До розділу 39. Кінетична теорія газів
39.1. Можна показати, що при адіабатичному стисненні ідеального газу виконується співвідношення PVγ=const [див. формулу (39.14), вип. 4, стор. 13]. З іншого боку, за всіх умов PV/T=const. Використовуючи ці дані, знайдіть зв'язок між параметрами P і T або V і T для випадку адіабатичного стиснення.
39.2. За допомогою двотактного насоса, який використовують для накачування велосипедних шин, можна досягти тиску 3,5 кгс/см2, почавши накачування повітря за нормального атмосферного тиску [1 кгс/см2 за 20° С (293° К)]. Яка температура (за шкалою Цельсія) повітря, що виходить із насоса, якщо для повітря γ= 1,40? Втратами тепла крізь стінки насоса можна знехтувати.
39.3. Гелій (газ) міститься в одній половині двох ідентичних теплоізольованих посудин, причому другу половину кожної з посудин відкачано до повного вакууму. Кожну посудину розділено перегородкою, у якій є отвір, що закривається (див. рисунок). Проводяться два досліди:
а) Отвір у перегородці однієї посудини відкривається, і газ перетікає в другу половину посудини, поки не встановиться рівновага. Потім перегородку починають повільно пересувати до одного з країв посудини.
б) Перегородку іншої посудини дуже повільно рухають у напрямку до вакуумованого краю до упору. Порівняйте кількісно кінцевий стан газу в цих двох посудинах (тертям під час пересування перегородки можна знехтувати).
39.4. а) Уявіть собі високу вертикальну колонку, наповнену газом або рідиною, густина яких змінюється з висотою. Покажіть, що в цьому разі залежність тиску від висоти описується диференціальним рівнянням dP/dh=–ρ(h)g.
б) Розв'яжіть це рівняння для випадку атмосферного повітря (молекулярна маса μ), якщо його температура не залежить від висоти.
39.5. Адіабатичною називається атмосфера, в якій тиск і густина залежно від висоти задовольняють співвідношенню Pρ–γ=const.
а) Покажіть, що температура такої атмосфери лінійно зменшується з висотою, і знайдіть коефіцієнт пропорційності. Такий температурний градієнт називається адіабатичним. Знайдіть температурний градієнт для земної атмосфери.
б) Використовуючи аргументи, засновані на енергетичних міркуваннях, покажіть, що атмосфера з температурним градієнтом, меншим або більшим за адіабатичний, буде відповідно стабільною або нестабільною відносно конвекції.
39.6. Циліндр із непроникною абсолютно гладкою перегородкою містить 1 м3 газу за тиску 1 атм. Газ повільно стискається за постійної температури до кінцевого об'єму 0,4 м3. Яку роботу при цьому витрачено?
39.7. Два гази, A і B, які займають один і той самий початковий об'єм V0, за однакового початкового тиску Р0 раптово зазнають адіабатичного стиснення, кожен — до половини свого первісного об'єму. Який кінцевий тиск у кожному газі порівняно з початковим, якщо γA= 5/3 (одноатомний газ), γB = 7/5(двоатомний)?
39.8. Знайти відношення кількостей роботи, потрібної для стиснення газів A і B, розглянутих у задачі 39.7.
39.9. Дві сфери об'ємом 200 і 100 см3 з'єднані короткою трубкою (див. рисунок), у якій є ізолювальна пориста перегородка. За її допомогою можна досягти рівності тисків у посудинах, але не температури. Система перебуває за t=27° С і містить кисень під тиском 760 мм рт. ст. Мала сфера поміщається в посудину з льодом за 0° С, а велика — у посудину з парою за 100° С. Який тиск установиться в системі? Тепловим розширенням сфер знехтувати.
39.10.Резервуар на 50 л з'єднаний із резервуаром на 15 л за допомогою короткої трубки, у якій є спеціальний клапан тиску, що дозволяє газу просочуватися з великого резервуара в малий, якщо тиск у великому перевищує тиск у меншому на 88 см рт. ст. За t=17° С більший резервуар містить газ за атмосферного тиску, а менший — повністю вакуумований. Який буде тиск в останньому, якщо обидва резервуари нагріти до 162° С?
39.11.За кімнатної температури чотириокис азоту частково дисоціює на двоокис азоту:
39.1. Можна показати, що при адіабатичному стисненні ідеального газу виконується співвідношення PVγ=const [див. формулу (39.14), вип. 4, стор. 13]. З іншого боку, за всіх умов PV/T=const. Використовуючи ці дані, знайдіть зв'язок між параметрами P і T або V і T для випадку адіабатичного стиснення.
39.2. За допомогою двотактного насоса, який використовують для накачування велосипедних шин, можна досягти тиску 3,5 кгс/см2, почавши накачування повітря за нормального атмосферного тиску [1 кгс/см2 за 20° С (293° К)]. Яка температура (за шкалою Цельсія) повітря, що виходить із насоса, якщо для повітря γ= 1,40? Втратами тепла крізь стінки насоса можна знехтувати.
39.3. Гелій (газ) міститься в одній половині двох ідентичних теплоізольованих посудин, причому другу половину кожної з посудин відкачано до повного вакууму. Кожну посудину розділено перегородкою, у якій є отвір, що закривається (див. рисунок). Проводяться два досліди:а) Отвір у перегородці однієї посудини відкривається, і газ перетікає в другу половину посудини, поки не встановиться рівновага. Потім перегородку починають повільно пересувати до одного з країв посудини.
б) Перегородку іншої посудини дуже повільно рухають у напрямку до вакуумованого краю до упору. Порівняйте кількісно кінцевий стан газу в цих двох посудинах (тертям під час пересування перегородки можна знехтувати).
39.4. а) Уявіть собі високу вертикальну колонку, наповнену газом або рідиною, густина яких змінюється з висотою. Покажіть, що в цьому разі залежність тиску від висоти описується диференціальним рівнянням dP/dh=–ρ(h)g.
б) Розв'яжіть це рівняння для випадку атмосферного повітря (молекулярна маса μ), якщо його температура не залежить від висоти.
39.5. Адіабатичною називається атмосфера, в якій тиск і густина залежно від висоти задовольняють співвідношенню Pρ–γ=const.
а) Покажіть, що температура такої атмосфери лінійно зменшується з висотою, і знайдіть коефіцієнт пропорційності. Такий температурний градієнт називається адіабатичним. Знайдіть температурний градієнт для земної атмосфери.
б) Використовуючи аргументи, засновані на енергетичних міркуваннях, покажіть, що атмосфера з температурним градієнтом, меншим або більшим за адіабатичний, буде відповідно стабільною або нестабільною відносно конвекції.
39.6. Циліндр із непроникною абсолютно гладкою перегородкою містить 1 м3 газу за тиску 1 атм. Газ повільно стискається за постійної температури до кінцевого об'єму 0,4 м3. Яку роботу при цьому витрачено?
39.7. Два гази, A і B, які займають один і той самий початковий об'єм V0, за однакового початкового тиску Р0 раптово зазнають адіабатичного стиснення, кожен — до половини свого первісного об'єму. Який кінцевий тиск у кожному газі порівняно з початковим, якщо γA= 5/3 (одноатомний газ), γB = 7/5(двоатомний)?
39.8. Знайти відношення кількостей роботи, потрібної для стиснення газів A і B, розглянутих у задачі 39.7.
39.9. Дві сфери об'ємом 200 і 100 см3 з'єднані короткою трубкою (див. рисунок), у якій є ізолювальна пориста перегородка. За її допомогою можна досягти рівності тисків у посудинах, але не температури. Система перебуває за t=27° С і містить кисень під тиском 760 мм рт. ст. Мала сфера поміщається в посудину з льодом за 0° С, а велика — у посудину з парою за 100° С. Який тиск установиться в системі? Тепловим розширенням сфер знехтувати.39.10.Резервуар на 50 л з'єднаний із резервуаром на 15 л за допомогою короткої трубки, у якій є спеціальний клапан тиску, що дозволяє газу просочуватися з великого резервуара в малий, якщо тиск у великому перевищує тиск у меншому на 88 см рт. ст. За t=17° С більший резервуар містить газ за атмосферного тиску, а менший — повністю вакуумований. Який буде тиск в останньому, якщо обидва резервуари нагріти до 162° С?
39.11.За кімнатної температури чотириокис азоту частково дисоціює на двоокис азоту:
Зображення
У вакуумовану посудину об'ємом 250 см3 вводиться 0,90 г рідкого N2O4 за 0° С. Коли температура в посудині збільшується до 27° С, рідина випаровується, а тиск стає рівним 960 мм рт. ст. Скільки відсотків чотириокису азоту при цьому дисоціює?
39.12. Спочатку 1 моль ідеального одноатомного газу перебуває в ізольованій посудині з рухомою кришкою, займаючи об'єм V1 за тиску Р1 і температури T1=27°С. Потім він повільно нагрівається за допомогою поміщеного всередину нагрівача, на що повністю витрачається енергія 8,31 вт-год. У результаті газ розширюється за постійного тиску Р1, нагріваючись до температури T2 і займаючи кінцевий об'єм V2. Обчисліть роботу, виконану газом при розширенні, і запас енергії газу, а також знайдіть: а) Т2, б) V2 /V1.
До розділу 40. Принципи статистичної механіки
40.1. У радіометрі молекули газу бомбардують тонкі легкі крильця вертушки, які з одного боку зачорнені, а з другого — вкриті блискучою фарбою. Коли на крильця потрапляє випромінювання, поглинена ними при цьому енергія виноситься переважно молекулами, що бомбардують зачорнений бік кожного крильця. У результаті виникає результуюча незбалансована сила, яка повертає вертушку. Розглянемо посудину, в якій є n молекул маси m в одиниці об'єму, за абсолютної температури T. Тонке крильце одиничної площі, розташоване всередині такої посудини, поглинає енергію випромінювання зі швидкістю π вт, причому ця енергія виноситься (ізотропно) молекулами, що потрапляють лише на один бік крильця. Оцініть приблизно силу, яка діє на крильце в повітрі за кімнатної температури.
40.2. Яка частка молекул газу (газ перебуває в тепловій рівновазі), що досягають за одиницю часу поверхні посудини, має кінетичну енергію:
а) більшу, ніж середня теплова,
б) у 3 рази більшу, ніж середня теплова?
40.3. Молярна теплоємність речовини за постійного об'єму Cv— це кількість енергії, потрібна для підвищення температури 1 моля речовини на 1°, якщо об'єм залишається постійним. Чому дорівнює молярна теплоємність за постійного об'єму:
а) ідеального одноатомного газу?
б) ідеального двоатомного газу?
40.4. Газ за нормальних тиску і температури втікає зі швидкістю v крізь гладку трубку з постійним поперечним перерізом площею A. Коли газ проходить через дротяну сітку, що чинить мізерно малий опір потоку, він нагрівається. Потужність, яку він набуває, дорівнює q вm. З трубки газ витікає зі швидкістю v′. Напишіть рівняння, що виражають закони збереження маси, енергії та імпульсу для випадку, коли через трубку протікає повітря, а потім знайдіть:
а) v′,
б) кінцеву температуру T,
в) тягу F (основна характеристика реактивного двигуна).
40.5. Обговоріть переваги повітряно-реактивного двигуна у світлі попередньої задачі, якщо під час його роботи витрачається 100 кг повітря і 2,00 кг гасу за секунду. Теплотворна здатність гасу становить близько 4,65·107 дж/кг. Які обставини можуть зробити неправильним отриманий вами результат?
40.6. Закон розподілу Максвелла має вигляд
39.12. Спочатку 1 моль ідеального одноатомного газу перебуває в ізольованій посудині з рухомою кришкою, займаючи об'єм V1 за тиску Р1 і температури T1=27°С. Потім він повільно нагрівається за допомогою поміщеного всередину нагрівача, на що повністю витрачається енергія 8,31 вт-год. У результаті газ розширюється за постійного тиску Р1, нагріваючись до температури T2 і займаючи кінцевий об'єм V2. Обчисліть роботу, виконану газом при розширенні, і запас енергії газу, а також знайдіть: а) Т2, б) V2 /V1.
До розділу 40. Принципи статистичної механіки
40.1. У радіометрі молекули газу бомбардують тонкі легкі крильця вертушки, які з одного боку зачорнені, а з другого — вкриті блискучою фарбою. Коли на крильця потрапляє випромінювання, поглинена ними при цьому енергія виноситься переважно молекулами, що бомбардують зачорнений бік кожного крильця. У результаті виникає результуюча незбалансована сила, яка повертає вертушку. Розглянемо посудину, в якій є n молекул маси m в одиниці об'єму, за абсолютної температури T. Тонке крильце одиничної площі, розташоване всередині такої посудини, поглинає енергію випромінювання зі швидкістю π вт, причому ця енергія виноситься (ізотропно) молекулами, що потрапляють лише на один бік крильця. Оцініть приблизно силу, яка діє на крильце в повітрі за кімнатної температури.
40.2. Яка частка молекул газу (газ перебуває в тепловій рівновазі), що досягають за одиницю часу поверхні посудини, має кінетичну енергію:
а) більшу, ніж середня теплова,
б) у 3 рази більшу, ніж середня теплова?
40.3. Молярна теплоємність речовини за постійного об'єму Cv— це кількість енергії, потрібна для підвищення температури 1 моля речовини на 1°, якщо об'єм залишається постійним. Чому дорівнює молярна теплоємність за постійного об'єму:
а) ідеального одноатомного газу?
б) ідеального двоатомного газу?
40.4. Газ за нормальних тиску і температури втікає зі швидкістю v крізь гладку трубку з постійним поперечним перерізом площею A. Коли газ проходить через дротяну сітку, що чинить мізерно малий опір потоку, він нагрівається. Потужність, яку він набуває, дорівнює q вm. З трубки газ витікає зі швидкістю v′. Напишіть рівняння, що виражають закони збереження маси, енергії та імпульсу для випадку, коли через трубку протікає повітря, а потім знайдіть:
а) v′,
б) кінцеву температуру T,
в) тягу F (основна характеристика реактивного двигуна).
40.5. Обговоріть переваги повітряно-реактивного двигуна у світлі попередньої задачі, якщо під час його роботи витрачається 100 кг повітря і 2,00 кг гасу за секунду. Теплотворна здатність гасу становить близько 4,65·107 дж/кг. Які обставини можуть зробити неправильним отриманий вами результат?
40.6. Закон розподілу Максвелла має вигляд
Зображення
Він може бути перетворений так: у=х2е–x
а) Намалюйте графік цієї функції для 0≤x≤3,00 і покажіть, що при збільшенні x головну роль відіграє експоненціальний член.
б) Знайдіть максимальне значення y.
40.7. За атмосферного тиску закон n=n0e–mgh/kT; величина kT/mg=RT/ug визначає так звану шкалу висоти (и — молекулярна маса). Розрахуйте шкалу висоти для земної атмосфери і навколосонячного простору, якщо
а) Намалюйте графік цієї функції для 0≤x≤3,00 і покажіть, що при збільшенні x головну роль відіграє експоненціальний член.
б) Знайдіть максимальне значення y.
40.7. За атмосферного тиску закон n=n0e–mgh/kT; величина kT/mg=RT/ug визначає так звану шкалу висоти (и — молекулярна маса). Розрахуйте шкалу висоти для земної атмосфери і навколосонячного простору, якщо
Зображення
До розділу 41. Броунівський рух
41.1. Розрахуйте (і запам'ятайте):
а) температуру Т, за якої kT= 1 еВ;
б) величину kT (в еВ) за кімнатної температури;
в) довжину хвилі фотона, що відповідає квантовому переходу з різницею енергій 1 еВ.
41.2. Закон розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла має вигляд
41.1. Розрахуйте (і запам'ятайте):
а) температуру Т, за якої kT= 1 еВ;
б) величину kT (в еВ) за кімнатної температури;
в) довжину хвилі фотона, що відповідає квантовому переходу з різницею енергій 1 еВ.
41.2. Закон розподілу випромінювання абсолютно чорного тіла має вигляд
Зображення
Перейшовши до нової змінної x=hω/kT, покажіть, що:
а) проінтегрована по всіх частотах повна інтенсивність випромінювання пропорційна четвертому степеню абсолютної температури;
б) частота ωm, при якій I(ω) має максимальне значення, пропорційна абсолютній температурі.
41.3. Знайдіть відносні інтенсивності світла з довжиною хвилі 0,31 мк, що випромінюється двома абсолютно чорними тілами, які перебувають за температури 2000 і 4000° К відповідно.
До розділу 42. Застосування кінетичної теорії
42.1. Енергія активації, теплота випаровування, теплоти утворення або дисоціації і т. д. зазвичай виражаються в джоулях на 1 г-моль або в електрон-вольтах на 1 атом. Скільки дж/г-моль міститься в 1 еВ/атом? (Хіміки зазвичай використовують енергетичну одиницю, що називається кілокалорією; 1 ккал=4186 дж.)
42.2. а) Побудуйте графік густини парів ртуті залежно від 1/T в напівлогарифмічній шкалі (відповідні дані візьміть з підручників фізики та хімії). За допомогою графіка визначте теплоту випаровування ртуті. Порівняйте ваші результати з табличною величиною.
б) Зробіть те саме для води.
42.3. У температурному інтервалі 0—300° С теплота сублімації ртуті змінюється лише на 3% (у середньому це становить близько 0,61 еВ/атом). Яку похибку ви зробите при розрахунку густини парів ртуті за 0° С, якщо використаєте теплоту сублімації за 300° С замість правильного значення за 0° С?
Зауваження. Незначна у відсотковому відношенні відмінність у показнику експоненти може призвести до великої похибки.
42.4. Опір майже чистого кремнію залежно від температури показано на доданому графіку. Зробіть якісний висновок про природу прямого струму в цій речовині вище й нижче 300° С.
До розділу 48. Дифузія
43.1. «Діаметр» молекули кисню приблизно дорівнює d=3 Å. Обчисліть середню довжину вільного пробігу і середній час між двома зіткненнями для молекул кисню за нормальних тиску і температури.
43.2. Посудина містить 1024 молекул газу, середня довжина вільного пробігу однієї молекули дорівнює l. Для якої довжини пробігу L ймовірність того, що хоч якась із молекул пройде в посудині без зіткнення шлях, що перевищує L, менша за 50%?
43.3. Якщо в речовині існує температурний градієнт, то відбувається перенесення тепла, причому кількість енергії, що переноситься за одиницю часу, пропорційна цьому градієнту (без урахування конвекції). Коефіцієнт пропорційності, приведений до одиниці площі та до одиниці температурного градієнта, називається теплопровідністю К. Таким чином, dE/dt=KA(dt/dx). Покажіть, що за відсутності конвекції теплопровідність газу дорівнює
а) проінтегрована по всіх частотах повна інтенсивність випромінювання пропорційна четвертому степеню абсолютної температури;
б) частота ωm, при якій I(ω) має максимальне значення, пропорційна абсолютній температурі.
41.3. Знайдіть відносні інтенсивності світла з довжиною хвилі 0,31 мк, що випромінюється двома абсолютно чорними тілами, які перебувають за температури 2000 і 4000° К відповідно.
До розділу 42. Застосування кінетичної теорії
42.1. Енергія активації, теплота випаровування, теплоти утворення або дисоціації і т. д. зазвичай виражаються в джоулях на 1 г-моль або в електрон-вольтах на 1 атом. Скільки дж/г-моль міститься в 1 еВ/атом? (Хіміки зазвичай використовують енергетичну одиницю, що називається кілокалорією; 1 ккал=4186 дж.)
42.2. а) Побудуйте графік густини парів ртуті залежно від 1/T в напівлогарифмічній шкалі (відповідні дані візьміть з підручників фізики та хімії). За допомогою графіка визначте теплоту випаровування ртуті. Порівняйте ваші результати з табличною величиною.
б) Зробіть те саме для води.
42.3. У температурному інтервалі 0—300° С теплота сублімації ртуті змінюється лише на 3% (у середньому це становить близько 0,61 еВ/атом). Яку похибку ви зробите при розрахунку густини парів ртуті за 0° С, якщо використаєте теплоту сублімації за 300° С замість правильного значення за 0° С?
Зауваження. Незначна у відсотковому відношенні відмінність у показнику експоненти може призвести до великої похибки.
42.4. Опір майже чистого кремнію залежно від температури показано на доданому графіку. Зробіть якісний висновок про природу прямого струму в цій речовині вище й нижче 300° С.До розділу 48. Дифузія
43.1. «Діаметр» молекули кисню приблизно дорівнює d=3 Å. Обчисліть середню довжину вільного пробігу і середній час між двома зіткненнями для молекул кисню за нормальних тиску і температури.
43.2. Посудина містить 1024 молекул газу, середня довжина вільного пробігу однієї молекули дорівнює l. Для якої довжини пробігу L ймовірність того, що хоч якась із молекул пройде в посудині без зіткнення шлях, що перевищує L, менша за 50%?
43.3. Якщо в речовині існує температурний градієнт, то відбувається перенесення тепла, причому кількість енергії, що переноситься за одиницю часу, пропорційна цьому градієнту (без урахування конвекції). Коефіцієнт пропорційності, приведений до одиниці площі та до одиниці температурного градієнта, називається теплопровідністю К. Таким чином, dE/dt=KA(dt/dx). Покажіть, що за відсутності конвекції теплопровідність газу дорівнює
Зображення
Примітка. Інтерпретуйте теплопровідність як перенесення внутрішньої (теплової) енергії U через площину всередині речовини, як це було зроблено при розгляді процесу дифузії.
43.4. Коли в рідині існує градієнт швидкості, причому швидкість залежить від відстані в напрямку, перпендикулярному до потоку, то в результаті виникає чинник, що гальмує рух, званий в'язкістю. У газі його поява зумовлена перенесенням імпульсу. Через кожну площину імпульс переноситься молекулами, що перебувають по обидва боки від неї на відстані, що не перевищує довжину вільного пробігу. Якщо потік рухається в напрямку осі x і існує градієнт швидкості vx у напрямку осі y, то сила в'язкості, віднесена до одиниці площі площини, перпендикулярної до осі y, дорівнює F/A=ηdvx/dy. Покажіть, що для газу коефіцієнт в'язкості η приблизно дорівнює
43.4. Коли в рідині існує градієнт швидкості, причому швидкість залежить від відстані в напрямку, перпендикулярному до потоку, то в результаті виникає чинник, що гальмує рух, званий в'язкістю. У газі його поява зумовлена перенесенням імпульсу. Через кожну площину імпульс переноситься молекулами, що перебувають по обидва боки від неї на відстані, що не перевищує довжину вільного пробігу. Якщо потік рухається в напрямку осі x і існує градієнт швидкості vx у напрямку осі y, то сила в'язкості, віднесена до одиниці площі площини, перпендикулярної до осі y, дорівнює F/A=ηdvx/dy. Покажіть, що для газу коефіцієнт в'язкості η приблизно дорівнює
Зображення
де n — концентрація молекул; m — маса молекули; / — довжина вільного пробігу; σ=n0l.
43. 5. Зазначимо, що теплопровідність і в'язкість газу не залежать від тиску. Відповідним чином змініть формулу для кількості енергії, яка переноситься між двома поверхнями, що мають температури T і T+ΔT і розташованими на відстані D одна від одної, якщо l»D. Зробіть те саме, розглядаючи процес перенесення імпульсу між двома такими поверхнями, що рухаються зі швидкостями v і v+Δv.
43.6. Два гази A і B з густинами ρA і ρB перебувають за певної температури Т0. Окремий іон, за яким ведеться спостереження, має рухливості μA у газі A і μB у газі B (μ=vдр/F, де F — сила, див. вип. 4, стор. 90). Якою є рухливість іона в суміші цих газів із густиною ρA+ ρB за тієї самої температури Т0?
До розділу 44. Закони термодинаміки
44.1. Ідеальний газ, що має γ=4/3 послідовно переводиться зі стану A (тиск Р=1 атм, об'єм V=22,4 л, температура t=300° К) у стан C (Р=2 атм, V=33,6 л) або шляхом ABC, або шляхом ADC.
а) Покажіть, що зміна ентропії в обох випадках однакова.
б) Розрахуйте цю зміну. 44.2. Переведіть ідеальний цикл Карно abcd на діаграмі p—V між станами, що характеризуються параметрами Т1 і T2 і (рa, Va), (рc, Vc), у цикл ABCD на діаграмі ентропія — температура (див. фіг. 44.6 «Лекцій», вип. 4, стор. 109).
44.3. Температура парогенератора на сучасній теплоелектростанції, що використовує перегріту пару, дорівнює 600° С. У холодильник подається річкова вода при t=20°С. Яким є максимальний к. к. д., який може бути отриманий на такій станції?
44.4. В ідеальному оборотному двигуні, у якому як робоче тіло використовується 28 г азоту (γ=7/5). Робочий цикл abcd відбувається без використання золотника (див. фіг. 44.6 «Лекцій», вип. 4, стор. 109). Температура нагрівника 400° К, холодильника 300° К. Початковий об'єм газу в точці a дорівнює 6,0 л, а об'єм у точці c становить 18,0 л.
а) За якого об'єму Vb потрібно припинити подачу в циліндр тепла (ізотермічне розширення) і, теплоізолювавши його, почати адіабатичне розширення від Vb до Vc? За якого об'єму Vd почнеться адіабатичне стиснення?
б) Яка кількість тепла надходить у систему на ділянці а→b циклу?
в) Яка кількість тепла виходить із системи на ділянці c→d?
г) Чому дорівнює к. к. д. двигуна?
д) Чому дорівнює зміна ентропії на 1 г робочої речовини на ділянках a→b і c→d?
Примітка. Ви повинні отримати, що для циклу Карно у випадку ідеального газу відношення Vb/Va і Vc/Vd рівні.
44.5. Безтурботний експериментатор, поспішаючи піти, залишив золотник резервуара, наповненого гелієм, нещільно закритим. Газ, який спочатку перебував під тиском 200 атм, повільно ізотермічно виходить із резервуара при температурі 20° С. Чому дорівнює зміна ентропії на 1 кг газу?
До розділу 45. Приклади з термодинаміки
45.1. Сонце випромінює приблизно як чорне тіло при температурі 5700° К. Якщо сонячним світлом опромінювати абсолютно чорну мідну сферу, розташовану на відстані 1 A.О. від Сонця, то яка рівноважна температура буде досягнута при цьому? (Діаметр Сонця видно із Землі під кутом 0,50°.)
45.2. Сонячне світло падає перпендикулярно на деяку область, що перебуває в Екваторіальній Африці. Якщо поверхня випромінює як абсолютно чорне тіло, то якою є максимальна температура цієї області? (Сонячна стала дорівнює 1395 вт/м2.)
45.3. Чорне тіло радіуса r при температурі T оточене зачорненою з обох боків тонкою оболонкою радіуса R. Знайдіть, наскільки такий радіаційний екран зменшує швидкість охолодження тіла. (У просторі між тілом і оболонкою — вакуум, втрат, пов'язаних із теплопровідністю, немає.)
45.4. Густина в центрі Сонця дорівнює приблизно 80 г/см3, а температура ~13·106°К. Речовина Сонця майже повністю складається з протонів і електронів. Знайдіть тиск газу та радіаційний тиск у центрі Сонця.
45.5. Прихована теплота випаровування води дорівнює приблизно 2,44·106 дж/м3, а густина пари при 100° С становить 0,598 кг/м3. Використовуючи рівняння Клаузіуса — Клапейрона, знайдіть швидкість зміни температури кипіння з висотою в град/км, приймаючи за початок відліку рівень моря. Вважайте температуру повітря рівною 300° К.
45.6. Покажіть, що для ідеального газу, внутрішня енергія якого залежить тільки від температури, різниця між молярними теплоємностями за сталого тиску і сталого об'єму дорівнює газовій сталій R:
Сp — Cv = R.
45.7. При 0° С питомий об'єм насиченої водяної пари дорівнює 206 м3/кг. Якою є прихована теплота випаровування в дж/кг при цій температурі? (Визначте dp/dt із таблиць, розрахуйте L і порівняйте з табличним значенням.)
45.8. Тіло поглинає фіксовану частку A повного випромінювання, що падає на його поверхню, і відбиває решту. Покажіть, що при температурі T воно випромінює енергію АσТ4.
45.9. а) Використовуючи термодинамічні міркування, покажіть, що якщо речовина при замерзанні розширюється, то її температура замерзання повинна зменшуватися зі збільшенням тиску,
б) Розрахуйте найнижчу температуру льоду на ковзанці, за якої катання на ковзанах ще можливе.
До розділу 47. Звук. Хвильове рівняння
47.1. Знайдіть відношення швидкостей звуку в гелії та водні при одній і тій же температурі.
47.2. У два свистки однакової довжини вдувають: повітря, охолоджене майже до температури рідкого повітря (—180° С), і тепле повітря. Один свисток видає звук рівно на октаву вищий, ніж інший (тобто подвоєної частоти). Якою повинна бути температура повітря, що вдувається в другий свисток?
47.3. Якщо ви вдихнете гелій і почнете розмовляти, то звук вашого голосу буде неприродно високим. Якщо всі ваші резонансні порожнини («порожнечі у вашій голові») будуть заповнені гелієм, а не повітрям, то наскільки збільшиться кожна резонансна частота? Якщо ви при цьому наспівуєте, то як вплине наявність гелію на тональність, у якій ви співаєте? Обговоріть.
47.4. Розглянемо сталу плоску звукову хвилю з частотою 1000 с–1, у якій екстремуми тиску відрізняються на ±1 дин/см2 від середнього атмосферного тиску 1·106 дин/см2.
а) Чому дорівнює зміна густини, що супроводжує поширення такої хвилі?
б) Чому дорівнює максимальне зміщення xm частинок?
в) Чому дорівнює інтенсивність хвилі?
(Прийміть швидкість звуку рівною 340 м/с.)
47.5. Затисніть кінчиками пальців обох рук гумову смужку довжиною близько 5 см, а потім попросіть товариша злегка клацнути по гумі. Почується звук. Потім розтягніть смужку в 2, 3, 4, 5 разів, не змінюючи масу смужки між руками, і повторіть ту саму процедуру. Обговоріть результати спостереження. Чому нічого подібного не відбувається зі струною скрипки?
47.6. Однорідна абсолютно гнучка струна лінійної густини σ кг/м розтягнута з натягом T. Сформулюйте хвильове рівняння, що описує поперечне зміщення струни y, і знайдіть швидкість поширення збурення вздовж струни. Використайте припущення про те, що ду/дх«1 у всіх точках у будь-який момент часу, і розгляньте тільки плоскі коливання струни. Зазначимо, що компонента натягу струни у поперечному напрямку дуже близька до T ду/дх.
47.7. Покажіть, що вираз и=Аеi(ωt -kx)задовольняє хвильове рівняння
43. 5. Зазначимо, що теплопровідність і в'язкість газу не залежать від тиску. Відповідним чином змініть формулу для кількості енергії, яка переноситься між двома поверхнями, що мають температури T і T+ΔT і розташованими на відстані D одна від одної, якщо l»D. Зробіть те саме, розглядаючи процес перенесення імпульсу між двома такими поверхнями, що рухаються зі швидкостями v і v+Δv.
43.6. Два гази A і B з густинами ρA і ρB перебувають за певної температури Т0. Окремий іон, за яким ведеться спостереження, має рухливості μA у газі A і μB у газі B (μ=vдр/F, де F — сила, див. вип. 4, стор. 90). Якою є рухливість іона в суміші цих газів із густиною ρA+ ρB за тієї самої температури Т0?
До розділу 44. Закони термодинаміки
44.1. Ідеальний газ, що має γ=4/3 послідовно переводиться зі стану A (тиск Р=1 атм, об'єм V=22,4 л, температура t=300° К) у стан C (Р=2 атм, V=33,6 л) або шляхом ABC, або шляхом ADC.а) Покажіть, що зміна ентропії в обох випадках однакова.
б) Розрахуйте цю зміну. 44.2. Переведіть ідеальний цикл Карно abcd на діаграмі p—V між станами, що характеризуються параметрами Т1 і T2 і (рa, Va), (рc, Vc), у цикл ABCD на діаграмі ентропія — температура (див. фіг. 44.6 «Лекцій», вип. 4, стор. 109).
44.3. Температура парогенератора на сучасній теплоелектростанції, що використовує перегріту пару, дорівнює 600° С. У холодильник подається річкова вода при t=20°С. Яким є максимальний к. к. д., який може бути отриманий на такій станції?
44.4. В ідеальному оборотному двигуні, у якому як робоче тіло використовується 28 г азоту (γ=7/5). Робочий цикл abcd відбувається без використання золотника (див. фіг. 44.6 «Лекцій», вип. 4, стор. 109). Температура нагрівника 400° К, холодильника 300° К. Початковий об'єм газу в точці a дорівнює 6,0 л, а об'єм у точці c становить 18,0 л.
а) За якого об'єму Vb потрібно припинити подачу в циліндр тепла (ізотермічне розширення) і, теплоізолювавши його, почати адіабатичне розширення від Vb до Vc? За якого об'єму Vd почнеться адіабатичне стиснення?
б) Яка кількість тепла надходить у систему на ділянці а→b циклу?
в) Яка кількість тепла виходить із системи на ділянці c→d?
г) Чому дорівнює к. к. д. двигуна?
д) Чому дорівнює зміна ентропії на 1 г робочої речовини на ділянках a→b і c→d?
Примітка. Ви повинні отримати, що для циклу Карно у випадку ідеального газу відношення Vb/Va і Vc/Vd рівні.
44.5. Безтурботний експериментатор, поспішаючи піти, залишив золотник резервуара, наповненого гелієм, нещільно закритим. Газ, який спочатку перебував під тиском 200 атм, повільно ізотермічно виходить із резервуара при температурі 20° С. Чому дорівнює зміна ентропії на 1 кг газу?
До розділу 45. Приклади з термодинаміки
45.1. Сонце випромінює приблизно як чорне тіло при температурі 5700° К. Якщо сонячним світлом опромінювати абсолютно чорну мідну сферу, розташовану на відстані 1 A.О. від Сонця, то яка рівноважна температура буде досягнута при цьому? (Діаметр Сонця видно із Землі під кутом 0,50°.)
45.2. Сонячне світло падає перпендикулярно на деяку область, що перебуває в Екваторіальній Африці. Якщо поверхня випромінює як абсолютно чорне тіло, то якою є максимальна температура цієї області? (Сонячна стала дорівнює 1395 вт/м2.)
45.3. Чорне тіло радіуса r при температурі T оточене зачорненою з обох боків тонкою оболонкою радіуса R. Знайдіть, наскільки такий радіаційний екран зменшує швидкість охолодження тіла. (У просторі між тілом і оболонкою — вакуум, втрат, пов'язаних із теплопровідністю, немає.)
45.4. Густина в центрі Сонця дорівнює приблизно 80 г/см3, а температура ~13·106°К. Речовина Сонця майже повністю складається з протонів і електронів. Знайдіть тиск газу та радіаційний тиск у центрі Сонця.
45.5. Прихована теплота випаровування води дорівнює приблизно 2,44·106 дж/м3, а густина пари при 100° С становить 0,598 кг/м3. Використовуючи рівняння Клаузіуса — Клапейрона, знайдіть швидкість зміни температури кипіння з висотою в град/км, приймаючи за початок відліку рівень моря. Вважайте температуру повітря рівною 300° К.
45.6. Покажіть, що для ідеального газу, внутрішня енергія якого залежить тільки від температури, різниця між молярними теплоємностями за сталого тиску і сталого об'єму дорівнює газовій сталій R:
Сp — Cv = R.
45.7. При 0° С питомий об'єм насиченої водяної пари дорівнює 206 м3/кг. Якою є прихована теплота випаровування в дж/кг при цій температурі? (Визначте dp/dt із таблиць, розрахуйте L і порівняйте з табличним значенням.)
45.8. Тіло поглинає фіксовану частку A повного випромінювання, що падає на його поверхню, і відбиває решту. Покажіть, що при температурі T воно випромінює енергію АσТ4.
45.9. а) Використовуючи термодинамічні міркування, покажіть, що якщо речовина при замерзанні розширюється, то її температура замерзання повинна зменшуватися зі збільшенням тиску,
б) Розрахуйте найнижчу температуру льоду на ковзанці, за якої катання на ковзанах ще можливе.
До розділу 47. Звук. Хвильове рівняння
47.1. Знайдіть відношення швидкостей звуку в гелії та водні при одній і тій же температурі.
47.2. У два свистки однакової довжини вдувають: повітря, охолоджене майже до температури рідкого повітря (—180° С), і тепле повітря. Один свисток видає звук рівно на октаву вищий, ніж інший (тобто подвоєної частоти). Якою повинна бути температура повітря, що вдувається в другий свисток?
47.3. Якщо ви вдихнете гелій і почнете розмовляти, то звук вашого голосу буде неприродно високим. Якщо всі ваші резонансні порожнини («порожнечі у вашій голові») будуть заповнені гелієм, а не повітрям, то наскільки збільшиться кожна резонансна частота? Якщо ви при цьому наспівуєте, то як вплине наявність гелію на тональність, у якій ви співаєте? Обговоріть.
47.4. Розглянемо сталу плоску звукову хвилю з частотою 1000 с–1, у якій екстремуми тиску відрізняються на ±1 дин/см2 від середнього атмосферного тиску 1·106 дин/см2.
а) Чому дорівнює зміна густини, що супроводжує поширення такої хвилі?
б) Чому дорівнює максимальне зміщення xm частинок?
в) Чому дорівнює інтенсивність хвилі?
(Прийміть швидкість звуку рівною 340 м/с.)
47.5. Затисніть кінчиками пальців обох рук гумову смужку довжиною близько 5 см, а потім попросіть товариша злегка клацнути по гумі. Почується звук. Потім розтягніть смужку в 2, 3, 4, 5 разів, не змінюючи масу смужки між руками, і повторіть ту саму процедуру. Обговоріть результати спостереження. Чому нічого подібного не відбувається зі струною скрипки?
47.6. Однорідна абсолютно гнучка струна лінійної густини σ кг/м розтягнута з натягом T. Сформулюйте хвильове рівняння, що описує поперечне зміщення струни y, і знайдіть швидкість поширення збурення вздовж струни. Використайте припущення про те, що ду/дх«1 у всіх точках у будь-який момент часу, і розгляньте тільки плоскі коливання струни. Зазначимо, що компонента натягу струни у поперечному напрямку дуже близька до T ду/дх.
47.7. Покажіть, що вираз и=Аеi(ωt -kx)задовольняє хвильове рівняння
Зображення
за умови, що ω і k пов'язані співвідношенням ω=vk
До розділу 48. Биття
48.1. Фазова швидкість хвилі з довжиною хвилі λ, що поширюється по водній поверхні, якщо знехтувати поверхневим натягом і скінченною глибиною водойми, vфаз=√gλ/2π. Покажіть, що групова швидкість хвилі дорівнює половині фазової. Чому дорівнюють групова і фазова швидкості хвилі довжиною 1000 м?
48.2. Якщо в попередній задачі розглядати вплив поверхневого натягу, то можна показати, що фазова швидкість хвилі на поверхні рідини з густиною ρ і з поверхневим натягом T дорівнює vфаз=(2πT/λρ+gλ/2π)1/2 коли глибина водойми достатньо велика. Знайдіть групову швидкість такої хвилі.
48.3. Знайдіть фазову швидкість брижів із довжиною хвилі 1,0 см на поверхні:
а) води (поверхневий натяг 70 дин/см);
б) етилового спирту (поверхневий натяг 26 дин/см).
48.4. Знайдіть довжину хвилі та частоту брижів на поверхні води, які рухаються з мінімальною швидкістю.
48.5. Довгий дизельний товарний потяг іде в гору зі швидкістю 5,0 м/с прямою колією. Коли він досягає тунелю у прямовисній скелі, машиніст подає довгий безперервний гудок з основною частотою 340 гц. Звук гудка та його відлуння, що виникає при відбитті від стіни, чують машиніст і людина, яка перебуває на землі поблизу останнього вагона. Звук якої частоти чує кожен із них?
До розділу 49. Власні коливання
49.1. Два тіла з масами т1 і m2 прикріплені до двох стін пружинами, коефіцієнти пружності яких k1 і k2 відповідно. Одне з одним вони з'єднані пружиною з жорсткістю k (див. малюнок).
Напишіть рівняння руху цих тіл, поклавши
До розділу 48. Биття
48.1. Фазова швидкість хвилі з довжиною хвилі λ, що поширюється по водній поверхні, якщо знехтувати поверхневим натягом і скінченною глибиною водойми, vфаз=√gλ/2π. Покажіть, що групова швидкість хвилі дорівнює половині фазової. Чому дорівнюють групова і фазова швидкості хвилі довжиною 1000 м?
48.2. Якщо в попередній задачі розглядати вплив поверхневого натягу, то можна показати, що фазова швидкість хвилі на поверхні рідини з густиною ρ і з поверхневим натягом T дорівнює vфаз=(2πT/λρ+gλ/2π)1/2 коли глибина водойми достатньо велика. Знайдіть групову швидкість такої хвилі.
48.3. Знайдіть фазову швидкість брижів із довжиною хвилі 1,0 см на поверхні:
а) води (поверхневий натяг 70 дин/см);
б) етилового спирту (поверхневий натяг 26 дин/см).
48.4. Знайдіть довжину хвилі та частоту брижів на поверхні води, які рухаються з мінімальною швидкістю.
48.5. Довгий дизельний товарний потяг іде в гору зі швидкістю 5,0 м/с прямою колією. Коли він досягає тунелю у прямовисній скелі, машиніст подає довгий безперервний гудок з основною частотою 340 гц. Звук гудка та його відлуння, що виникає при відбитті від стіни, чують машиніст і людина, яка перебуває на землі поблизу останнього вагона. Звук якої частоти чує кожен із них?
До розділу 49. Власні коливання
49.1. Два тіла з масами т1 і m2 прикріплені до двох стін пружинами, коефіцієнти пружності яких k1 і k2 відповідно. Одне з одним вони з'єднані пружиною з жорсткістю k (див. малюнок).Напишіть рівняння руху цих тіл, поклавши
Зображення
49.2. Підставте х=Аеiωt і y=Beiωt в отримані вище рівняння і знайдіть частоти та відношення амплітуд грузиків для нормальних коливань.
49.3. Покажіть, що функція
49.3. Покажіть, що функція
Зображення
а /, m, n — цілі числа, більші або рівні одиниці,
а) задовольняє тривимірному хвильовому рівнянню (що описує хвилю зі швидкістю поширення v);
б) дорівнює 0 при x=0, x=a, y=0, y=b. z=0, z=c;
в) осцилює в часі подібно до синусоїди.
49.4. Вважаючи, що в попередній задачі a : b : с=1 : 2 : 3, знайдіть 10 мінімальних частот, виражених через найменшу частоту ω0. Розташуйте їх у порядку зростання і відкладіть на вертикальній шкалі.
49.5. Використовуючи поняття про нескінченно довгі періодичні хвилі, що поширюються в протилежних напрямках, з'ясуйте, що станеться, якщо ідеальна однорідна натягнута струна довжини L відтягнута від середньої точки на відстань A, а потім відпущена. Намалюйте кілька положень струни в різні моменти часу протягом одного напівперіоду першої гармоніки.
До розділу 50. Гармоніки
50.1. Використовуючи розклади Фур'є прямокутної хвилі
а) задовольняє тривимірному хвильовому рівнянню (що описує хвилю зі швидкістю поширення v);
б) дорівнює 0 при x=0, x=a, y=0, y=b. z=0, z=c;
в) осцилює в часі подібно до синусоїди.
49.4. Вважаючи, що в попередній задачі a : b : с=1 : 2 : 3, знайдіть 10 мінімальних частот, виражених через найменшу частоту ω0. Розташуйте їх у порядку зростання і відкладіть на вертикальній шкалі.
49.5. Використовуючи поняття про нескінченно довгі періодичні хвилі, що поширюються в протилежних напрямках, з'ясуйте, що станеться, якщо ідеальна однорідна натягнута струна довжини L відтягнута від середньої точки на відстань A, а потім відпущена. Намалюйте кілька положень струни в різні моменти часу протягом одного напівперіоду першої гармоніки.
До розділу 50. Гармоніки
50.1. Використовуючи розклади Фур'є прямокутної хвилі
Зображення
50.2. Розкладіть функцію
Зображення
в інтеграл Фур'є і покажіть, що отримані результати узгоджуються з тим, що отримується при інтегруванні функції, використаної в попередній задачі.
50.3. Використовуючи результат попередньої задачі, покажіть
50.3. Використовуючи результат попередньої задачі, покажіть
Зображення
50.4. У розд. 45 нам потрібно було обчислити інтеграл
Зображення
Тепер ви можете це зробити, помноживши чисельник і знаменник на е–x, розклавши підінтегральну функцію в ряд і інтегруючи почленно. Отримаємо
Зображення
Перевірте це.50.5. Знайдіть розклади Фур'є пилкоподібної функції, яка описує струм, що протікає в горизонтальному колі розгортки електронного осцилографа:
50.6. Випрямляч — це пристрій, який перетворює синусоїдальну хвилю, наприклад напруги з амплітудою V0, уа) Обчисліть середнє значення V(t). Воно називається вихідною напругою.
б) Знайдіть амплітуду другої гармоніки у вихідній напрузі.
50.7. З трансформатора знімається вихідна напруга, пропорційна Vвих=Vвх+ e(Vвх)3. З'ясуйте, до яких ефектів призведе врахування кубічного члена, якщо:
а) вхідна хвиля синусоїдальна;
б) є дві або більше вхідних синусоїдальних хвиль з різними частотами.