Центр мас

У попередніх розділах ми вивчали механіку точок, або маленьких частинок, внутрішня структура яких нас зовсім не цікавила. У наступних кількох розділах ми вивчимо застосування законів Ньютона до складніших речей. Але ж чим складніший об'єкт, тим він цікавіший, і ви самі побачите, що явища, пов'язані з такими складнішими об'єктами, справді разючі. Звісно, усі ці явища не містять нічого більшого, ніж комбінації законів Ньютона, однак часом просто важко повірити, що все це виникло з F=ma! Що це за складніші об'єкти, з якими нам доведеться мати справу далі? Це може бути течія води, обертання галактик і т. д. Але спершу давайте розберемося з найпростішим із складних об'єктів—твердим тілом. Цим терміном ми будемо називати монолітний об'єкт, який одночасно зі зміною положення може ще й обертатися як ціле. Утім, навіть такий простий об'єкт може рухатися доволі складно, тому давайте спершу розглянемо найпростіший випадок руху, коли тіло крутиться навколо нерухомої осі, причому кожна точка цього тіла рухається в площині, перпендикулярній до цієї осі. Таке обертання тіла навколо нерухомої осі називається плоским, або двовимірним. Пізніше, коли ми узагальнимо наш результат на випадок трьох вимірів, ви побачите, що обертання — набагато хитріша штука, ніж механіка частинки, і без достатнього досвіду в двох вимірах зрозуміти тривимірні обертання дуже важко. До першої цікавої теореми про рух складного тіла можна дійти таким чином: спробуйте кинути якийсь предмет, що складається з безлічі скріплених між собою кубиків і стрижнів. Ви знаєте, звісно, що він полетить по параболі; це ми виявили ще тоді, коли вивчали рух точки. Проте тепер наш об'єкт не точка. Він повертається, похитується і все ж летить по параболі; ви можете в цьому переконатися. Яка ж точка тіла описує параболу? Ну звісно, не кут кубика, бо він повертається, не кінець стрижня, не його середина і не центр кубика. Але все-таки щось рухається по параболі, існує якийсь ефективний «центр», що рухається по параболі. Таким чином, перша теорема про складні об'єкти каже, що існує якась «середня» точка, цілком визначена математично, яка рухається по параболі. Ця точка не обов'язково перебуває в самому тілі, вона може лежати й десь поза ним. Це так звана теорема про центр мас, і доводиться вона таким чином. Будь-який об'єкт можна розглядати як безліч маленьких частинок, атомів, пов'язаних різними силами. Нехай i позначає номер однієї з таких частинок (їх страшенно багато, тому i може дорівнювати, наприклад, 10²³). Сила, що діє на i-ту частинку, дорівнює масі, помноженій на прискорення цієї частинки:

У наступних розділах наші рухомі об'єкти і всі їхні частини будуть рухатися зі швидкостями, набагато меншими, ніж швидкість світла, і тому для всіх величин ми будемо розглядати лише нерелятивістське наближення. Маса за цих умов буде сталою, так що

Якщо тепер скласти всі сили, що діють на частинки, тобто скласти всі F_i з усіма значеннями індексу, то в результаті ми маємо отримати повну силу F. Складаючи ж праві частини рівняння (18.2) для всіх частинок і пам'ятаючи, що похідна від суми дорівнює сумі похідних, отримуємо

Тому повна сила дорівнює другій похідній від суми добутків мас частинок на їхнє положення. Але повна сила, що діє на всі частинки,— це те саме, що й зовнішня сила. Чому? Та тому, що які б сили не діяли між частинками, хай це буде притягання чи відштовхування, чи атомні сили, все одно, коли ми складаємо їх разом і застосовуємо Третій закон Ньютона, за яким сили дії та протидії між будь-якими двома частинками рівні одна одній, то ці взаємні сили скорочуються одна з одною і в результаті залишаться тільки сили, що діють з боку атомів, які перебувають поза тілом. Тож якщо рівняння (18.3) є сумою по деякій кількості частинок, що утворюють наш об'єкт, то зовнішня сила, яка діє на нього, дорівнює просто сумі всіх сил, що діють на всі частинки, які утворюють цей об'єкт. Рівняння (18.3) непогано було б записати у вигляді повної маси тіла, помноженої на якесь прискорення. Зробити це можна. Нехай М буде сумою мас усіх частинок, тобто повною масою тіла. Якщо тепер визначити вектор R як

то, оскільки М стала, рівняння (18.3) перейде в

Таким чином, зовнішня сила дорівнює повній масі, помноженій на прискорення деякої точки R; цю точку і називають центром мас тіла. Вона розташована десь у «середині» тіла — якесь середнє r, в якому різні r_i враховуються залежно від їхньої важливості, тобто залежно від того, яку частку вони вносять у повну масу. Ми детально обговоримо цю важливу теорему трохи пізніше, а зараз зупинимося на двох прикладах. Нехай на тіло не діють жодні зовнішні сили, скажімо, воно плаває десь у порожньому просторі. Воно може робити все, що йому заманеться: крутитися, похитуватися, вигинатися, але при цьому його центр мас, ця штучно виділена нами математична точка, має рухатися зі сталою швидкістю. Зокрема, якщо спочатку цей центр спочивав, то він так і спочиватиме увесь час. Тому якщо ми візьмемо якийсь космічний корабель з усіма його пасажирами, обчислимо його центр мас і виявимо, що він стоїть на місці, то можна бути впевненими, що центр мас так і залишиться на місці, якщо тільки на корабель не діятимуть якісь зовнішні сили. Сам корабель, звісно, може трохи переміщатися, але це через те, що пасажири всередині корабля ходять туди-сюди. Так, якщо всі пасажири одночасно перейдуть у носову частину, то корабель трохи подасться назад, щоб середнє положення всіх мас залишилося точно на тому самому місці. Чи означає це, що внаслідок нерухомості центра мас ракета не може рухатися вперед? Звісно, ні, але, щоб просунути вперед цікаву для нас частину ракети, ми маємо щось викинути назад. Іншими словами, якщо спочатку ракета спочивала, а потім викинула із сопла якусь кількість газу, то цей газ полетить назад, а сама ракета полетить при цьому вперед, проте центр мас залишиться точно на тому самому місці, де він був і раніше. Тож у ракеті цікава для нас частина просунеться вперед за рахунок іншої, яка полетить назад. Друге зауваження щодо руху центра мас. Його можна розглядати окремо від усіх «внутрішніх» рухів тіла і, отже, його можна не враховувати при вивченні обертання. Власне, тому ми й почали вивчати обертання з центра мас.