Поговорімо тепер про обертання. Як відомо, звичайні предмети не обертаються просто так: вони коливаються, вібрують, вигинаються. Тому, щоб спростити міркування, розгляньмо рух неіснуючого ідеального об'єкта, який ми назвали твердим тілом. У такому об'єкті зв'язки між атомами настільки сильні, що ті невеликі сили, які потрібні, щоб привести його в рух, не можуть деформувати тіло. Його форма весь час залишається однією і тією самою. Якщо ми хочемо вивчити рух такого тіла і домовимося не брати до уваги рух його центра мас, то йому залишається лише обертатися. Ось це обертання ми й маємо описати. Яким чином? Припустимо, що в тілі існує якась уявна нерухома лінія (вона може проходити через центр мас, а може й не проходити); навколо цієї лінії, як навколо осі, обертається наше тіло. Але як усе-таки визначити, що таке обертання? Зробити це зовсім просто. Позначивши якусь точку на тілі, будь-де, тільки не на осі, і знаючи, куди вона перейшла через якийсь проміжок часу, ми точно можемо сказати, в якому положенні перебуває тіло. Єдине, що потрібно знати для опису положення точки, — це кут. Таким чином, вивчення обертання полягає у вивченні зміни кута з часом.
Щоб описати обертання, виміряємо кут, на який повертається тіло. Звісно, йдеться не про кут між двома точками всередині самого тіла чи на тілі, а про кутову зміну положення всього тіла як цілого від одного моменту часу до іншого.
Спершу давайте розберемося з кінематикою обертання. Зміна кута з часом дуже схожа на зміну положення при одновимірному русі; для плоского обертання ми можемо говорити про кутове положення і кутову швидкість. Між цими двома рухами — плоским обертанням і одновимірним переміщенням — існує дуже цікавий зв'язок: майже кожна величина в одному випадку має свій аналог в іншому. Перш за все кут θ, що вказує, наскільки повернулося тіло, відповідає пройденій точкою відстані s. Кутова швидкість ω=dθ/dt, яка показує, з якою швидкістю змінюється кут, відповідає звичайній швидкості v=ds/dt, що описує швидкість зміни положення. Якщо кут вимірюється в радіанах, то кутова швидкість ω дорівнює якомусь числу радіан за секунду. Чим більша кутова швидкість, тим швидше обертається об'єкт і тим швидше змінюється кут. Якщо продиференціювати кутову швидкість за часом, то отримаємо величину α=dω/dt, яку ми будемо називати кутовим прискоренням. Воно може слугувати аналогом звичайного прискорення.
Тепер нам слід пов'язати динаміку обертання з динамікою частинок, з яких зроблено тіло, тобто з'ясувати, як рухається кожна дана частинка, якщо кутова швидкість становить стільки-то радіан за секунду. Для цього давайте візьмемо якусь частинку, розташовану на відстані r від осі, і будемо, як завжди, говорити, що в даний момент часу вона перебуває у певному положенні Р(х, у) (фіг. 18.1). Через проміжок часу Δt тіло цілком повернеться на кут Δθ, а разом з ним повернеться і наша частинка. Хоча відстань від неї до осі обертання О залишається тією самою, вона вже переміститься в іншу точку, Q. Перше, що хотілося б знати, це наскільки зміняться відстані х і у. Якщо позначити через r довжину ОР, то довжина PQ буде дорівнювати rΔθ (просто за визначенням кута). Тоді зміна відстані х буде дорівнювати проекції rΔθ на вісь х
Тепер нам слід пов'язати динаміку обертання з динамікою частинок, з яких зроблено тіло, тобто з'ясувати, як рухається кожна дана частинка, якщо кутова швидкість становить стільки-то радіан за секунду. Для цього давайте візьмемо якусь частинку, розташовану на відстані r від осі, і будемо, як завжди, говорити, що в даний момент часу вона перебуває у певному положенні Р(х, у) (фіг. 18.1). Через проміжок часу Δt тіло цілком повернеться на кут Δθ, а разом з ним повернеться і наша частинка. Хоча відстань від неї до осі обертання О залишається тією самою, вона вже переміститься в іншу точку, Q. Перше, що хотілося б знати, це наскільки зміняться відстані х і у. Якщо позначити через r довжину ОР, то довжина PQ буде дорівнювати rΔθ (просто за визначенням кута). Тоді зміна відстані х буде дорівнювати проекції rΔθ на вісь х
Зображення
Якщо тіло обертається з кутовою швидкістю ω, то, ділячи обидві частини рівності (18.6) і (18.7) на Δt, знайдемо компоненти швидкості частинки
Зображення
Якщо ж нам потрібна абсолютна величина швидкості, то ми просто пишемо
Зображення
Не дивно, що абсолютна величина швидкості вийшла рівною ωr; це ж очевидно; адже повна пройдена відстань дорівнює rΔθ, а тому відстань, пройдена за 1 с, буде гΔθ/Δt, або гω.
Перейдімо тепер до розгляду динаміки обертання. Тут слід ввести нове поняття — силу. Давайте подивимося, чи не можна винайти щось, що відіграє ту саму роль, яку відіграє сила в лінійному русі. Це щось ми будемо називати моментом сили, або просто моментом. Зазвичай під силою ми розуміємо щось, що змушує тіло, яке спочиває, рухатися, а те, що змушує тіло обертатися, є «обертальною», або «крутильною», силою; її ми називаємо моментом. Таким чином, якісно момент сили — це закручування; але що таке момент сили кількісно? Кількісну теорію моменту можна отримати, вивчаючи роботу, витрачену на поворот тіла. Цей підхід дуже добрий і для визначення сили: якщо ми знаємо, яка потрібна робота, щоб здійснити дане переміщення, то знаємо і силу. Щоб продовжити відповідність між кутовими і лінійними величинами, ми маємо прирівняти роботу, яка виконується при повороті тіла на якийсь кут, до добутку моменту на цей кут. Іншими словами, при такому визначенні моменту теорема про роботу має абсолютний аналог: робота є сила на переміщення, або момент на кут. Це одразу каже нам, що таке момент кількісно. Розгляньмо, наприклад, тверде тіло, що обертається навколо осі, на яке діють різні сили. Зосередимо спершу нашу увагу на одній силі, прикладеній у певній точці (х, у). Яку роботу ми витрачаємо, повертаючи тіло на якийсь малий кут Δθ? Неважко зрозуміти, що вона дорівнює
Зображення
Тепер потрібно тільки підставити вирази (18.6) і (18.7) для Δх і Δу і отримати
Зображення
тобто робота, яку ми виконали, дорівнює куту, на який було повернуто тіло, помноженому на якусь дивну комбінацію сил і відстаней. Ця «дивна комбінація» і є момент. Таким чином, визначаючи зміну роботи як момент, помножений на кут повороту, ми отримуємо формулу, що виражає момент через сили. (Це зрозуміло. Оскільки момент не є цілком новим поняттям, не залежним від механіки Ньютона, то він має певним чином виражатися через силу.)
Нехай тепер на тіло діє кілька сил. Тоді робота, яку виконують ці сили, дорівнює сумі робіт від кожної сили, так що ΔW матиме вигляд суми безлічі членів: по одному для кожної з сил, проте кожен із них пропорційний Δθ. Цю величину Δθ можна винести за дужки і отримати, що робота дорівнює сумі моментів від усіх діючих сил, помноженій на Δθ. Цю суму можна назвати повним моментом сил і позначити τ. Як бачите, моменти додаються за звичайними законами алгебри, проте, як ви дізнаєтеся згодом, це відбувається через те, що ми обмежуємося лише плоскими обертаннями. Ця ситуація нагадує одновимірний рух, у якому сили просто додаються алгебраїчно; адже всі вони в цьому випадку діють уздовж однієї і тієї самої прямої. У тривимірному просторі все складніше. Таким чином, для двовимірного обертання
Нехай тепер на тіло діє кілька сил. Тоді робота, яку виконують ці сили, дорівнює сумі робіт від кожної сили, так що ΔW матиме вигляд суми безлічі членів: по одному для кожної з сил, проте кожен із них пропорційний Δθ. Цю величину Δθ можна винести за дужки і отримати, що робота дорівнює сумі моментів від усіх діючих сил, помноженій на Δθ. Цю суму можна назвати повним моментом сил і позначити τ. Як бачите, моменти додаються за звичайними законами алгебри, проте, як ви дізнаєтеся згодом, це відбувається через те, що ми обмежуємося лише плоскими обертаннями. Ця ситуація нагадує одновимірний рух, у якому сили просто додаються алгебраїчно; адже всі вони в цьому випадку діють уздовж однієї і тієї самої прямої. У тривимірному просторі все складніше. Таким чином, для двовимірного обертання
Зображення
Потрібно тільки пам'ятати, що це справедливо лише для обертання навколо однієї осі. Якщо брати різні осі, то всі xi і уi зміняться, відповідно змінюються (зазвичай) і величини моментів.
Відволічемося тепер на хвилину і зауважимо, що попередній спосіб введення моменту дає дуже важливий результат для тіла, що перебуває в рівновазі: якщо збалансовані всі сили, що діють на об'єкт, і ті, що переміщують, і ті, що обертають, то потрібно, щоб не тільки повна сила дорівнювала нулю, а й повний момент, оскільки при малому переміщенні об'єкта, що перебуває в рівновазі, жодна робота не виконується. Отже, з того, що ΔW = τΔθ = 0, можна зробити висновок, що сума всіх моментів має дорівнювати нулю. Таким чином, для рівноваги необхідне виконання двох умов: а) сума всіх сил дорівнює нулю і б) сума всіх моментів теж дорівнює нулю. Спробуйте довести самі, що в двовимірному випадку достатньо рівності нулю суми моментів сил відносно якоїсь однієї осі.
Повернімося тепер до випадку однієї сили, що діє на тіло, і спробуймо з'ясувати, що ж геометрично означає дивний вираз xFy—yFx. На фіг. 18.2 ви бачите силу F, прикладену в точці Р. Коли тіло повертається на малий кут Δθ, то природно, що виконана при цьому робота дорівнює складовій у напрямку переміщення, помноженій на величину переміщення. Іншими словами, працює тільки тангенціальна складова сили, яка помножується на відстань Δθ. Тому момент дорівнює тангенціальній складовій сили (перпендикулярній до радіуса), помноженій на радіус. Це добре узгоджується з нашим початковим поняттям моменту, тому що цілком радіальна сила не може крутити тіло. Крутильна дія сили, очевидно, походить тільки від тієї її частини, яка не тягне тіло від центра. Вона і називається тангенціальною складовою. Зрозуміло, крім того, що дана сила закручує тіло тим сильніше, чим далі від центра вона прикладена. Спробуйте розкрутити тіло тиском прямо на його вісь! Таким чином, той факт, що момент сили пропорційний як радіальній відстані, так і тангенціальній складовій сили, має свій сенс.
Існує ще третій, дуже цікавий вираз для моменту сили. Як ви щойно дізналися, момент сили дорівнює силі, помноженій на радіус і на синус кута α (див. фіг. 18.2). Якщо тепер продовжити лінію дії сили і провести пряму, перпендикулярну до неї, то неважко побачити, що довжина OS (її часто називають плечем сили) у стільки разів коротша за радіус, у скільки тангенціальна складова сили менша за повну її величину. Тому можна записати, що момент дорівнює добутку величини сили на довжину її плеча.
Ми не знаємо точно, звідки походить термін «момент сили» — очевидно, від латинського movimentum, що означає здатність сили рухати об'єкт (використовуючи якийсь важіль), тим помітнішу, чим довше плече сили. До речі, в математиці слово «момент» означає усереднення з вагою, за яку взято відстань до осі.
Повернімося тепер до випадку однієї сили, що діє на тіло, і спробуймо з'ясувати, що ж геометрично означає дивний вираз xFy—yFx. На фіг. 18.2 ви бачите силу F, прикладену в точці Р. Коли тіло повертається на малий кут Δθ, то природно, що виконана при цьому робота дорівнює складовій у напрямку переміщення, помноженій на величину переміщення. Іншими словами, працює тільки тангенціальна складова сили, яка помножується на відстань Δθ. Тому момент дорівнює тангенціальній складовій сили (перпендикулярній до радіуса), помноженій на радіус. Це добре узгоджується з нашим початковим поняттям моменту, тому що цілком радіальна сила не може крутити тіло. Крутильна дія сили, очевидно, походить тільки від тієї її частини, яка не тягне тіло від центра. Вона і називається тангенціальною складовою. Зрозуміло, крім того, що дана сила закручує тіло тим сильніше, чим далі від центра вона прикладена. Спробуйте розкрутити тіло тиском прямо на його вісь! Таким чином, той факт, що момент сили пропорційний як радіальній відстані, так і тангенціальній складовій сили, має свій сенс.
Існує ще третій, дуже цікавий вираз для моменту сили. Як ви щойно дізналися, момент сили дорівнює силі, помноженій на радіус і на синус кута α (див. фіг. 18.2). Якщо тепер продовжити лінію дії сили і провести пряму, перпендикулярну до неї, то неважко побачити, що довжина OS (її часто називають плечем сили) у стільки разів коротша за радіус, у скільки тангенціальна складова сили менша за повну її величину. Тому можна записати, що момент дорівнює добутку величини сили на довжину її плеча.
Ми не знаємо точно, звідки походить термін «момент сили» — очевидно, від латинського movimentum, що означає здатність сили рухати об'єкт (використовуючи якийсь важіль), тим помітнішу, чим довше плече сили. До речі, в математиці слово «момент» означає усереднення з вагою, за яку взято відстань до осі.