У попередньому розділі ми встановили факт існування деякої чудової точки, яку називають центром мас. Вона чудова тим, що якщо на частинки, які утворюють тіло (байдуже, тверде воно чи рідке, зоряне скупчення чи щось інше), діє велика кількість сил (звісно, маються на увазі лише зовнішні сили, оскільки всі внутрішні сили компенсують одна одну), то рівнодійна сила надає цій точці таке саме прискорення, як якби в ній була зосереджена вся маса тіла М. Обговорімо тепер властивість центра мас трохи докладніше.
Положення центра мас (скорочено ц. м.) визначається рівнянням
Зображення
Це, звісно, векторне рівняння, тобто фактично три рівняння — по одному для кожного з трьох напрямків. Але ми розглядатимемо тільки х-напрямок; якщо ви зрозумієте, що відбувається в х-напрямку, то зрозумієте й два інші. Що означає рівність Xц.м. = Σmixi/Σmi? Припустімо на хвилину, що тіло поділене на маленькі шматочки з однаковою масою т, причому повна маса дорівнюватиме числу таких шматочків N, помноженому на масу одного шматочка, скажімо 1 г, або якусь іншу одиницю. Тоді наше рівняння просто означає, що потрібно взяти координати х усіх шматочків, скласти їх і результат поділити на число шматочків, тобто Xц.м. = mΣxi/mN = Σxi/N. Іншими словами, якщо маси шматочків рівні, то Xц.м. буде просто середнім арифметичним x-координат усіх шматочків. Але припустімо, що один із шматочків удвічі важчий, ніж кожен з інших. Тоді в нашу формулу його координата входитиме з коефіцієнтом 2, тобто в сумах її потрібно враховувати двічі. Неважко зрозуміти, чому це відбувається. Адже важкий шматочок можна уявити собі так, ніби він складається з двох легких, таких самих, як і всі інші, тож коли ми обчислюємо середнє, його координату х потрібно враховувати двічі: адже шматочків у цьому місці якраз два. Таким чином, Xц.м. дорівнює просто середньому арифметичному x-координат усіх мас, причому кожна координата враховується певну кількість разів, пропорційну масі, ніби вона поділена на маленькі шматочки одиничної маси. Виходячи з цього, легко довести, що Xц.м. має перебувати десь між найближчою та найвіддаленішою частинкою. Загалом центр мас має лежати десь усередині багатогранника, проведеного через крайні точки тіла. Однак зовсім не обов'язково, щоб центр мас перебував у самому тілі; адже бувають тіла, подібні до кола, наприклад обруч, центр мас якого міститься в геометричному центрі, а не на самому обручі.
Звісно, якщо об'єкт симетричний, наприклад прямокутник, що має лінію симетрії, то його центр мас має лежати десь на цій лінії. До речі, прямокутник має ще одну лінію симетрії, і це однозначно визначає положення його центра мас. Для просто симетричного об'єкта центр мас має лежати десь на осі симетрії! Адже від'ємних х у цьому випадку рівно стільки ж, скільки й додатних.
Існує ще один дуже кумедний спосіб знаходження центра мас. Уявіть собі тіло, що складається з двох шматків А і В (фіг. 19.1). Центр мас у цьому разі можна знайти так. Знаходимо спершу окремо центри мас складових частин А і В та їхні повні маси МA і МB. Після цього знаходимо центр мас двох точкових тіл, одне з яких має масу МA і розташоване в центрі мас частини А, а друге — масу МB і розташоване в центрі мас частини В. Здобута точка і буде центром мас усього тіла. Іншими словами, якщо нам відомі центри мас усіх частин складного тіла, то, щоб знайти його центр мас, не потрібно повторювати все спочатку, а досить просто знайти центр мас системи точкових тіл з масами, що дорівнюють масам кожної з частин і розташовані в їхніх центрах мас. Погляньмо, як це виходить.
Нехай ми хочемо визначити центр мас складного тіла, одні частинки якого належать частині А, а інші — частині В. При цьому ми можемо розбити повну суму Σmixi на суму по частині А, тобто ΣAmixi, і суму по частині В, тобто ΣBmixi. Якби ми знаходили центр мас лише частини А, то нам знадобилася б перша з цих сум, яка, як ви знаєте, дорівнює МAХA, тобто повній масі частини А на х-координату її центра мас: це просто наслідок теореми про центр мас, застосованої до частини А. Те саме можна сказати і про частину В. Сума ΣBmixi має дорівнювати МBХB. Склавши ці два результати, ми, звісно, маємо отримати MX, тобто
Існує ще один дуже кумедний спосіб знаходження центра мас. Уявіть собі тіло, що складається з двох шматків А і В (фіг. 19.1). Центр мас у цьому разі можна знайти так. Знаходимо спершу окремо центри мас складових частин А і В та їхні повні маси МA і МB. Після цього знаходимо центр мас двох точкових тіл, одне з яких має масу МA і розташоване в центрі мас частини А, а друге — масу МB і розташоване в центрі мас частини В. Здобута точка і буде центром мас усього тіла. Іншими словами, якщо нам відомі центри мас усіх частин складного тіла, то, щоб знайти його центр мас, не потрібно повторювати все спочатку, а досить просто знайти центр мас системи точкових тіл з масами, що дорівнюють масам кожної з частин і розташовані в їхніх центрах мас. Погляньмо, як це виходить.
Нехай ми хочемо визначити центр мас складного тіла, одні частинки якого належать частині А, а інші — частині В. При цьому ми можемо розбити повну суму Σmixi на суму по частині А, тобто ΣAmixi, і суму по частині В, тобто ΣBmixi. Якби ми знаходили центр мас лише частини А, то нам знадобилася б перша з цих сум, яка, як ви знаєте, дорівнює МAХA, тобто повній масі частини А на х-координату її центра мас: це просто наслідок теореми про центр мас, застосованої до частини А. Те саме можна сказати і про частину В. Сума ΣBmixi має дорівнювати МBХB. Склавши ці два результати, ми, звісно, маємо отримати MX, тобто
Зображення
Повна ж маса М, очевидно, дорівнює МA + МB, тож вираз (19.2) є не чим іншим, як визначенням центра мас двох точок, одна з яких має масу МA і координату ХA, а друга — масу МB і координату ХB.
Теорема про рух центра мас цікава не лише сама собою, вона ще й відіграє дуже важливу роль у розвитку нашого розуміння фізики. Якщо ми припустимо, що закони Ньютона правильні лише для маленьких частин, що складають велике тіло, то ця теорема показує, що вони правильні також і для великого тіла. Ми можемо не знати його детальної будови, і нам відомі лише загальна маса та повна сила, що діє на нього. Іншими словами, закони Ньютона мають ту особливість, що якщо вони справедливі в малому масштабі, то справедливі й у великому. Немає жодної потреби розглядати футбольний м'яч як жахливо складну річ, що складається з міріад взаємодійних частинок, а досить вивчити тільки рух його центра мас під дією зовнішньої сили F, щоб отримати F=ma, де а — прискорення центра мас, a m — повна маса м'яча. Отже, закон F=ma відтворює сам себе у великому масштабі. (Мабуть, має бути якесь гарне грецьке слово, яким можна було б назвати подібні закони, що відтворюють себе у великому масштабі.)
Неважко, звісно, здогадатися, що перший закон, відкритий людиною, мав бути саме таким законом, що відтворює сам себе у великому масштабі. Чому? Та просто тому, що справжній розмір фундаментальних «гвинтиків і коліщаток» Всесвіту — це атомний розмір, який настільки менший за розміри навколишніх нас речей, що лише тепер починає входити в звичайне життя. Отже, перша закономірність, відкрита людиною, не могла мати стосунку до розмірів атомного масштабу. Якби закони для малих частинок не відтворювали себе у великому масштабі, то відкрити їх було б не так уже й легко. А що можна сказати про обернену проблему? Чи повинні закони мікросвіту бути тими самими, що й для великих тіл? Жодної потреби в цьому, звісно, немає.
Припустімо, однак, що справжній рух атомів описується якимось дивним рівнянням, яке не відтворює саме себе при переході до більшого масштабу. Натомість воно має ту властивість, що при такому переході його можна наближено замінити якимось виразом, який при усе більшому й більшому збільшенні масштабу відтворює сам себе. Це цілком може статися, і насправді так воно й відбувається. Закони Ньютона є ніби «кінчиком хвоста» атомних законів, продовжених до дуже великих розмірів. Справжні закони руху частинок дуже малих розмірів вельми специфічні, але якщо ми візьмемо велике число частинок і скомбінуємо закони їхнього руху, то наближено, і тільки наближено, отримаємо закони Ньютона. Після цього закони Ньютона дозволяють нам рухатися до все більших розмірів, залишаючись при цьому тими самими законами. По суті, при переході до все більших і більших розмірів вони дедалі точніше й точніше описують природу. Тож факт самовідтворюваності законів Ньютона — аж ніяк не фундаментальна властивість природи, а важлива історична особливість.
Спираючись на свої перші спостереження, ми жодним чином не змогли б відкрити фундаментальні атомні закони, оскільки ці спостереження були надто грубими. Справді, фундаментальні атомні закони, які ми називаємо квантовою механікою, настільки сильно відрізняються від законів Ньютона, що зрозуміти їх не просто. Адже у нас є лише досвід поводження з тілами великих розмірів, а крихітні атоми поводяться цілком незвичним для таких тіл чином. Ми не можемо сказати: «Електрони в атомах нагадують планети, що обертаються навколо Сонця», чи щось таке. Вони не схожі ні на що відоме нам, бо ми не бачимо нічого схожого на них. Якщо ми застосовуємо квантову механіку до все більших і більших об'єктів, то закони поведінки такого колективу атомів не відтворюють поведінки одного атома, а дають новий закон — закон Ньютона, який уже відтворює сам себе, починаючи з об'єктів вагою в 1 мільйонну мікрограма, що містять ще мільярди й мільярди атомів, і аж до тіл завбільшки із Землю і навіть ще більших.
Повернімося, однак, до центра мас. Часто його називають центром ваги, оскільки в багатьох випадках для сили тяжіння можна провести точно такі самі міркування, як і для мас. Якщо розміри достатньо малі, то силу тяжіння можна вважати не тільки пропорційною масі, а й спрямованою всюди паралельно якійсь фіксованій лінії.
Візьмемо тіло, в якому сила тяжіння діє на кожну зі складових його частин, a mi — маса однієї з цих частин. Сила тяжіння, що діє на неї, тоді дорівнюватиме добутку mi на g. Постає запитання: у якій точці потрібно прикласти одну-єдину силу, щоб зрівноважити притягання всього тіла так, щоб воно (якщо це тверде тіло) не оберталося? Відповідь: сила має проходити через центр мас. Доводиться це так. Щоб тіло не оберталося, сума моментів усіх сил має дорівнювати нулю, бо якщо немає моменту сил, то немає й зміни моменту кількості руху, а тому немає й обертання. Таким чином, ми маємо підрахувати суму всіх моментів, що діють на всі частинки, і подивитися, який вийде повний момент відносно будь-якої заданої осі: він має дорівнювати нулю, якщо вісь проходить через центр мас. Спрямувавши вісь х горизонтально, а вісь у вертикально, ми знайдемо, що моменти сил дорівнюють силам, спрямованим униз, помноженим на плече х (тобто сила на плече відносно тієї осі, для якої вимірюється момент сили). Повний же момент дорівнює сумі
Зображення
Щоб повний момент був відсутній, сума Σmixi має дорівнювати нулю. Але ця сума дорівнює MX — повній масі, помноженій на відстань від осі х до центра мас. Отже, ця відстань має дорівнювати нулю.
Звісно, ми провели перевірку лише для x-напрямку, однак якщо ми справді взяли центр мас, то тіло має бути врівноважене в будь-якому положенні, тому, повернувши його на 90°, ми замість осі х отримаємо вісь у. Іншими словами, якщо тримати тіло за центр мас, то паралельне гравітаційне поле не дає жодного моменту сил. Якщо ж об'єкт настільки великий, що непаралельність сил притягання стає суттєвою, то точку, в якій має бути прикладена врівноважувальна сила, описати не просто: вона дещо відхиляється від центра мас. Ось чому потрібно пам'ятати, що центр мас і центр ваги — різні речі. Той факт, що тіло, яке підтримують точно за центр мас, врівноважене в будь-якому положенні, має ще один цікавий наслідок. Якщо замість гравітаційних сил узяти інерційні псевдосили, що виникають унаслідок прискорення, то, щоб знайти точку, вчепившись за яку ми зрівноважимо всі моменти цих сил, можна скористатися тією самою математичною процедурою. Припустімо, що ми уклали тіло всередину ящика, який прискорюється разом з усім своїм вмістом. Тоді, з погляду спостерігача, який сидить у цьому ящику, на тіло внаслідок інерції діятиме якась ефективна сила. Іншими словами, щоб змусити тіло рухатися разом з ящиком, потрібно підштовхувати й прискорювати його. Ця сила «врівноважується силою інерції», яка дорівнює масі тіла, помноженій на прискорення ящика. Спостерігачеві в ящику здаватиметься, ніби тіло перебуває в однорідному гравітаційному полі, величина g якого дорівнює прискоренню ящика α. Таким чином, інерційні сили, що виникають унаслідок прискорення тіла, не мають моменту відносно центра мас.
Цей факт має дуже цікавий наслідок. В інерційній системі, що рухається без прискорення, момент сил завжди дорівнює швидкості зміни моменту кількості руху. Однак рівність моменту сили і швидкості зміни моменту кількості руху залишається справедливою навіть для тіла, що прискорюється, якщо взяти вісь, яка проходить через центр мас. Таким чином, теорема про рівність моменту сил швидкості зміни моменту кількості руху правильна у двох випадках: 1) вісь зафіксована — в інерціальній системі; 2) вісь проходить через центр мас — навіть коли тіло прискорюється.