Математична техніка обчислення центра мас належить до царини курсів математики; там подібні задачі слугують добрими прикладами для інтегрального числення. Але, навіть уміючи інтегрувати, корисно знати деякі прийоми для обчислення положення центра мас. Один із таких прийомів ґрунтується на використанні так званої теореми Паппа, яка працює так. Якщо ми візьмемо якусь замкнену фігуру й утворимо тверде тіло, обертаючи цю фігуру в просторі так, щоб кожна точка рухалася перпендикулярно до площини фігури, то об'єм тіла, що утворюється при цьому, дорівнює добутку площі фігури на відстань, пройдену її центром ваги! Звісно, ця теорема правильна і в тому випадку, коли плоска фігура рухається по прямій лінії, перпендикулярній до її площі, однак якщо ми рухаємо її по колу чи якійсь іншій кривій, то при цьому виходить набагато цікавіше тіло. При русі по кривому шляху внутрішня частина фігури просувається менше, ніж зовнішня, і ці ефекти компенсують один одного. Тож якщо ми хочемо визначити центр мас плоскої фігури з однорідною густиною, то потрібно пам'ятати, що об'єм, утворений обертанням її відносно осі, дорівнює відстані, яку проходить центр мас, помноженій на площу фігури.
Наприклад, якщо нам потрібно знайти центр мас прямокутного трикутника з основою D і висотою Н (фіг. 19.2), то робиться це так. Уявіть собі вісь, що проходить уздовж Н, і поверніть трикутник на 360° навколо цієї осі. Це дає нам конус. Відстань, яку проходить х-координата центра мас, дорівнює 2πx, а площа області, яка рухалася, тобто площа трикутника, дорівнює 1/2HD. Добуток відстані, пройденої центром мас, на площу трикутника дорівнює об'єму конуса, тобто 1/3πD2H. Таким чином, (2πx)(1/2HD)=1/3πD2H, або x=D/3. Цілком аналогічно обертанням навколо другого катета або просто з міркувань симетрії знаходимо, що у=Н/3. Загалом центр мас будь-якого однорідного трикутника міститься в точці перетину трьох його медіан (ліній, що з'єднують вершину трикутника із серединою протилежної сторони), яка відстоїть від основи на відстані, що дорівнює х/3 довжини кожної медіани.
Як це побачити? Розітніть трикутник лініями, паралельними основі, на безліч смужок. Зауважте тепер, що медіана ділить кожну смужку навпіл, отже, центр мас має лежати на медіані.
Візьмемо тепер складнішу фігуру. Припустімо, що потрібно знайти положення центра мас однорідного півкруга, тобто круга, розрізаного навпіл. Де буде міститися центр мас у цьому разі? Для повного круга центр мас міститься в геометричному центрі, але для півкруга знайти його положення важче. Нехай r—радіус круга, а х — відстань центра мас від прямолінійної межі півкруга. Обертаючи його навколо цього краю як навколо осі, ми отримуємо кулю. При цьому центр мас проходить відстань 2πх, а площа півкруга дорівнює 1/2πr2 (половині площі круга). Оскільки об'єм кулі дорівнює, звісно, 4πr3/3, то звідси знаходимо
Наприклад, якщо нам потрібно знайти центр мас прямокутного трикутника з основою D і висотою Н (фіг. 19.2), то робиться це так. Уявіть собі вісь, що проходить уздовж Н, і поверніть трикутник на 360° навколо цієї осі. Це дає нам конус. Відстань, яку проходить х-координата центра мас, дорівнює 2πx, а площа області, яка рухалася, тобто площа трикутника, дорівнює 1/2HD. Добуток відстані, пройденої центром мас, на площу трикутника дорівнює об'єму конуса, тобто 1/3πD2H. Таким чином, (2πx)(1/2HD)=1/3πD2H, або x=D/3. Цілком аналогічно обертанням навколо другого катета або просто з міркувань симетрії знаходимо, що у=Н/3. Загалом центр мас будь-якого однорідного трикутника міститься в точці перетину трьох його медіан (ліній, що з'єднують вершину трикутника із серединою протилежної сторони), яка відстоїть від основи на відстані, що дорівнює х/3 довжини кожної медіани.
Як це побачити? Розітніть трикутник лініями, паралельними основі, на безліч смужок. Зауважте тепер, що медіана ділить кожну смужку навпіл, отже, центр мас має лежати на медіані.
Візьмемо тепер складнішу фігуру. Припустімо, що потрібно знайти положення центра мас однорідного півкруга, тобто круга, розрізаного навпіл. Де буде міститися центр мас у цьому разі? Для повного круга центр мас міститься в геометричному центрі, але для півкруга знайти його положення важче. Нехай r—радіус круга, а х — відстань центра мас від прямолінійної межі півкруга. Обертаючи його навколо цього краю як навколо осі, ми отримуємо кулю. При цьому центр мас проходить відстань 2πх, а площа півкруга дорівнює 1/2πr2 (половині площі круга). Оскільки об'єм кулі дорівнює, звісно, 4πr3/3, то звідси знаходимо
Зображення
Існує ще одна теорема Паппа, яка фактично є окремим випадком сформульованої вище теореми, а тому теж справедлива. Припустімо, що замість твердого півкруга ми взяли півколо, наприклад шматок дроту у вигляді півкола з однорідною густиною, і хочемо знайти його центр мас. Виявляється, що площа, яку «замітає» плоска крива під час її руху, аналогічного вищеописаному, дорівнює відстані, пройденій центром мас, помноженій на довжину цієї кривої. (Криву можна розглядати як дуже вузьку смужку і застосовувати до неї попередню теорему.)