Закон збереження моменту кількості руху

Подивимося тепер, що виходить у випадку великої кількості частинок, тобто коли тіло складається з безлічі частинок з безліччю сил, що діють між ними і ззовні. Звісно, ми вже знаємо, що момент сили, який діє на будь-яку i-ту частинку (тобто добуток сили, що діє на i-ту частинку, на її плече), дорівнює швидкості зміни моменту кількості руху цієї частинки, а момент кількості руху i-ї частинки в свою чергу дорівнює добутку імпульсу частинки на його плече. Допустимо тепер, що ми склали моменти сил τ_i усіх частинок і назвали це повним моментом сил τ. Ця величина має дорівнювати швидкості зміни суми моментів кількості руху всіх частинок L_i. Цю суму можна прийняти за визначення нової величини, яку ми назвемо повним моментом кількості руху L. Точно так само, як імпульс тіла дорівнює сумі імпульсів частинок, що його складають, момент кількості руху тіла теж дорівнює сумі моментів частинок, що його складають. Таким чином, швидкість зміни повного моменту кількості руху L дорівнює повному моменту сил.

З непривички може здатися, що повний момент сил — жахливо складна штука. Адже потрібно враховувати всі внутрішні і зовнішні сили. Однак якщо ми пригадаємо, що за законом Ньютона сили дії та протидії не тільки рівні, а й (що особливо важливо!) діють по одній і тій самій прямій у протилежних напрямках (неважливо, говорив про це сам Ньютон чи ні, неявно він мав це на увазі), то два моменти внутрішніх сил між двома взаємодіючими частинками мають бути рівні одна одній і спрямовані протилежно, оскільки для будь-якої осі їхні плечі будуть однакові. Тому всі внутрішні моменти сил взаємно скорочуються і виходить чудова теорема: швидкість зміни моменту кількості руху відносно будь-якої осі дорівнює моменту зовнішніх сил відносно тієї самої осі!

Отже, ми отримали в руки потужну теорему про рух великого колективу частинок, яка дозволяє нам вивчати загальні властивості руху, не знаючи деталей його внутрішнього механізму. Ця теорема справедлива для будь-якого набору частинок, незалежно від того, утворюють вони тверде тіло чи ні. Особливо важливим окремим випадком цієї теореми є закон збереження моменту кількості руху, який стверджує: якщо на систему частинок не діють жодні зовнішні моменти сил, то її момент кількості руху залишається сталим. Розгляньмо один дуже важливий окремий випадок набору частинок, коли вони утворюють тверде тіло, тобто об'єкт, який завжди має певну форму й геометричний розмір і може тільки крутитися навколо якоїсь осі. Будь-яка частина такого об'єкта в будь-який момент часу розташована однаковим чином відносно інших його частин. Спробуймо тепер знайти повний момент кількості руху твердого тіла. Якщо маса його i-ї частинки дорівнює m_i, а її положення (x_i, y_i), то задача зводиться до визначення моменту кількості руху цієї частинки, оскільки повний момент кількості руху дорівнює сумі моментів кількості руху всіх таких частинок, що утворюють тіло. Для точки, що рухається по колу, момент кількості руху дорівнює, звісно, добутку її маси на швидкість і на відстань до осі обертання, а швидкість у свою чергу дорівнює кутовій швидкості, помноженій на відстань до осі:

Цей вираз дуже схожий на формулу для імпульсу, який дорівнює добутку маси на швидкість. Швидкість при цьому замінюється на кутову швидкість, а маса, як бачите, замінюється на якусь нову величину, яку називають моментом інерції I. Ось що відіграє роль маси при обертанні! Рівняння (18.21) і (18.22) кажуть нам, що інерція обертання тіла залежить не тільки від мас частинок, що його складають, а й від того, наскільки далеко розташовані вони від осі. Тож якщо ми маємо два тіла рівної маси, але в одному з них маси розташовані далі від осі, то його інерція обертання буде більшою. Це легко продемонструвати на пристрої, зображеному на фіг. 18.4. Маса М у цьому пристрої не може падати надто швидко, бо вона має крутити важкий стрижень. Розташуємо спершу маси т біля осі обертання, причому грузик М буде якось прискорюватися. Однак після того, як ми змінимо момент інерції, розташувавши маси т набагато далі від осі, ми побачимо, що грузик М прискорюється набагато повільніше, ніж раніше. Відбувається це внаслідок зростання інертності обертання, яка становить фізичний зміст моменту інерції — суми добутків усіх мас на квадрати їхніх відстаней від осі обертання. Між масою і моментом інерції є суттєва різниця, яка проявляється дивовижним чином. Річ у тім, що маса об'єкта зазвичай не змінюється, тоді як момент інерції легко змінити. Уявіть собі, що ви стали на стіл, який може обертатися без тертя, і тримаєте у витягнутих руках гантелі, а самі повільно обертаєтеся. Можна легко змінити момент інерції, зігнувши руки; при цьому наша маса залишиться тією самою. Коли ми зробимо все це, то закон збереження моменту кількості руху творитиме чудеса, станеться щось дивовижне. Якщо моменти зовнішніх сил дорівнюють нулю, то момент кількості руху дорівнює моменту інерції I₁, помноженому на кутову швидкість ω₁, тобто ваш момент кількості руху дорівнює I₁ω₁. Зігнувши потім руки, ви тим самим зменшили момент інерції до величини I₂. Але оскільки через закон збереження моменту кількості руху добуток Iω має залишитися тим самим, то I₁ω₁ має дорівнювати I₂ω₂. Так що якщо ви зменшили момент інерції, то ваша кутова швидкість у результаті цього має зрости.