, звісно, що експериментальна модель задовольняла рівнянню  (41.17).
 
Математично задача полягає в наступному: ми хочемо знайти розв'язок для потоку нестисливої в'язкої рідини поблизу довгого циліндра діаметром D. Потік має визначатися рівнянням (41.17) і

з умовою, що швидкість на великих відстанях дорівнює деякій сталій V (паралельній осі х), а на поверхні циліндра дорівнює нулю. Тож

Це повністю визначає математичну задачу.
 
Якщо ви вдивитеся в ці вирази, то побачите, що в задачі є чотири різні параметри: η, ρ, D і V. Можна подумати, що нам доведеться мати справу з цілою серією розв'язків для різних V, різних D і т. д. Зовсім ні. Усі можливі різні розв'язки відповідають різним значенням одного параметра. Такою є найважливіша загальна річ, яку ми можемо сказати про в'язкий потік. А щоб зрозуміти, чому це так, зауважте спочатку, що в'язкість і густина з'являються у вигляді відношення η/ρ, тобто питомої в'язкості. Це зменшує число незалежних параметрів до трьох. Припустімо тепер, що всі відстані ми вимірюємо в одиницях тієї єдиної довжини, яка з'являється в задачі: діаметра циліндра D, тобто замість х, у, z ми вводимо нові змінні х′, у′, z′, причому

При цьому параметр D з (41.19) зникає. Так само якщо вимірюватимемо всі швидкості в одиницях V, тобто якщо ми покладемо v = v′V, то позбудемося V, a v′ на великих відстанях буде просто дорівнювати одиниці. Оскільки ми зафіксували наші одиниці довжини і швидкості, то одиницею часу тепер має бути D/V, так що ми повинні зробити підстановку:

У наших нових змінних похідні в рівнянні (41.18) теж зміняться: так, ∂/∂х перейде в (1/D) (∂/∂х′) і т. д., так що рівняння (41.18) перетвориться на

А наше основне рівняння (41.17) перейде в

Усі сталі при цьому  збираються в один множник, який ми, за традицією, позначимо через 1/R:

Якщо тепер  ми  просто запам'ятаємо,  що всі наші рівняння мають виписуватися для величин, вимірюваних у нових одиницях, то всі штрихи  можна опустити. Тоді рівняння для потоку набудуть вигляду

Що все це означає? Якщо, наприклад, ми розв'язали задачу для потоку з певною швидкістю V₁ і деякого циліндра діаметром D₁, а потім цікавимося обтіканням циліндра іншого діаметра D₂ іншою рідиною, то потік буде тим самим при такій швидкості V₂, яка відповідає тому самому числу Рейнольдса, тобто коли

У будь-яких випадках, коли числа Рейнольдса однакові, потік при виборі належного масштабу х′, у′, z′ і t′ буде «виглядати» однаково. Це дуже важливе твердження, бо воно означає, що ми можемо визначити поведінку потоку повітря при обтіканні крила літака, не будуючи самого літака і не випробовуючи його. Натомість ми можемо зробити модель і провести вимірювання, використовуючи швидкість, яка дає те саме число Рейнольдса. Саме цей принцип дозволяє нам застосовувати результати вимірювань над маленькою моделлю літака в аеродинамічній трубі або результати, отримані з моделлю корабля, до справжніх об'єктів. Нагадаю, однак, що це можна робити тільки за умови, що стисливістю рідини можна знехтувати. В іншому разі увійде нова величина — швидкість звуку. При цьому різні моделі будуть дійсно відповідати одна одній тільки тоді, коли відношення V до швидкості звуку теж приблизно однакове. Відношення швидкості V до швидкості звуку називається числом Маха. Таким чином, для швидкостей, близьких до швидкості звуку або більших, потік у двох задачах буде виглядати однаково, якщо і число Маха і число Рейнольдса в обох ситуаціях однакові.