Наведений аналіз дуже підходить до руху осцилюючої пружинки з вантажиком, але чи можна таким самим шляхом обчислювати рух планети навколо Сонця? Погляньмо, чи можна за деяких наближень отримати еліптичну орбіту. Припустимо, що Сонце нескінченно важке в тому сенсі, що його рух не братиметься до уваги.
Припустимо, що у відомій точці планета почала свій рух і має певну швидкість. Вона рухається навколо Сонця по якійсь кривій, і ми спробуємо визначити за допомогою рівнянь руху Ньютона і його ж закону всесвітнього тяжіння, що це за крива. Як це зробити? У якийсь момент часу планета перебуває в якомусь певному місці, на відстані г від Сонця; у цьому разі відомо, що на неї діє сила, спрямована по прямій до Сонця, яка, згідно із законом тяжіння, дорівнює певній сталій, помноженій на добуток мас планети і Сонця і поділеній на квадрат відстані між ними. Щоб міркувати далі, потрібно з'ясувати, яке прискорення викликає ця сила.
Однак на відміну від попередньої задачі нам тепер знадобляться компоненти прискорення у двох напрямках, які ми назвемо х і у. Положення планети в даний момент визначатиметься координатами х і у, оскільки третя координата z завжди дорівнює нулю.
Дійсно, координатну площину ху обрано нами так, що z-компоненти як сили, так і початкової швидкості дорівнюють нулю, а тому немає жодних причин, які б змусили планету вийти з цієї площини. Сила при цьому буде спрямована по лінії, що з'єднує планету із Сонцем, як це показано на фіг. 9.5.
Сила тяжіння, що діє на планету.
З цього рисунка видно, що горизонтальна компонента сили так відноситься до повної її величини, як координата х відноситься до відстані r. Це відразу випливає з подібності трикутників. Крім того, якщо х додатна, то Fx від'ємна, і навпаки.
Таким чином, Fx/|F|=—x/r, або Fx = —|F|x/r=—GMmx/r3 і відповідно Fy =—GMmy/r3. Тепер можна скористатися динамічними законами (9.7) і записати, що х- або у-компонента прискорення, помножена на масу планети, дорівнює відповідно х- або у-компоненті сили:
Сила тяжіння, що діє на планету.
З цього рисунка видно, що горизонтальна компонента сили так відноситься до повної її величини, як координата х відноситься до відстані r. Це відразу випливає з подібності трикутників. Крім того, якщо х додатна, то Fx від'ємна, і навпаки.
Таким чином, Fx/|F|=—x/r, або Fx = —|F|x/r=—GMmx/r3 і відповідно Fy =—GMmy/r3. Тепер можна скористатися динамічними законами (9.7) і записати, що х- або у-компонента прискорення, помножена на масу планети, дорівнює відповідно х- або у-компоненті сили:
Зображення
Це саме та система рівнянь, яку ми повинні розв'язати. Щоб спростити обчислення, припустимо, що або одиниці виміру часу чи маси обрані відповідним чином, або нам просто пощастило, словом, вийшло так, що GM ≡ 1. Для нашого випадку припустимо, що в початковий момент t = 0 планета перебувала в точці з координатами х = 0,500 і у = 0,000, а її швидкість у цей момент спрямована паралельно осі у і дорівнює 1,6300. Як же в цьому випадку робляться розрахунки? Знову складається таблиця зі стовпцями для часу t, координати х, x-компонент швидкості vx і прискорення аx. Потім ідуть відокремлені рискою три колонки: для координати у, у-компонент швидкості і прискорення. Однак, для того щоб підрахувати прискорення, ми повинні скористатися рівнянням (9.17), згідно з яким його компоненти дорівнюють —х/r3 і —у/r3, а r = √(х2 + у2). Так що, отримавши х і у, ми повинні десь осторонь провести невеликі обчислення — видобути квадратний корінь із суми квадратів і отримати відстань. Зручно також окремо обчислити і 1/r3.
Після цього все готове, щоб визначити компоненти прискорення. Всю цю роботу можна сильно полегшити, якщо користуватися таблицями квадратів, кубів і обернених величин. На нашу долю залишиться тоді тільки множення х на 1/r3, яке легко виконується на логарифмічній лінійці.
Перейдімо до подальшого. Візьмемо інтервал часу ε=0,100. У початковий момент t =0
x(0) = 0,500, y(0)= 0,000,
vx (0) = 0,000, vy(0) = +1,630.
Звідси знаходимо
r(0)= 0,500, 1/r3= 8,000,
аx = — 4,000, ay = 0,000.
Після цього можна обчислювати компоненти vx (0,05) і vy (0,05):
vx (0,05) = 0,000 — 4,000•0,050 = — 0,200,
vy (0,05) = 1,630 + 0,000•0,100 = 1,630.
А тепер почнемо наш основний розрахунок:
х (0,1) = 0,500 — 0,200•0,1 = 0,480,
y (0,1) = 0,00 + 1,63•0,1=0,163,
r = √( (0,480)2 + (0,163)2 )= 0,507,
1/r3 = 7,67,
аx (0,1) =0,480•7,67 = — 3,68,
аy(0,1) = —0,163•7,70 = — 1,256,
vx = (0,15) = —0,200 —3,68•0,1 = — 0,568,
vy (0,15) = 1,630—1,26•0,1 = 1,505,
x (0,2) =0,480—0,568•0,1 = 0,423,
у (0,2) = 0,1634 + 1,50•0,1 =0,313 і т. д.
У результаті ми отримаємо числа, наведені в табл. 9.2, де приблизно за 20 кроків простежено половину шляху нашої планети навколо Сонця. На фіг. 9.6 відкладено координати планети х і у, наведені в табл. 9.2. Точки являють собою послідовні положення планети через кожну десяту частку обраної нами одиниці часу. Видно, що спочатку вона рухалася швидко, а потім — все повільніше і повільніше. Видно також і форму кривої руху планети. Отже, ви тепер знаєте, як реально можна обчислювати рух планет!
x(0) = 0,500, y(0)= 0,000,
vx (0) = 0,000, vy(0) = +1,630.
Звідси знаходимо
r(0)= 0,500, 1/r3= 8,000,
аx = — 4,000, ay = 0,000.
Після цього можна обчислювати компоненти vx (0,05) і vy (0,05):
vx (0,05) = 0,000 — 4,000•0,050 = — 0,200,
vy (0,05) = 1,630 + 0,000•0,100 = 1,630.
А тепер почнемо наш основний розрахунок:
х (0,1) = 0,500 — 0,200•0,1 = 0,480,
y (0,1) = 0,00 + 1,63•0,1=0,163,
r = √( (0,480)2 + (0,163)2 )= 0,507,
1/r3 = 7,67,
аx (0,1) =0,480•7,67 = — 3,68,
аy(0,1) = —0,163•7,70 = — 1,256,
vx = (0,15) = —0,200 —3,68•0,1 = — 0,568,
vy (0,15) = 1,630—1,26•0,1 = 1,505,
x (0,2) =0,480—0,568•0,1 = 0,423,
у (0,2) = 0,1634 + 1,50•0,1 =0,313 і т. д.
У результаті ми отримаємо числа, наведені в табл. 9.2, де приблизно за 20 кроків простежено половину шляху нашої планети навколо Сонця. На фіг. 9.6 відкладено координати планети х і у, наведені в табл. 9.2. Точки являють собою послідовні положення планети через кожну десяту частку обраної нами одиниці часу. Видно, що спочатку вона рухалася швидко, а потім — все повільніше і повільніше. Видно також і форму кривої руху планети. Отже, ви тепер знаєте, як реально можна обчислювати рух планет!
Зображення
Погляньмо тепер, як обчислити рух Нептуна, Юпітера, Урана та решти планет. Чи можна зробити детальні розрахунки з безліччю планет, враховуючи до того ж і рух Сонця? Звісно, можна. Знайдемо спершу силу, що діє на кожну задану планету, наприклад на ту, яку ми позначимо номером i і координати якої хi, уi і zi - (i = 1 може означати Сонце, i = 2 — Меркурій, i = 3 — Венеру і т. д.). Наше завдання — знайти координати всіх планет. За законом тяжіння x-компонента сили, що діє на i-ту планету з боку планети номер j з координатами xj, уj, zj, дорівнюватиме —Gmimj(xi—xj)/r3ij. Якщо ж урахувати сили з боку всіх планет, то отримаємо таку систему рівнянь:
Зображення
де rij — відстань між i-ю і j-ю планетами:
Зображення
а ∑ означає підсумовування за всіма іншими планетами, тобто за всіма значеннями j, за винятком, звісно, j = i. Таким чином, щоб розв'язати це рівняння, потрібно лише значно збільшити кількість стовпців у нашій таблиці. Для руху Юпітера знадобиться дев'ять стовпців, для Сатурна — теж дев'ять і т. д. Якщо нам задані всі початкові положення і швидкості, то з рівняння (9.18) можна підрахувати всі прискорення, обчисливши, звісно, попередньо за формулою (9.19) усі відстані гij. А скільки ж часу знадобиться на всі ці обчислення? Якщо ви робитимете їх самі вдома, то дуже багато! Однак зараз уже є машини, які неймовірно швидко виконують усі арифметичні розрахунки. Додавання, наприклад, така машина виконує за 1 мкс, тобто за одну мільйонну частку секунди, а множення — за 10 мкс. Так що якщо один цикл розрахунків складається з 30 операцій множення, то це займе всього лише 300 мкс, або за 1 с можна зробити 3000 циклів. Якщо ми хочемо рахувати з точністю до однієї мільярдної, то для того, щоб покрити весь час обертання планети навколо Сонця, потрібно 4*105 циклів. (Виявляється, що похибка в розрахунках приблизно пропорційна квадрату е. Якщо брати інтервал у тисячу разів менший, то похибка зменшиться в мільйон разів. Так що для забезпечення нашої точності потрібно взяти інтервал у 10 000 разів менший.) На машині це займе 130 с, або близько 2 хв. Всього лише 2 хв, для того щоб «прогнати» Юпітер навколо Сонця і при цьому ще з точністю до однієї мільярдної врахувати всі збурення від інших планет!
Отже, на початку цього розділу для вас були загадкою рухи вантажика на пружинці, однак тепер, озброєні таким потужним знаряддям, як закони Ньютона, ви можете обчислювати не тільки такі прості явища, як хитання вантажика, а й неймовірно складні рухи планет, причому з будь-якою бажаною точністю! Потрібна тільки машина, яка знає арифметику.