Давайте тепер справді розв'яжемо нашу задачу. Припустимо, що ми взяли ε = 0,100 с. (Якщо після того, як ми проробимо всі обчислення, виявиться, що цей інтервал недостатньо малий, то необхідно повторити все спочатку з меншим інтервалом часу, наприклад 0,010 с.) Чому дорівнюватиме х (0,1), якщо в початковий момент часу х (0) = 1? Воно дорівнює старому положенню х (0) плюс швидкість у початковий момент (яка дорівнює нулю), помножена на 0,10 с. Таким чином, х (0,1) дорівнює 1,00, бо вантажик ще не почав рухатися. Але нова швидкість у момент 0,10 с дорівнюватиме старій швидкості v (0) =0 плюс ε, помножене на прискорення. А саме прискорення дорівнює —х (0) = —1,00. Так що
v (0, 1) = 0,00 + 0,10 • 1,00 = — 0,10.
У момент 0,20 с
х (0,2) = х (0,1) + εv(0,1) =1,00 — 0,10•0,10 = 0,99
і
v (0,2) = v (0,1) + εа (0,1) = — 0,10 — 0,10 • 1,00 == — 0,20.
Продовжуючи цю процедуру знову і знову, можна знайти положення і швидкість у будь-який момент часу, а це якраз те, що нам потрібно. Однак практично ми використовуємо нехитрий прийом, який дасть змогу підвищити точність обчислень. Якби ми продовжували розпочаті нами розрахунки, то вони виявилися б доволі грубими, оскільки інтервал ε =0,10 с доволі великий. Довелося б зменшити його, скажімо, до 0,01 с. Але тоді, щоб простежити рух за якийсь розумний відрізок часу, знадобилося б зробити безліч кроків. Ми ж організуємо процес так, що зможемо підвищити точність, використовуючи той самий інтервал ε = 0,10 с. Цього можна досягти, дещо змінивши метод розрахунку. Зауважте, що нове положення тіла дорівнює старому плюс інтервал часу ε, помножений на швидкість. Але що це за швидкість? У який момент! На початку інтервалу одна швидкість, а наприкінці вона зовсім інша. Прийом полягає в тому, щоб брати швидкість у середині інтервалу. Якщо відома швидкість у теперішній момент і відомо, що вона змінюється, то як же можна сподіватися отримати задовільний результат, вважаючи, що тіло весь час рухається з тією самою швидкістю, що й у теперішній момент? Розумніше використовувати якусь середню швидкість між початком і кінцем інтервалу. Ті самі міркування застосовні до зміни самої швидкості: для підрахунку її змін потрібно використовувати прискорення в середній точці між двома моментами часу, в яких необхідно знайти швидкість. Таким чином, реально ми будемо користуватися такими рівняннями: положення наприкінці інтервалу дорівнює положенню на початку плюс інтервал ε, помножений на швидкість у середині інтервалу. Ця швидкість, своєю чергою, дорівнює швидкості в середині попереднього інтервалу (тобто на відрізок ε менше) плюс прискорення на початку інтервалу, помножене на ε. Таким чином, ми будемо користуватися рівняннями
v (0, 1) = 0,00 + 0,10 • 1,00 = — 0,10.
У момент 0,20 с
х (0,2) = х (0,1) + εv(0,1) =1,00 — 0,10•0,10 = 0,99
і
v (0,2) = v (0,1) + εа (0,1) = — 0,10 — 0,10 • 1,00 == — 0,20.
Продовжуючи цю процедуру знову і знову, можна знайти положення і швидкість у будь-який момент часу, а це якраз те, що нам потрібно. Однак практично ми використовуємо нехитрий прийом, який дасть змогу підвищити точність обчислень. Якби ми продовжували розпочаті нами розрахунки, то вони виявилися б доволі грубими, оскільки інтервал ε =0,10 с доволі великий. Довелося б зменшити його, скажімо, до 0,01 с. Але тоді, щоб простежити рух за якийсь розумний відрізок часу, знадобилося б зробити безліч кроків. Ми ж організуємо процес так, що зможемо підвищити точність, використовуючи той самий інтервал ε = 0,10 с. Цього можна досягти, дещо змінивши метод розрахунку. Зауважте, що нове положення тіла дорівнює старому плюс інтервал часу ε, помножений на швидкість. Але що це за швидкість? У який момент! На початку інтервалу одна швидкість, а наприкінці вона зовсім інша. Прийом полягає в тому, щоб брати швидкість у середині інтервалу. Якщо відома швидкість у теперішній момент і відомо, що вона змінюється, то як же можна сподіватися отримати задовільний результат, вважаючи, що тіло весь час рухається з тією самою швидкістю, що й у теперішній момент? Розумніше використовувати якусь середню швидкість між початком і кінцем інтервалу. Ті самі міркування застосовні до зміни самої швидкості: для підрахунку її змін потрібно використовувати прискорення в середній точці між двома моментами часу, в яких необхідно знайти швидкість. Таким чином, реально ми будемо користуватися такими рівняннями: положення наприкінці інтервалу дорівнює положенню на початку плюс інтервал ε, помножений на швидкість у середині інтервалу. Ця швидкість, своєю чергою, дорівнює швидкості в середині попереднього інтервалу (тобто на відрізок ε менше) плюс прискорення на початку інтервалу, помножене на ε. Таким чином, ми будемо користуватися рівняннями
Зображення
Залишається ще одне невелике питання: що таке v (ε/2)? Спочатку в нас було v (0), а не v(— ε/2). Але тепер, щоб почати наші обчислення, необхідно використати додаткове рівняння v (ε/2) = v (0) + (ε/2)а(0).
Ну, а тепер усе готове для розрахунків. Для зручності їх можна виконати у вигляді таблиці, у стовпцях якої стоять час, положення, швидкість і прискорення, причому швидкість пишеться в проміжках між рядками (табл. 9.1). Така таблиця є, звичайно, просто зручним способом запису результатів, отриманих із рівнянь (9.16), і фактично повністю їх замінює.
Зображення
Ми просто заповнюємо одне за одним вільні місця в ній і отримуємо дуже цікаву картину руху: спочатку вантажик перебуває в спокої, потім потроху набуває від'ємної швидкості (вгору), а це призводить до зменшення його відстані від точки рівноваги. При цьому хоча прискорення і стає меншим, воно все ще «підганяє» швидкість. Однак у міру наближення до положення рівноваги (х = 0) прискорення стає все меншим і меншим, швидкість наростає все повільніше й повільніше, але все ще наростає аж до точки х = 0, яка досягається приблизно через 1,5 с. Скажімо по секрету, що станеться далі. Вантажик, звичайно, не зупиниться в точці х = 0, а піде далі, але тепер усе піде навпаки: його положення х стане від'ємним, а прискорення — додатним. Швидкість почне зменшуватися. Цікаво порівняти отримані нами числа з функцією cos t. Результат цього порівняння представлений на фіг. 9.4. Виявляється, що в межах точності наших розрахунків (три знаки після коми) збіг повний! Пізніше ви дізнаєтеся, що функція cos t — точний розв'язок нашого рівняння, так що у вас тепер є наочне уявлення про міць чисельного аналізу: настільки простий розрахунок дає настільки точний результат.