Скалярний добуток векторів

Розгляньмо ще трохи властивості векторів. Легко зрозуміти, що довжина кроку в просторі однакова в усіх координатних системах. Отже, якщо якомусь кроку r відповідають складові х, у, z в одній системі координат і складові х`, у`, z` в іншій системі, то відстань r = |r| одна й та сама в обох системах. Спочатку ми, звичайно, повинні ввести дві відстані
r = √(x<sup>2</sup> + y<sup>2</sup> + z<sup>2</sup>)
і
r` = √(x`<sup>2</sup> + y`² + z`²)
а потім перевірити, що обидві ці величини рівні. Щоб не морочитися з квадратним коренем, будемо порівнювати квадрати відстаней. Ми повинні, таким чином, показати, що

Підставивши в це рівняння визначувані співвідношенням (11.5) значення х`, у`, z`, ми побачимо, що це дійсно так. Отже, крім уже вивчених нами векторних рівнянь, існують ще якісь співвідношення, справедливі в будь-якій системі координат. Непомітно ми отримали новий тип величин. Ми можемо побудувати функцію х, у і z, називану скалярною функцією,— величину, яка не має напрямку, і однакова в обох системах координат. З вектора можна побудувати скаляр. Добре б знайти загальне правило для цієї побудови. Власне кажучи, ми вже знайшли це правило: треба піднести до квадрата кожну зі складових вектора і скласти їх. Визначимо тепер нову величину, яку позначимо а*а. Це не вектор, а скаляр; це число, однакове в усіх координатних системах і визначуване як сума квадратів трьох складових вектора:

Ви запитаєте: «У якій системі координат?» Але оскільки це число не залежить від системи координат, то відповідь однакова в будь-якій системі координат. Ми маємо справу з новим видом величини, з інваріантом, або скаляром, отриманим «піднесенням вектора до квадрата». Якщо тепер визначити, виходячи з векторів а і b, величину

то можна переконатися, що ця величина збігається у штрихованій і нештрихованій системах координат. Щоб довести це, зазначимо, що це правильно для величин a*a, b*b і с*с, де с = а+b. Сума квадратів (а_x + b_x)² + (a_y + b_y)² + (a_z + b_z)²  — інваріант:

Розкриємо дужки в обох сторонах цього рівняння. Перехресні добутки дадуть нам вирази типу (11.19), а суми квадратів складових а і b — вирази (11.18). Інваріантність доданків типу (11.18) приводить до інваріантності перехресних добутків типу (11.19). Величина а*b називається скалярним добутком двох векторів а і b і має багато цікавих і корисних властивостей. Наприклад, легко довести, що

Є ще дуже простий геометричний спосіб обчислення а*b, при якому не треба визначати складових а і b; просто а*b є добутком довжин векторів а і b на косинус кута між ними. Чому? Припустімо, що ми вибрали таку систему координат, у якій вектор а спрямований уздовж осі x; у цьому випадку вектор а має єдину ненульову складову ах, яка дорівнює довжині вектора а. Таким чином, рівняння (11.19) зводиться в цьому випадку до а*b=а_xb_x, що дорівнює добутку довжини вектора а на складову вектора b за напрямком а, яка своєю чергою дорівнює b cosθ, тобто
a·b = ab cos θ.
Таким чином, у цій окремій системі координат ми довели, що a*b дорівнює добутку довжин векторів а і b на косинус кута між ними θ. Але якщо це правильно в одній системі координат, то це правильно і в усіх системах, тому що a*b не залежить від вибору системи координат. Що хорошого може дати нам ця нова величина? Чи потрібен фізику скалярний добуток? Так, він необхідний йому постійно. Наприклад, у розд. 4 ми назвали кінетичною енергією величину 1/2mv², але якщо частинка рухається в просторі, то потрібно піднести до квадрата окремо складові швидкості х, у і z, так що формулу для кінетичної енергії можна записати у вигляді

Енергія не має напрямку. Імпульс же напрямок має, це — вектор, і він дорівнює добутку маси на вектор швидкості. Іншим прикладом скалярного добутку може слугувати робота, виконана силою при переміщенні якогось предмета з одного місця в інше. Ми ще не дали визначення роботи, вона дорівнює зміні енергії, приросту у вазі, після того як сила F попрацює вздовж шляху s:

Іноді доцільно говорити про складову вздовж певного напрямку (наприклад, вздовж вертикалі, тому що це напрямок сили тяжіння). Для цього зручно ввести одиничний вектор вздовж напрямку, що нас цікавить. Під одиничним вектором ми будемо розуміти вектор, скалярний добуток якого на себе дорівнює одиниці. Нехай це буде вектор i; тоді i*i=1. Скалярний добуток i а дорівнює a cos θ, тобто він дорівнює складовій вектора а вздовж напрямку i. Це найкращий спосіб отримати складову вектора. Чинячи так, ми можемо знайти всі складові вектора й отримати кумедну формулу. Припустімо, що нам задана якась система координат х, у і z. Введемо три вектори: i — одиничний вектор вздовж осі х, j — одиничний вектор вздовж осі у і k — одиничний вектор вздовж осі z. Ясно, що i*i=1. Чому ж дорівнює добуток i*j? Якщо кут між векторами прямий, то їхній скалярний добуток дорівнює нулю. Таким чином,

Використовуючи ці властивості векторів i, j, k, можна записати будь-який вектор а у вигляді Таким чином, можна від складових вектора легко перейти до самого вектора. Ми вивчили далеко не всі властивості векторів. Однак, перш ніж заглибитися в це питання, навчімося спершу застосовувати обговорені зараз ідеї у фізиці. І тоді, коли ми добре опануємо основний матеріал, буде легше просунутися далі, не впадаючи в помилки. Пізніше ми побачимо, що зручно визначити ще один добуток двох векторів, який називається векторним добутком і записується у вигляді a × b. Однак обговорення цього питання краще відкласти до наступного розділу.