До розділу 26. Оптика. Принцип найменшого часу26.1. Пішохід, ідучи по тротуару, проходить 1,5 м за 1 c, а по зораному полю — лише 0,9 м за 1 с. Він вийшов із точки A, що знаходиться на відстані 42 м від стіни, і прямує до точки B, розташованої на південь уздовж стіни на відстані 36 м від краю поля.
а) Яким шляхом AkB має йти пішохід, щоб пройти його за найкоротший час? (Доречно припустити, що до цієї задачі застосовний «закон заломлення». Однак якщо ви достатньо сміливі, спробуйте розв'язати її без такого припущення.)
б) Чому дорівнює цей найкоротший час?
в) Який знадобиться час, щоб пройти маршрутами АСВ і АС′B, якщо Ck=kC′=3 м?
26.2. Світло від джерела S, що знаходиться на відстані 1 м від екрана, посилається вузьким пучком перпендикулярно до екрана і потрапляє на нього в точці P. На шляху променя розміщується пластина з люциту завтовшки 0,2 м (показник заломлення люциту 1,5) так, щоб напрямок поширення пучка в цій пластині становив 30° з початковим напрямком (коли пластини не було).а) Знайдіть бокове зміщення променя РР′.
б) Знайдіть відсоткове збільшення часу проходження променем шляху SP′ порівняно з часом, необхідним для проходження початкового шляху SP у повітрі.
26.3. Нехай S — джерело світла, а P — його зображення, яке дає лінза АСВ, SC=CP= 1 м, AС=BС=0,1 м. Лінза АСВ має на краях товщину 3 мм. Якщо промінь проходить шлях SCP за той самий час, що й відстані SAP і SBP, то якою є товщина лінзи посередині (у точці С)? (Показник заломлення скла 1,60.)26.4. У звичайному плоскому дзеркалі наше зображення виявляється перевернутим справа наліво, тобто зображення правої руки виглядає так, як ліва рука «людини» в дзеркалі. Чому дзеркало не перевертає ще й усе догори ногами? Що насправді перевертається дзеркалом?
26.5. Два плоских дзеркала розташовані так, що утворюють прямий двогранний кут, причому лінія перетину вертикальна. Пояснити, чому в такому дзеркалі ми «бачимо себе такими, якими нас бачать інші люди».
26.6. Три взаємно перпендикулярних дзеркала розташовані так, що утворюють прямий тригранний кут. Промінь світла падає на одне з дзеркал, а потім, відбиваючись від нього, потрапляє на інше дзеркало, а можливо, і на третє. Покажіть, що після всіх відбиттів (ми припускаємо, що дзеркала величезні) промінь вийде в напрямку, строго протилежному початковому, але виявиться дещо зміщеним. Чи знаєте ви практичне застосування такого «кутового відбивача»?
26.7. Добре відомо, що коли світло переходить з одного прозорого середовища в інше, то не всі промені зазнають заломлення, деяка їхня частина відбивається, а зовсім мала частка (якщо така взагалі є) поглинається або розсіюється. Що відбувається, коли пучок світла падає на поверхню розділу двох середовищ під великим кутом до нормалі, проходячи спочатку через оптично густіше (яке має більший показник заломлення) середовище?
До розділу 27. Геометрична оптика
27.1. Паралельний пучок світла, що поширюється в повітрі, збирається у фокусі заломлювальної поверхні, яка обмежує область з показником заломлення n. Знайдіть форму цієї поверхні.
27.2. Зовнішній діаметр скляної капілярної трубки дорівнює D, показник її заломлення n. Якщо дивитися на трубку збоку, то здається, що маленький капілярний отвір має діаметр d. Чому насправді дорівнює діаметр d′ трубки?
27.3. Пучок світла сходиться у визначеній точці P. Потрібно в даній точці Q, що лежить на осі, розмістити таку відбивну поверхню, яка дасть зображення в новому фокусі — у точці P′. Визначте форму потрібної поверхні.27.4. Лінза з фокусною відстанню F дає дійсне зображення віддаленого об'єкта, яке розглядається через збільшувальне скло з фокусною відстанню f. Якщо в момент розглядання око сфоковане на нескінченність, то чому дорівнює позірне кутове збільшення системи?
27.5. Звичайне людське око може бути сфоковане на об'єкт, що лежить між 25 см і нескінченністю. Прямо перед оком розташована проста тонка збільшувальна лінза з фокусною відстанню f=+5 см.
а) Між якими двома граничними положеннями має бути розташований розглядуваний об'єкт, щоб його було чітко видно?
б) Визначте кутове збільшення системи для кожного з цих двох положень.
27.6. Телеоб'єктив складається з позитивної лінзи з фокусною відстанню f1=30 см і негативної лінзи з фокусною відстанню f2=–10 см; відстань між обома лінзами 27,5 см. Де має бути розташована фотопластинка, на якій буде сфотографовано об'єкт, що знаходиться попереду першої лінзи на відстані 10 м? Ретельно простежте шлях променя.27.7. 200-дюймовий телескоп Гейла має фокусну відстань 160 м. Яка різниця в положенні зображень при спостереженні віддалених зір і
а) Місяця;
б) штучного супутника, що знаходиться від Землі на відстані 320 км?
27.8. Дві тонкі лінзи L і L′ з фокусними відстанями f і f′ знаходяться на відстані D одна від одної. Знайдіть еквівалентну фокусну відстань F усього пристрою і відстані Δ і Δ′ від головних площин до лінз L і L′.
До розділу 28. Електромагнітне випромінювання
28.1. Дайте геометричну інтерпретацію комплексних чисел, які використовуються в двох наступних задачах, і знайдіть модулі таких комплексних величин:
Зображення
До розділу 29. Інтерференція
29.1. Дві антени розташовані так, як показано на фіг. 29.5 «Лекцій» (вип. 3, стор. 52). Вони працюють в одній фазі так, що, коли одна з них випромінює з інтенсивністю I0 в усіх горизонтальних напрямках, інтенсивність випромінювання іншої становить 2I0. Чому дорівнює спостережувана інтенсивність випромінювання обох антен у різних напрямках, вказаних на рисунку?
29.2. Чотири ідентичні дипольні випромінювачі розташовані паралельно один одному і знаходяться на однакових відстанях 2,50 см один від одного. Вони працюють на частоті 3,00·109 с–1 і сфазовані так, що випромінювання кожного наступного диполя відстає від попереднього на 90°. Знайдіть інтенсивність випромінювання на великих відстанях від системи в екваторіальній площині (перпендикулярній осі диполя) і побудуйте цю функцію в полярних координатах. Отримана діаграма називається картиною випромінювання антенної системи.
29.3. Дві параболоїдні «чаші» радіотелескопа КАЛТЕХу в Оуенс Веллі розташовані на відстані 480 м одна від одної. Кожна «чаша» концентрує вхідне випромінювання в малому приймачі, що знаходиться у фокусі. Два прийняті сигнали подаються в розташований посередині між «чашами» єдиний змішувач, де обидва сигнали складаються, а потім обчислюється середній квадрат результуючої амплітуди. З якою точністю можна встановити кутове положення віддаленого точкового джерела, що спостерігається за допомогою радіотелескопа, якщо 10%-ні флуктуації вихідного сигналу вже вважаються значними? Довжину хвилі візьміть рівною 50 см.
29.4. Заряд q здійснює рух по колу радіуса a з кутовою частотою ω. Обчисліть електричне поле, яке створюється зарядом, на великій відстані R від системи під кутом θ до осі кругової орбіти. Знайдіть інтенсивність випромінювання в площині орбіти і на осі орбіти при великих значеннях R.
29.5. Усі N диполів у лінії A працюють в однаковій фазі, а всі диполі в лінії B відстають по фазі на 90° від диполів у лінії A. Визначте картину випромінювання в екваторіальній площині (як у задачі 29.2) на великій відстані від ліній.
29.1. Дві антени розташовані так, як показано на фіг. 29.5 «Лекцій» (вип. 3, стор. 52). Вони працюють в одній фазі так, що, коли одна з них випромінює з інтенсивністю I0 в усіх горизонтальних напрямках, інтенсивність випромінювання іншої становить 2I0. Чому дорівнює спостережувана інтенсивність випромінювання обох антен у різних напрямках, вказаних на рисунку?
29.2. Чотири ідентичні дипольні випромінювачі розташовані паралельно один одному і знаходяться на однакових відстанях 2,50 см один від одного. Вони працюють на частоті 3,00·109 с–1 і сфазовані так, що випромінювання кожного наступного диполя відстає від попереднього на 90°. Знайдіть інтенсивність випромінювання на великих відстанях від системи в екваторіальній площині (перпендикулярній осі диполя) і побудуйте цю функцію в полярних координатах. Отримана діаграма називається картиною випромінювання антенної системи.
29.3. Дві параболоїдні «чаші» радіотелескопа КАЛТЕХу в Оуенс Веллі розташовані на відстані 480 м одна від одної. Кожна «чаша» концентрує вхідне випромінювання в малому приймачі, що знаходиться у фокусі. Два прийняті сигнали подаються в розташований посередині між «чашами» єдиний змішувач, де обидва сигнали складаються, а потім обчислюється середній квадрат результуючої амплітуди. З якою точністю можна встановити кутове положення віддаленого точкового джерела, що спостерігається за допомогою радіотелескопа, якщо 10%-ні флуктуації вихідного сигналу вже вважаються значними? Довжину хвилі візьміть рівною 50 см.
29.4. Заряд q здійснює рух по колу радіуса a з кутовою частотою ω. Обчисліть електричне поле, яке створюється зарядом, на великій відстані R від системи під кутом θ до осі кругової орбіти. Знайдіть інтенсивність випромінювання в площині орбіти і на осі орбіти при великих значеннях R.
29.5. Усі N диполів у лінії A працюють в однаковій фазі, а всі диполі в лінії B відстають по фазі на 90° від диполів у лінії A. Визначте картину випромінювання в екваторіальній площині (як у задачі 29.2) на великій відстані від ліній.
Зображення
29.6. Електрони в довгому прямому тонкому дроті довжиною L коливаються з кутовою частотою w і малою амплітудою a в однаковій фазі вздовж дроту. Знайдіть електричне поле, яке вони створюють, під кутом θ відносно напрямку дроту на великих відстанях R від нього (R»L).
29.7. Кількість енергії на одиницю площі, яку переносить електромагнітна хвиля, пропорційна середньому квадрату напруженості електричного поля. Знайдіть частку повної енергії, випромінюваної коливним зарядом, яка падає на одиницю площі, нормальної до радіуса-вектора R, проведеного під кутом θ до осі коливань. Розрахуйте і виразіть у вт/м2 цю величину для випадку вертикально орієнтованого коливного диполя, підвішеного до радіозонда космічних променів, який знаходиться на висоті 25 км і на відстані 25 км по горизонталі, якщо всього ним випромінюється 0,5 вт.
До розділу 30. Дифракція
30.1. Довжини хвиль D-ліній у спектрі збудження натрію дорівнюють 5889,95 і 5895,92 Å відповідно. Яку довжину повинна мати ґратка, що містить 600 ліній на 1 мм, щоб розрізнити ці лінії в спектрі першого порядку?
30.2. По прямій дорозі їде звичайна автомашина з увімкненими фарами (які розглядаються як точкові джерела). Відстань між фарами автомобіля 120 см. На якій відстані від спостерігача повинна знаходитися машина, щоб він був упевнений, що бачить два джерела світла, а не одне? Візьміть діаметр зіниці ока рівним 0,5 см, а ефективну довжину світла, випромінюваного фарами, рівною 5500 Å. Як ви думаєте, той факт, що світло «біле» (тобто суміш променів з різними довжинами хвиль), полегшує чи ускладнює розрізнення двох джерел світла?
30.3. На рисунку показано загальний вигляд спектрографічної ґратки. Світло від джерела L проходить через вузьку щілину S, потім через коліматорну лінзу (або дзеркало) С1 яка перетворює його на паралельний пучок променів (так що на ґратку падає ніби плоска хвиля, що приходить з нескінченності). Далі паралельний пучок променів дифрагує від ґратки G; дифраговане світло, що йде у визначеному кутовому інтервалі, падає на лінзу С2, яку називають камерною, і фокусується нею в площині P. Виходить набір вузьких спектральних ліній. Нехай довжина щілини дорівнює h, її ширина w, фокусні відстані лінз С1 і С2 дорівнюють F1 і F2, а кути між нормаллю до ґратки і осями лінз С1 і С2 дорівнюють θi і θd ;1 мм ґратки містить N ліній. Дайте відповідь на такі запитання:
а) Яку ширину матиме смуга, яку займає спектр у площині P?
б) Якій довжині хвилі (s) відповідатиме лінія, що лежить на площині P у місці проходження осі лінзи С2?
в) На якій відстані одна від одної у фокальній площині будуть знаходитися дві спектральні лінії, довжини хвиль яких відрізняються на 1.00Å? Таку величину часто називають дисперсією оптичного пристрою.
г) Яка ширина спектральної лінії в площині P, якщо ширина щілини w набагато більша за розділення коліматорної лінзи [що дорівнює 1,22λ(F1/A1), де А1— апертура], і розширення, яке створюється ґраткою і дорівнює (λ/L)F1, де L — розмір ґратки?
30.4. Спектрограф 150-футового сонячного баштового телескопа, що знаходиться в обсерваторії Маунт-Вілсон, показано схематично на рисунку. У цьому пристрої та сама лінза діє і як коліматорна, і як камерна, а θi=– θd (майже!). Фокусна відстань усього пристрою F=23 м, а ґратка має площу 15 смх25 см, причому в 1 мм її міститься 600 ліній. Зазвичай при спостереженнях використовується спектр п'ятого порядку.
а) При якому куті θ нахилу ґратки лінія спектра збудження нейтрального заліза, що відповідає довжині хвилі λ=5250,218 Å, буде збігатися з положенням щілини в спектрі п'ятого порядку?
б) Для яких інших довжин хвиль в інтервалі від λ=3600 Å до λ=7000 Å лінія спектра також буде збігатися з положенням щілини?
в) Запропонуйте простий спосіб усунення в спостережуваній картині спектрів небажаних порядків, залишивши тільки спектр п'ятого порядку.
г) Яка дисперсія розглядуваного пристрою при довжині хвилі λ=5250 Å, що відповідає лінії в спектрі п'ятого порядку?
д) Яке мінімальне теоретичне значення Δλ, яке може бути розрізнене при довжині хвилі λ=5250 Å в спектрі п'ятого порядку?
30.5. Довжини хвиль спектральних ліній зазвичай вимірюються з точністю близько 0,001Å за допомогою спектрографів, розділювальна здатність яких становить лише 0,010 Å. Чи не порушуються при цьому якісь основні закони фізики? Поясніть.
30.6. Коли жолобки дифракційної ґратки розташовані так, що вони відбивають більшу частину падаючого випромінювання тільки в певному напрямку, то кажуть, що ґратка блищить у цьому напрямку. Припустимо, що жолобки можна нанести так, щоб переріз ґратки являв собою пилкоподібну функцію, показану на рисунку, причому поверхня кожного жолобка лежить під певним кутом θb.
а) Використовуючи поняття про дифрагований пучок світла як про випромінювання, яке випускається в речовині осциляторами, які коливаються в одній фазі з падаючим випромінюванням, визначте, у якому напрямку дифрагований пучок матиме найбільшу інтенсивність, якщо θi=0?
б) Приблизно оцініть той кутовий інтервал, всередині якого ґратка «блищить».
30.7. Інтерферометр Фабрі — Перо складається з пари прецизійно відшліфованих плоских поверхонь, паралельних одна одній і розташованих на відстані D. Ці поверхні відбивають частину R2 світла, що нормально падає на них, і пропускають частку Т2. Світло з інтенсивністю I0 і довжиною хвилі λ спочатку падає зліва (див. рисунок), причому частина променів одразу проходить через систему, а деяка їхня частка відбивається від правої поверхні, потім від лівої, а потім проходить крізь систему. Загалом пучок, що проходить, складається з променів, які відбилися 0, 2, 4, 6 ... разів і врешті-решт пройшли через обидві поверхні. Як інтенсивність світла, що проходить, залежить від величин D, λ, R і Т?
Примітка. Вузькосмугові оптичні фільтри, які називаються інтерференційними, діють за таким самим принципом. Обидві відбивні поверхні у них зроблені з кількох шарів високоякісного скла точно фіксованої товщини і з різними показниками заломлення.
До розділу 31. Як виникає показник заломлення
31.1. Знайдіть показник заломлення алюмінію для рентгенівських променів з довжиною хвилі 1,56·10–8 см, припускаючи, що електрони в алюмінії мають власну частоту, набагато меншу, ніж частота рентгенівських променів.
31.2. Показник заломлення іоносфери для радіохвиль з частотою 100 мкс–1 дорівнює n=0,90. Визначте густину електронів в 1 см3 іоносфери.
31.3. Електричне поле E світлових хвиль, що проходять через середовище з показником заломлення n, дорівнює E0eiω(t–nz/c).
а) Покажіть, що якщо n=n′—in″, то
29.7. Кількість енергії на одиницю площі, яку переносить електромагнітна хвиля, пропорційна середньому квадрату напруженості електричного поля. Знайдіть частку повної енергії, випромінюваної коливним зарядом, яка падає на одиницю площі, нормальної до радіуса-вектора R, проведеного під кутом θ до осі коливань. Розрахуйте і виразіть у вт/м2 цю величину для випадку вертикально орієнтованого коливного диполя, підвішеного до радіозонда космічних променів, який знаходиться на висоті 25 км і на відстані 25 км по горизонталі, якщо всього ним випромінюється 0,5 вт.До розділу 30. Дифракція
30.1. Довжини хвиль D-ліній у спектрі збудження натрію дорівнюють 5889,95 і 5895,92 Å відповідно. Яку довжину повинна мати ґратка, що містить 600 ліній на 1 мм, щоб розрізнити ці лінії в спектрі першого порядку?
30.2. По прямій дорозі їде звичайна автомашина з увімкненими фарами (які розглядаються як точкові джерела). Відстань між фарами автомобіля 120 см. На якій відстані від спостерігача повинна знаходитися машина, щоб він був упевнений, що бачить два джерела світла, а не одне? Візьміть діаметр зіниці ока рівним 0,5 см, а ефективну довжину світла, випромінюваного фарами, рівною 5500 Å. Як ви думаєте, той факт, що світло «біле» (тобто суміш променів з різними довжинами хвиль), полегшує чи ускладнює розрізнення двох джерел світла?
30.3. На рисунку показано загальний вигляд спектрографічної ґратки. Світло від джерела L проходить через вузьку щілину S, потім через коліматорну лінзу (або дзеркало) С1 яка перетворює його на паралельний пучок променів (так що на ґратку падає ніби плоска хвиля, що приходить з нескінченності). Далі паралельний пучок променів дифрагує від ґратки G; дифраговане світло, що йде у визначеному кутовому інтервалі, падає на лінзу С2, яку називають камерною, і фокусується нею в площині P. Виходить набір вузьких спектральних ліній. Нехай довжина щілини дорівнює h, її ширина w, фокусні відстані лінз С1 і С2 дорівнюють F1 і F2, а кути між нормаллю до ґратки і осями лінз С1 і С2 дорівнюють θi і θd ;1 мм ґратки містить N ліній. Дайте відповідь на такі запитання:а) Яку ширину матиме смуга, яку займає спектр у площині P?
б) Якій довжині хвилі (s) відповідатиме лінія, що лежить на площині P у місці проходження осі лінзи С2?
в) На якій відстані одна від одної у фокальній площині будуть знаходитися дві спектральні лінії, довжини хвиль яких відрізняються на 1.00Å? Таку величину часто називають дисперсією оптичного пристрою.
г) Яка ширина спектральної лінії в площині P, якщо ширина щілини w набагато більша за розділення коліматорної лінзи [що дорівнює 1,22λ(F1/A1), де А1— апертура], і розширення, яке створюється ґраткою і дорівнює (λ/L)F1, де L — розмір ґратки?
30.4. Спектрограф 150-футового сонячного баштового телескопа, що знаходиться в обсерваторії Маунт-Вілсон, показано схематично на рисунку. У цьому пристрої та сама лінза діє і як коліматорна, і як камерна, а θi=– θd (майже!). Фокусна відстань усього пристрою F=23 м, а ґратка має площу 15 смх25 см, причому в 1 мм її міститься 600 ліній. Зазвичай при спостереженнях використовується спектр п'ятого порядку.а) При якому куті θ нахилу ґратки лінія спектра збудження нейтрального заліза, що відповідає довжині хвилі λ=5250,218 Å, буде збігатися з положенням щілини в спектрі п'ятого порядку?
б) Для яких інших довжин хвиль в інтервалі від λ=3600 Å до λ=7000 Å лінія спектра також буде збігатися з положенням щілини?
в) Запропонуйте простий спосіб усунення в спостережуваній картині спектрів небажаних порядків, залишивши тільки спектр п'ятого порядку.
г) Яка дисперсія розглядуваного пристрою при довжині хвилі λ=5250 Å, що відповідає лінії в спектрі п'ятого порядку?
д) Яке мінімальне теоретичне значення Δλ, яке може бути розрізнене при довжині хвилі λ=5250 Å в спектрі п'ятого порядку?
30.5. Довжини хвиль спектральних ліній зазвичай вимірюються з точністю близько 0,001Å за допомогою спектрографів, розділювальна здатність яких становить лише 0,010 Å. Чи не порушуються при цьому якісь основні закони фізики? Поясніть.
30.6. Коли жолобки дифракційної ґратки розташовані так, що вони відбивають більшу частину падаючого випромінювання тільки в певному напрямку, то кажуть, що ґратка блищить у цьому напрямку. Припустимо, що жолобки можна нанести так, щоб переріз ґратки являв собою пилкоподібну функцію, показану на рисунку, причому поверхня кожного жолобка лежить під певним кутом θb.а) Використовуючи поняття про дифрагований пучок світла як про випромінювання, яке випускається в речовині осциляторами, які коливаються в одній фазі з падаючим випромінюванням, визначте, у якому напрямку дифрагований пучок матиме найбільшу інтенсивність, якщо θi=0?
б) Приблизно оцініть той кутовий інтервал, всередині якого ґратка «блищить».
30.7. Інтерферометр Фабрі — Перо складається з пари прецизійно відшліфованих плоских поверхонь, паралельних одна одній і розташованих на відстані D. Ці поверхні відбивають частину R2 світла, що нормально падає на них, і пропускають частку Т2. Світло з інтенсивністю I0 і довжиною хвилі λ спочатку падає зліва (див. рисунок), причому частина променів одразу проходить через систему, а деяка їхня частка відбивається від правої поверхні, потім від лівої, а потім проходить крізь систему. Загалом пучок, що проходить, складається з променів, які відбилися 0, 2, 4, 6 ... разів і врешті-решт пройшли через обидві поверхні. Як інтенсивність світла, що проходить, залежить від величин D, λ, R і Т?Примітка. Вузькосмугові оптичні фільтри, які називаються інтерференційними, діють за таким самим принципом. Обидві відбивні поверхні у них зроблені з кількох шарів високоякісного скла точно фіксованої товщини і з різними показниками заломлення.
До розділу 31. Як виникає показник заломлення
31.1. Знайдіть показник заломлення алюмінію для рентгенівських променів з довжиною хвилі 1,56·10–8 см, припускаючи, що електрони в алюмінії мають власну частоту, набагато меншу, ніж частота рентгенівських променів.
31.2. Показник заломлення іоносфери для радіохвиль з частотою 100 мкс–1 дорівнює n=0,90. Визначте густину електронів в 1 см3 іоносфери.
31.3. Електричне поле E світлових хвиль, що проходять через середовище з показником заломлення n, дорівнює E0eiω(t–nz/c).
а) Покажіть, що якщо n=n′—in″, то
Зображення
б) Використовуючи вираз
Зображення
знайдіть, за яким законом послаблюється інтенсивність світлової хвилі, частота якої в точності дорівнює власній частоті ω0 атома.
31.4. Відомо, що миттєва густина потоку енергії електромагнітної хвилі дорівнює S=ε0cE2 вт/м2.
а) Знайдіть повну енергію, яка випромінюється за одиницю часу електроном, що осцилює з амплітудою х0 і кутовою частотою ω.
б) Порівняйте енергію, яка випромінюється за одне коливання, із запасеною енергією 1/2mω2x02, і знайдіть сталу згасання γR. Це згасання називається радіаційним згасанням.
в) Збуджений атом випускає фотони з певною довжиною хвилі λ. Розрахуйте очікуване розширення Δλ спектральної лінії, якщо воно виникає виключно через радіаційне згасання. (Розглядайте атом як крихітний осцилятор, що має згасання.)
До розділу 32. Радіаційне згасання. Розсіяння світла
32.1. Покажіть, що якщо рівняння руху зарядженого осцилятора має вигляд
31.4. Відомо, що миттєва густина потоку енергії електромагнітної хвилі дорівнює S=ε0cE2 вт/м2.
а) Знайдіть повну енергію, яка випромінюється за одиницю часу електроном, що осцилює з амплітудою х0 і кутовою частотою ω.
б) Порівняйте енергію, яка випромінюється за одне коливання, із запасеною енергією 1/2mω2x02, і знайдіть сталу згасання γR. Це згасання називається радіаційним згасанням.
в) Збуджений атом випускає фотони з певною довжиною хвилі λ. Розрахуйте очікуване розширення Δλ спектральної лінії, якщо воно виникає виключно через радіаційне згасання. (Розглядайте атом як крихітний осцилятор, що має згасання.)
До розділу 32. Радіаційне згасання. Розсіяння світла
32.1. Покажіть, що якщо рівняння руху зарядженого осцилятора має вигляд
Зображення
то член, що містить третю похідну, правильно описує швидкість зменшення енергії при випромінюванні (опір випромінювання) для будь-якої частоти.
Примітка. Нехай F(t)=A cos ωt. Знайдіть кількість енергії, яка випромінюється осцилятором.
32.2. Пучок світла проходить через область, що містить N розсіювальних центрів в одиниці об'єму. Переріз розсіяння світла на кожному з них дорівнює σ. Покажіть, що інтенсивність світла залежно від пройденої відстані x описується формулою I=I0e–Nσx.
32.3. Використовуючи вираз для перерізу розсіяння
Примітка. Нехай F(t)=A cos ωt. Знайдіть кількість енергії, яка випромінюється осцилятором.
32.2. Пучок світла проходить через область, що містить N розсіювальних центрів в одиниці об'єму. Переріз розсіяння світла на кожному з них дорівнює σ. Покажіть, що інтенсивність світла залежно від пройденої відстані x описується формулою I=I0e–Nσx.
32.3. Використовуючи вираз для перерізу розсіяння
Зображення
і виведену раніше формулу для показника заломлення газу, покажіть, що величина Nσ може бути записана у вигляді
Зображення
(Таким способом уперше було обчислено число Авогадро при вивченні розсіяння світла.)
32.4. Скільки блакитного світла (λ=4500 Å), випромінюваного Сонцем, проходить крізь атмосферу, коли Сонце перебуває
а) у зеніті?
б) під кутом 10° до горизонту?
32.5. Відкрито нові промені (названі Х-променями, бо вони мають невідомі, але дивовижні властивості) і висловлено припущення, що це, подібно до світла, поперечні хвилі. Потім було помічено, що електрони речовини розсіюють ці промені. Як можна довести, що вони справді поперечні? Чи можна їх поляризувати?
32.6. Внутрішня корона Сонця (звана K-короною) являє собою власне сонячне світло, розсіяне вільними електронами. Видима яскравість цієї K-корони на відстані одного сонячного радіуса від сонячного диска становить близько 10–8 від яскравості самого диска (на одиницю площі). Обчисліть число вільних електронів в 1 см3 простору поблизу Сонця.
32.7. Покажіть, що величина (ε0с)–1 має розмірність опору і оцініть її чисельно.
32.8. Міжзоряний простір заповнений хмарами дрібнесеньких пилинок, що складаються з вуглецю, льоду і дуже малої кількості інших елементів. Якою має бути мінімальна маса таких пилинок, віднесена до одиниці площі (1 г/см2), здатна погіршити наші спостереження за зорями, скажімо, у 100 разів (тобто на 5,0 зоряної величини). Не забудьте, що світло від зір може не тільки розсіюватися на пилинках, а й просто поглинатися ними.
32.9. Короткий прямий шматок мідного дроту, вміщений у потік електромагнітних хвиль радарної системи, розсіює хвилі. Електричне поле падаючої хвилі взаємодіє з рухомими електронами в дроті, унаслідок чого відбувається розсіяння. Якщо розглядати достатньо короткий шматок дроту (довжина якого набагато менша за λ), то можна припустити, що середнє зміщення електронів у ньому вздовж осі пропорційне компоненті Е|| електричного поля хвилі, паралельній дроту. Таким чином, якщо в дроті є N електронів, a d — їхнє середнє зміщення, то d=xE||. Нам потрібно знати (залежно від х і N):
а) чому дорівнює переріз розсіяння дроту?
б) як залежить переріз розсіяння від орієнтації дроту?
До розділу 33. Поляризація
33.1. Дві поляроїдні пластинки розташовані під прямим кутом, а третя розміщується між ними так, щоб її вісь становила кут θ з віссю першого поляроїда. Якою є інтенсивність світла, що проходить крізь такий пристрій, якщо всі поляроїди ідеальні (втрат немає)?
33.2. Припустимо, що коли пучок плоско поляризованого світла падає на поляроїдну пластинку, то частина його α2I0 (I0— інтенсивність падаючого світла) проходить крізь пластинку, якщо вісь поляроїда паралельна напрямку поляризації. Якщо ж ці осі утворюють прямий кут, то крізь пластинку проходить лише частка падаючого світла ε2I0. (Якщо поляроїд ідеальний, то α2 має дорівнювати одиниці, а ε2 — нулю.) Неполяризоване світло інтенсивності I0 проходить крізь пару поляроїдних пластинок, осі яких утворюють кут θ. Якою є інтенсивність світла, що пройшло? (Знехтувати ефектами відбиття.)
33.3. Покажіть, що для кута Брюстера (кута падіння i, за якого відбитий промінь повністю поляризований) справедливе співвідношення tg i=n.
33.4. Оцініть інтенсивність і поляризацію випромінювання електрона, що рухається зі сталою швидкістю по коловій орбіті, для точок, розташованих:
а) на осі, що проходить через центр кола,
б) у площині кола.
33.5. Показники заломлення кристалічного кварцу для світла з довжиною хвилі 600 ммк дорівнюють n0= 1,544 і nε=1,553 для звичайного і незвичайного променів відповідно. У кристалі кварцу, вирізаному паралельно оптичній осі, можна отримати максимальну різницю швидкостей звичайного і незвичайного променів, якщо вони нормально падають на поверхню кристала. Якою має бути товщина кристала, щоб відбувся зсув фаз цих променів на 90°, якщо використовується світло зазначеної довжини хвилі?
33.6. Першокурсник КАЛТЕХу, прогулюючись із дівчиною, бачить Місяць під кутом 10° над горизонтом і його відбиття у спокійному озері. Тужливо згадуючи розд. 33 «Лекцій», він робить спробу розрахувати яскравість зображення порівняно з яскравістю самого Місяця, вважаючи, що випромінювання від Місяця не поляризоване (майже), і забуваючи, що ображена супутниця піде. Який результат він отримає? Покажіть, що інтенсивність відбитих дотичних променів досягає 100%.
33.7. Світло падає перпендикулярно до площини однієї з граней алмазу (n=2,40).
а) Яка частка падаючого випромінювання відбивається?
б) Чому дорівнює кут Брюстера для алмазу?
33.8. На доповнення до задачі 33.5 припустимо, що показники заломлення кварцу для світла з довжиною хвилі λ1=410 ммк дорівнюють n0= 1,557 і ne= 1,567 і що кристал кварцу є чвертьхвильовою пластинкою для світла з довжиною хвилі λ2=600 ммк. Повністю опишіть стан поляризації світла з довжиною хвилі λ1 , що пройшло крізь кристал, якщо падаючі промені були лінійно поляризовані.
33.9. Вам дано відполіровану пластинку з чорного обсидіану, потрібно виміряти показник заломлення цього матеріалу. Як ви вчините?
До розділу 34. Релятивістські явища у випромінюванні
34.1. Диск радіуса A котиться без ковзання по горизонтальній площині. Напишіть рівняння шляху, який проходить точка, що перебуває на відстані R≤A від центра диска, залежно від A, R і кута повороту диска θ. Вісь x спрямована вертикально від центра диска, а вісь z — у напрямку його руху. Знайдіть прискорення d2x/dt2 точки при z=ct.
34.2. Отриманий у попередній задачі вираз необхідний для обчислення інтенсивності випромінювання частинки, що рухається по коловій траєкторії радіуса R. Виразіть результат через величини, що спостерігаються, R, v (швидкість частинки) і x (положення частинки в момент спостереження).
34.3. Знайдіть відношення інтенсивностей випромінювання зарядженої частинки, коли вона рухається у напрямку до спостерігача і від нього по коловій орбіті.
34.4. Отримайте формулу sin θ=v/с, використовуючи перетворення Лоренца.
34.5. Покажіть, що швидкість електрона з енергією 1 ГеВ відрізняється від швидкості світла на одну восьмимільйонну частку.
34.6. При спостереженні D-лінії випромінювання атомів натрію (лабораторна довжина хвилі 589,0 ммк) встановлено, що вона зсунута в спектрі випромінювання зорі і має довжину хвилі 588,0 ммк. Чому дорівнює швидкість зорі відносно спостерігача?
34.7. Астроном з КАЛТЕХу Р. Мінковський дійшов висновку, що найвіддаленіша туманність, яку він спостерігав, мала швидкість руху 0,6 c (віддалені космічні об'єкти рухаються від нас). Чому дорівнює доплерівський зсув для світла, що приходить від цієї туманності? Знайдіть спостережувану довжину хвилі в спектрі світла від цієї туманності, якщо довжина хвилі в лабораторній системі становить 300 ммк.
34.8. Бредлі відкрив у 1728 р. аберацію світла, суть якої полягає в тому, що при спостереженні зорі здаються зміщеними через те, що Земля рухається по своїй орбіті. Тому в дослідах телескоп має бути спрямований вперед максимум на 20,5″, коли розглядаються зорі, розташовані поблизу полюса екліптики. Якщо вважати, що швидкість світла дорівнює 3,00·108 м/с, то якою є величина радіуса земної орбіти в цьому досліді?
34.9. Припустимо, що міжпланетний простір заповнений дрібними крупинками пилу із середньою питомою вагою ρ і приблизно сферичної форми радіуса R.
а) Покажіть, що для піщинки будь-якого розміру відношення сили гравітаційного притягання до Сонця і радіаційного відштовхування від Сонця не залежить від відстані до нього.
б) Використовуючи той факт, що інтенсивність сонячного випромінювання на земній орбіті становить 1374 вт/м2, і припускаючи переріз поглинання випромінювання рівним πR2, знайдіть, для якого значення радіуса R сили радіаційного тиску і гравітаційного притягання будуть повністю скомпенсовані?
в) Зважаючи на результати, здобуті в розд. 32 «Лекцій» (вип. 3), чи можна стверджувати, що переріз поглинання піщинки може бути значно більшим за πR2?
До розділу 38. Співвідношення між хвильовою і корпускулярною точками зору
38.1. У розд. 32 «Лекцій» ми показали, що збуджений атом випромінює свою енергію певними порціями. Це призводить до ефекту обмеження «часу життя» збудженого стану і до утворення скінченної ширини відповідної спектральної лінії. Покажіть, що ці ефекти, які інтерпретуються як невизначеності у вимірюванні енергії і часу випромінювання фотона, узгоджуються з принципом невизначеності.
38.2. Аналізуючи розмірності, оцініть «борівський радіус» атома водню. Покажіть, користуючись принципом невизначеності, що енергія, необхідна для відриву електрона від протона в атомі водню,— порядку кількох електрон-вольт.
38.3. В ультрафіолетовій частині спектра збудження водню спостерігається серія ліній, відомих під назвою серії Лаймана. Три лінії цієї серії мають довжини хвиль: 1216, 1026, 973 Å. Розрахуйте довжини хвиль, що відповідають трьом іншим можливим лініям у спектрі збудження водню, які можуть бути «передбачені» на основі лише цих даних, а також комбінаційного принципу Рітца. Дві з них лежать у видимій області (серія Бальмера), а одна — в інфрачервоній (перша лінія серії Пашена).
32.4. Скільки блакитного світла (λ=4500 Å), випромінюваного Сонцем, проходить крізь атмосферу, коли Сонце перебуває
а) у зеніті?
б) під кутом 10° до горизонту?
32.5. Відкрито нові промені (названі Х-променями, бо вони мають невідомі, але дивовижні властивості) і висловлено припущення, що це, подібно до світла, поперечні хвилі. Потім було помічено, що електрони речовини розсіюють ці промені. Як можна довести, що вони справді поперечні? Чи можна їх поляризувати?
32.6. Внутрішня корона Сонця (звана K-короною) являє собою власне сонячне світло, розсіяне вільними електронами. Видима яскравість цієї K-корони на відстані одного сонячного радіуса від сонячного диска становить близько 10–8 від яскравості самого диска (на одиницю площі). Обчисліть число вільних електронів в 1 см3 простору поблизу Сонця.
32.7. Покажіть, що величина (ε0с)–1 має розмірність опору і оцініть її чисельно.
32.8. Міжзоряний простір заповнений хмарами дрібнесеньких пилинок, що складаються з вуглецю, льоду і дуже малої кількості інших елементів. Якою має бути мінімальна маса таких пилинок, віднесена до одиниці площі (1 г/см2), здатна погіршити наші спостереження за зорями, скажімо, у 100 разів (тобто на 5,0 зоряної величини). Не забудьте, що світло від зір може не тільки розсіюватися на пилинках, а й просто поглинатися ними.
32.9. Короткий прямий шматок мідного дроту, вміщений у потік електромагнітних хвиль радарної системи, розсіює хвилі. Електричне поле падаючої хвилі взаємодіє з рухомими електронами в дроті, унаслідок чого відбувається розсіяння. Якщо розглядати достатньо короткий шматок дроту (довжина якого набагато менша за λ), то можна припустити, що середнє зміщення електронів у ньому вздовж осі пропорційне компоненті Е|| електричного поля хвилі, паралельній дроту. Таким чином, якщо в дроті є N електронів, a d — їхнє середнє зміщення, то d=xE||. Нам потрібно знати (залежно від х і N):
а) чому дорівнює переріз розсіяння дроту?
б) як залежить переріз розсіяння від орієнтації дроту?
До розділу 33. Поляризація
33.1. Дві поляроїдні пластинки розташовані під прямим кутом, а третя розміщується між ними так, щоб її вісь становила кут θ з віссю першого поляроїда. Якою є інтенсивність світла, що проходить крізь такий пристрій, якщо всі поляроїди ідеальні (втрат немає)?
33.2. Припустимо, що коли пучок плоско поляризованого світла падає на поляроїдну пластинку, то частина його α2I0 (I0— інтенсивність падаючого світла) проходить крізь пластинку, якщо вісь поляроїда паралельна напрямку поляризації. Якщо ж ці осі утворюють прямий кут, то крізь пластинку проходить лише частка падаючого світла ε2I0. (Якщо поляроїд ідеальний, то α2 має дорівнювати одиниці, а ε2 — нулю.) Неполяризоване світло інтенсивності I0 проходить крізь пару поляроїдних пластинок, осі яких утворюють кут θ. Якою є інтенсивність світла, що пройшло? (Знехтувати ефектами відбиття.)
33.3. Покажіть, що для кута Брюстера (кута падіння i, за якого відбитий промінь повністю поляризований) справедливе співвідношення tg i=n.
33.4. Оцініть інтенсивність і поляризацію випромінювання електрона, що рухається зі сталою швидкістю по коловій орбіті, для точок, розташованих:
а) на осі, що проходить через центр кола,
б) у площині кола.
33.5. Показники заломлення кристалічного кварцу для світла з довжиною хвилі 600 ммк дорівнюють n0= 1,544 і nε=1,553 для звичайного і незвичайного променів відповідно. У кристалі кварцу, вирізаному паралельно оптичній осі, можна отримати максимальну різницю швидкостей звичайного і незвичайного променів, якщо вони нормально падають на поверхню кристала. Якою має бути товщина кристала, щоб відбувся зсув фаз цих променів на 90°, якщо використовується світло зазначеної довжини хвилі?
33.6. Першокурсник КАЛТЕХу, прогулюючись із дівчиною, бачить Місяць під кутом 10° над горизонтом і його відбиття у спокійному озері. Тужливо згадуючи розд. 33 «Лекцій», він робить спробу розрахувати яскравість зображення порівняно з яскравістю самого Місяця, вважаючи, що випромінювання від Місяця не поляризоване (майже), і забуваючи, що ображена супутниця піде. Який результат він отримає? Покажіть, що інтенсивність відбитих дотичних променів досягає 100%.
33.7. Світло падає перпендикулярно до площини однієї з граней алмазу (n=2,40).
а) Яка частка падаючого випромінювання відбивається?
б) Чому дорівнює кут Брюстера для алмазу?
33.8. На доповнення до задачі 33.5 припустимо, що показники заломлення кварцу для світла з довжиною хвилі λ1=410 ммк дорівнюють n0= 1,557 і ne= 1,567 і що кристал кварцу є чвертьхвильовою пластинкою для світла з довжиною хвилі λ2=600 ммк. Повністю опишіть стан поляризації світла з довжиною хвилі λ1 , що пройшло крізь кристал, якщо падаючі промені були лінійно поляризовані.
33.9. Вам дано відполіровану пластинку з чорного обсидіану, потрібно виміряти показник заломлення цього матеріалу. Як ви вчините?
До розділу 34. Релятивістські явища у випромінюванні
34.1. Диск радіуса A котиться без ковзання по горизонтальній площині. Напишіть рівняння шляху, який проходить точка, що перебуває на відстані R≤A від центра диска, залежно від A, R і кута повороту диска θ. Вісь x спрямована вертикально від центра диска, а вісь z — у напрямку його руху. Знайдіть прискорення d2x/dt2 точки при z=ct.
34.2. Отриманий у попередній задачі вираз необхідний для обчислення інтенсивності випромінювання частинки, що рухається по коловій траєкторії радіуса R. Виразіть результат через величини, що спостерігаються, R, v (швидкість частинки) і x (положення частинки в момент спостереження).
34.3. Знайдіть відношення інтенсивностей випромінювання зарядженої частинки, коли вона рухається у напрямку до спостерігача і від нього по коловій орбіті.
34.4. Отримайте формулу sin θ=v/с, використовуючи перетворення Лоренца.
34.5. Покажіть, що швидкість електрона з енергією 1 ГеВ відрізняється від швидкості світла на одну восьмимільйонну частку.
34.6. При спостереженні D-лінії випромінювання атомів натрію (лабораторна довжина хвилі 589,0 ммк) встановлено, що вона зсунута в спектрі випромінювання зорі і має довжину хвилі 588,0 ммк. Чому дорівнює швидкість зорі відносно спостерігача?
34.7. Астроном з КАЛТЕХу Р. Мінковський дійшов висновку, що найвіддаленіша туманність, яку він спостерігав, мала швидкість руху 0,6 c (віддалені космічні об'єкти рухаються від нас). Чому дорівнює доплерівський зсув для світла, що приходить від цієї туманності? Знайдіть спостережувану довжину хвилі в спектрі світла від цієї туманності, якщо довжина хвилі в лабораторній системі становить 300 ммк.
34.8. Бредлі відкрив у 1728 р. аберацію світла, суть якої полягає в тому, що при спостереженні зорі здаються зміщеними через те, що Земля рухається по своїй орбіті. Тому в дослідах телескоп має бути спрямований вперед максимум на 20,5″, коли розглядаються зорі, розташовані поблизу полюса екліптики. Якщо вважати, що швидкість світла дорівнює 3,00·108 м/с, то якою є величина радіуса земної орбіти в цьому досліді?
34.9. Припустимо, що міжпланетний простір заповнений дрібними крупинками пилу із середньою питомою вагою ρ і приблизно сферичної форми радіуса R.
а) Покажіть, що для піщинки будь-якого розміру відношення сили гравітаційного притягання до Сонця і радіаційного відштовхування від Сонця не залежить від відстані до нього.
б) Використовуючи той факт, що інтенсивність сонячного випромінювання на земній орбіті становить 1374 вт/м2, і припускаючи переріз поглинання випромінювання рівним πR2, знайдіть, для якого значення радіуса R сили радіаційного тиску і гравітаційного притягання будуть повністю скомпенсовані?
в) Зважаючи на результати, здобуті в розд. 32 «Лекцій» (вип. 3), чи можна стверджувати, що переріз поглинання піщинки може бути значно більшим за πR2?
До розділу 38. Співвідношення між хвильовою і корпускулярною точками зору
38.1. У розд. 32 «Лекцій» ми показали, що збуджений атом випромінює свою енергію певними порціями. Це призводить до ефекту обмеження «часу життя» збудженого стану і до утворення скінченної ширини відповідної спектральної лінії. Покажіть, що ці ефекти, які інтерпретуються як невизначеності у вимірюванні енергії і часу випромінювання фотона, узгоджуються з принципом невизначеності.
38.2. Аналізуючи розмірності, оцініть «борівський радіус» атома водню. Покажіть, користуючись принципом невизначеності, що енергія, необхідна для відриву електрона від протона в атомі водню,— порядку кількох електрон-вольт.
38.3. В ультрафіолетовій частині спектра збудження водню спостерігається серія ліній, відомих під назвою серії Лаймана. Три лінії цієї серії мають довжини хвиль: 1216, 1026, 973 Å. Розрахуйте довжини хвиль, що відповідають трьом іншим можливим лініям у спектрі збудження водню, які можуть бути «передбачені» на основі лише цих даних, а також комбінаційного принципу Рітца. Дві з них лежать у видимій області (серія Бальмера), а одна — в інфрачервоній (перша лінія серії Пашена).