Ліпше за інших зрозумівши природу руху, Ньютон прикинув, що саме Сонце може виявитися джерелом, штаб-квартирою сил, які керують рухом планет. Він переконався (незабаром, можливо, переконаємося в цьому й ми), що «замітання» рівних площ за рівні проміжки часу — вірна ознака того, що всі відхилення від прямої точно радіальні, або що закон площ є прямим наслідком того, що всі сили спрямовані точно до Сонця.
Крім того, з аналізу третього закону Кеплера можна вивести, що чим далі від Сонця планета, тим слабша сила. З порівняння двох планет на різних відстанях випливає, що сили обернено пропорційні квадратам відносних відстаней. Поєднавши обидва закони, Ньютон дійшов висновку, що має існувати сила, обернена квадрату відстані й спрямована по прямій між Сонцем і планетою.
Будучи людиною, схильною до узагальнень, Ньютон, звісно, припустив, що цей зв'язок застосовний не тільки до Сонця, яке утримує планети, а що він має більш загальний характер. Уже було відомо, наприклад, що навколо Юпітера обертаються супутники, подібно до того як Місяць ходить навколо Землі, і Ньютону здавалося природним, що й планети силою тримають свої супутники біля себе. Тоді він уже знав про силу, яка утримує нас на Землі, і припустив, що ця сила загальна і що все притягується до всього.
Тоді він запитав себе: чи притягує Земля людей так само, як Місяць («так само» означає обернено пропорційно квадрату відстані). Якщо тіло біля поверхні Землі падає за першу секунду (зі стану спокою) на 4,9 м, то на скільки падає Місяць? Можна заперечити, що Місяць узагалі не падає. Але якби на Місяць не діяла сила, він би полетів по прямій лінії, а насправді він обертається по коловій орбіті; отже, він падає з того місця, де він мав би бути, якби на нього не діяла сила. Знаючи радіус орбіти Місяця (близько 384 000 км) і час його обороту навколо Землі (близько 29 днів), можна підрахувати, скільки він проходить за 1 с і потім на скільки за цей час він падає. Виявляється, що ця відстань приблизно дорівнює 1,36 мм. Це добре вкладається в закон обернених квадратів, тому що радіус Землі 6370 км, і якщо на цій відстані тіла, падаючи, проходять за першу секунду 4,9 м, то на відстані в 384 тис. км, тобто в 60 разів далі від центра Землі, вони мають падати на 1/3600 від 4,9 м, або якраз на 1,36 мм. Бажаючи підтвердити свою теорію тяжіння такими розрахунками, Ньютон їх акуратно провів і... отримав найсильнішу розбіжність цифр. Він визнав, що теорія суперечить фактам, і не опублікував її. Шістьма роками пізніше нові вимірювання радіуса Землі показали, що прийнята на той час астрономами відстань до Місяця була неправильною. Почувши про це, Ньютон провів новий розрахунок з виправленими цифрами й отримав уже чудовий збіг.
Думка, що Місяць «падає», дещо бентежить; чому ж він тоді не наближається? Ця думка настільки цікава, що заслуговує на подальше пояснення: Місяць «падає» в тому сенсі, що відхиляється від прямої лінії, по якій він рухався б, якби більше не було жодних сил.
Розгляньмо інший, уже суто земний приклад. Тіло, випущене з рук біля земної поверхні, впаде за першу секунду на 4,9 м. Тіло, кинуте горизонтально, також падає на 4,9 м.
На фіг. 7.3 показано прилад, який демонструє це явище. З горизонтального жолоба вискакує й летить вперед кулька. З тієї самої висоти вертикально падає вниз інша кулька (є електрична схема, яка випускає другу кульку якраз у той момент, коли перша зісковзує з жолоба). Вони стикаються в повітрі, тобто це означає, що вони за однаковий час знижуються однаково. Куля, випущена горизонтально, може пройти за 1 с навіть півкілометра, а вниз за цей час вона впаде на 4,9 м. Що станеться, якщо куля вилітатиме зі ствола дедалі швидше? Не забудьте, що поверхня Землі крива. Куля може вилетіти з такою швидкістю, що, впавши на 4,9 м, вона все одно залишиться щодо Землі на початковій висоті. Чи може таке бути? Так; хоча вона падає, та й Земля викривляється, ось і виходить падіння «навколо» Землі.
Треба тільки дізнатися, на якій відстані поверхня Землі опиниться на 4,9 м нижче горизонту. На фіг. 7.4 зображено Землю з її радіусом (6370 км) і дотичний прямий шлях кулі (за відсутності сил).
Прискорення до центра на круговому шляху.
Із планіметрії x/s = (2R — s)/x ≈ 2R/x, де R — радіус Землі (6370 км); х — відстань, "пройдена горизонтально" за 1 с; s — довжина шляху «падіння» за 1 с (4,9 м).
Залишається згадати одну з цікавих геометричних теорем про те, що довжина півхорди, перпендикулярної діаметру, дорівнює середньому геометричному між довжинами відрізків діаметра. Отже, відстань, пройдена кулею, є середнім пропорційним між 4,9 м падіння і 12 740 км діаметра Землі, т. е.
На фіг. 7.3 показано прилад, який демонструє це явище. З горизонтального жолоба вискакує й летить вперед кулька. З тієї самої висоти вертикально падає вниз інша кулька (є електрична схема, яка випускає другу кульку якраз у той момент, коли перша зісковзує з жолоба). Вони стикаються в повітрі, тобто це означає, що вони за однаковий час знижуються однаково. Куля, випущена горизонтально, може пройти за 1 с навіть півкілометра, а вниз за цей час вона впаде на 4,9 м. Що станеться, якщо куля вилітатиме зі ствола дедалі швидше? Не забудьте, що поверхня Землі крива. Куля може вилетіти з такою швидкістю, що, впавши на 4,9 м, вона все одно залишиться щодо Землі на початковій висоті. Чи може таке бути? Так; хоча вона падає, та й Земля викривляється, ось і виходить падіння «навколо» Землі.
Треба тільки дізнатися, на якій відстані поверхня Землі опиниться на 4,9 м нижче горизонту. На фіг. 7.4 зображено Землю з її радіусом (6370 км) і дотичний прямий шлях кулі (за відсутності сил).
Прискорення до центра на круговому шляху.Із планіметрії x/s = (2R — s)/x ≈ 2R/x, де R — радіус Землі (6370 км); х — відстань, "пройдена горизонтально" за 1 с; s — довжина шляху «падіння» за 1 с (4,9 м).
Залишається згадати одну з цікавих геометричних теорем про те, що довжина півхорди, перпендикулярної діаметру, дорівнює середньому геометричному між довжинами відрізків діаметра. Отже, відстань, пройдена кулею, є середнім пропорційним між 4,9 м падіння і 12 740 км діаметра Землі, т. е.
Зображення
Отже, якщо куля рухається зі швидкістю 7,9 км/с, вона й далі падатиме щосекунди на 4,9 м, але ніколи не наблизиться до поверхні, яка віддаляється від неї внаслідок своєї кривизни. Так було і з космонавтом Гагаріним, який тримався на одній висоті, роблячи приблизно 8 км за секунду, тобто 40 000 км за оберт (насправді трохи більше, оскільки й летів він вище).
Будь-яке відкриття нового закону корисне лише тоді, коли з нього можна здобути більше, ніж було в нього вкладено. Ньютон застосував другий і третій закони Кеплера, щоб вивести закон тяжіння. Що ж він передбачив? Першим передбаченням був його аналіз руху Місяця: цей рух пов'язувався з падінням тіл на Землі. Другим була відповідь на запитання, чи є орбіти еліпсами. Можна точно розрахувати рух, можна довести й те, що це еліпс; отже, жодних додаткових фактів для доведення першого закону Кеплера не потрібно. Так Ньютон зробив своє перше потужне передбачення.
Закон тяжіння пояснив багато явищ, раніше незрозумілих. Наприклад, тяжіння Місяця викликає на Землі припливи — явище дотоді таємниче. Люди й раніше здогадувалися, що Місяць притягує воду під собою і виходить приплив, але вони не були такі розумні, як Ньютон, і думали, що має бути лише один приплив за добу. Вважалося, що Місяць притягує воду, викликаючи приплив, але оскільки Земля обертається, то в кожному місці вода повинна раз на добу піднятися й опуститися. А насправді приплив буває кожні 12 годин. Була й інша школа передової думки; на її думку, приплив мав би бути й на протилежному боці Землі, тому що Місяць завжди відриває сушу від води! Обидві ці теорії неправильні. Справжнє пояснення приблизно таке: тяжіння Місяцем суші й води «зрівноважене» в центрі. Але тяжіння Місяцем тих мас води, які перебувають на «місячному» боці Землі, сильніше, ніж середнє тяжіння всієї Землі, а тяжіння мас води на протилежному боці Землі слабше за середнє. Крім того, вода, на відміну від суші, може текти. Справжня причина припливів і визначається цими двома чинниками.
Що ми розуміємо під словом «зрівноважене»? Що саме зрівноважується? А ось що. Якщо Місяць притягує до себе всю Землю, то чому Земля не падає «вгору» на Місяць? З тієї самої причини, чому і Місяць не падає на Землю: Земля обертається навколо точки, яка перебуває всередині Землі (але не в її центрі). Не Місяць обертається навколо Землі, а обидва вони обертаються навколо спільного центра і обидва падають на нього, як показано на фіг. 7.5. Цей рух навколо спільного центра і зрівноважує падіння кожного з двох небесних тіл. Тож і Земля теж рухається не по прямій лінії, а по коловій орбіті. Маси води на дальньому боці відкидаються через «відцентрову силу» сильніше, ніж центр Землі, який якраз зрівноважений тяжінням Місяця. Тяжіння Місяця на дальньому боці слабше, і «відцентрова сила» більша. У підсумку рівновага води порушується: вона віддаляється від центра Землі. На ближньому боці Місяць притягує сильніше, але через меншу величину радіус-вектора виявляється меншою й «відцентрова сила», рівновага порушується у зворотний бік, але, як і раніше, від центра Землі. У підсумку з'являються два припливні «горби».
Що ми розуміємо під словом «зрівноважене»? Що саме зрівноважується? А ось що. Якщо Місяць притягує до себе всю Землю, то чому Земля не падає «вгору» на Місяць? З тієї самої причини, чому і Місяць не падає на Землю: Земля обертається навколо точки, яка перебуває всередині Землі (але не в її центрі). Не Місяць обертається навколо Землі, а обидва вони обертаються навколо спільного центра і обидва падають на нього, як показано на фіг. 7.5. Цей рух навколо спільного центра і зрівноважує падіння кожного з двох небесних тіл. Тож і Земля теж рухається не по прямій лінії, а по коловій орбіті. Маси води на дальньому боці відкидаються через «відцентрову силу» сильніше, ніж центр Землі, який якраз зрівноважений тяжінням Місяця. Тяжіння Місяця на дальньому боці слабше, і «відцентрова сила» більша. У підсумку рівновага води порушується: вона віддаляється від центра Землі. На ближньому боці Місяць притягує сильніше, але через меншу величину радіус-вектора виявляється меншою й «відцентрова сила», рівновага порушується у зворотний бік, але, як і раніше, від центра Землі. У підсумку з'являються два припливні «горби».