До розділу 15. Спеціальна теорія відносності
15.1. Використовуючи формули перетворень Лоренца, виразіть x, y, z і t через х′, у′, z′ і t′.
15.2. Проаналізуйте роботу «світлового годинника», який зорієнтований паралельно напрямку свого руху. Схема цього пристрою наведена на фіг. 15.3 «Лекцій» (вип. 2, стор. 15). Не забудьте врахувати лоренцеве скорочення.
15.3. У верхніх шарах атмосфери народжується μ-мезон, що рухається зі швидкістю v=0,99 c. До розпаду він встигає пролетіти 5,00 км.
а) Який час життя μ-мезона, що спостерігається нами, і чому він дорівнює в системі координат, пов'язаній із самим μ-мезоном?
б) Якою є товщина шару атмосфери, пройденого μ-мезоном, виміряна в його «власній» системі координат?
15.4. Виробництво електроенергії Сполученими Штатами в 1962 р. становило 2,15·1012 квт·год.
а) Якою є маса речовини, перетвореної при цьому на енергію?
б) Уявімо собі, що вся ця енергія вироблялася б за рахунок перетворення дейтерію на гелій, причому різниця мас використовувалася б повністю (насправді частина її йде на випромінювання нейтрино). Скільки важкої води довелося б витрачати щосекунди для забезпечення такого річного виробництва енергії?
Примітка. МH2=2,0147 а. о. м,
МH4=4,0039 а. о. м.
15.5. Потужність сонячного випромінювання, що поглинається в земній атмосфері, становить приблизно 1,4 квт/м2. Якщо вся ця енергія отримується на Сонці за рахунок перетворення звичайного водню на гелій, то скільки ж тонн водню за секунду «згоряє» на Сонці? (Втратою на випромінювання нейтрино знехтуйте.)
15.6. Частинка з масою спокою т0 рухається вздовж осі x так, що її положення в кожний момент часу задається формулою
15.1. Використовуючи формули перетворень Лоренца, виразіть x, y, z і t через х′, у′, z′ і t′.
15.2. Проаналізуйте роботу «світлового годинника», який зорієнтований паралельно напрямку свого руху. Схема цього пристрою наведена на фіг. 15.3 «Лекцій» (вип. 2, стор. 15). Не забудьте врахувати лоренцеве скорочення.
15.3. У верхніх шарах атмосфери народжується μ-мезон, що рухається зі швидкістю v=0,99 c. До розпаду він встигає пролетіти 5,00 км.
а) Який час життя μ-мезона, що спостерігається нами, і чому він дорівнює в системі координат, пов'язаній із самим μ-мезоном?
б) Якою є товщина шару атмосфери, пройденого μ-мезоном, виміряна в його «власній» системі координат?
15.4. Виробництво електроенергії Сполученими Штатами в 1962 р. становило 2,15·1012 квт·год.
а) Якою є маса речовини, перетвореної при цьому на енергію?
б) Уявімо собі, що вся ця енергія вироблялася б за рахунок перетворення дейтерію на гелій, причому різниця мас використовувалася б повністю (насправді частина її йде на випромінювання нейтрино). Скільки важкої води довелося б витрачати щосекунди для забезпечення такого річного виробництва енергії?
Примітка. МH2=2,0147 а. о. м,
МH4=4,0039 а. о. м.
15.5. Потужність сонячного випромінювання, що поглинається в земній атмосфері, становить приблизно 1,4 квт/м2. Якщо вся ця енергія отримується на Сонці за рахунок перетворення звичайного водню на гелій, то скільки ж тонн водню за секунду «згоряє» на Сонці? (Втратою на випромінювання нейтрино знехтуйте.)
15.6. Частинка з масою спокою т0 рухається вздовж осі x так, що її положення в кожний момент часу задається формулою
Зображення
Чому дорівнює сила, під дією якої частинка здійснює такий рух?
15.7. а) Виразіть прискорення сили тяжіння в одиницях світл.рік/рік2.
б) Космічний корабель рухається з таким прискоренням, що його екіпаж відчуває таку саму сталу силу тяжіння, як на Землі. З погляду спостерігача, нерухомого відносно точки, в якій корабель перебував у момент t=0, такий розгін триває 5,00 років. На яку відстань відлетить корабель за цей час і якою буде його швидкість наприкінці розгону?
До розділу 16. Релятивістська енергія і релятивістський імпульс
16.1. Напишіть перетворення Лоренца в диференціальній формі: dx=γ(dx′+βcdt′) і т. д. і обчисліть у такий спосіб dx/dt і dy/dt, виразивши ці похідні через v′x, V та ін.
16.2. Частинка рухається вздовж осі x зі швидкістю vx і прискоренням аx. Система координат S′ рухається відносно вихідної зі швидкістю v. Чому дорівнюють швидкість і прискорення частинки в цій системі?
16.3. Перевірте формулу mw=mv√1—(и2/с2), отриману в «Лекціях» (вип.2, стор. 34).
16.4. Частинка з масою спокою т0, яка рухається зі швидкістю 4с/5, зазнає непружного зіткнення з нерухомою частинкою рівної маси.
а) Чому дорівнює швидкість утвореної складеної частинки?
б) Чому дорівнює її маса спокою?
16.5. Прискорювач «беватрон» у Берклі проектувався з таким розрахунком, щоб він міг розганяти протони до енергії, достатньої для утворення пар протон—антипротон у реакції p+p→p+p+(p+‾p). Так звана порогова енергія цієї реакції відповідає випадку, коли чотири частинки, перелічені в правій частині формули реакції, рухаються разом як одна частинка з масою спокою М=4тp . Якщо протони мішені до зіткнення перебувають у спокої, чому дорівнює порогова кінетична енергія протонів, що бомбардують?
До розділу 17. Простір-час
17.1. Маса спокою протона становить тp=938 МеВ. У космічних променях трапляються протони з енергією порядку 1010 ГеВ (1 ГеВ=103 МеВ); їхню появу вдається визначити за допомогою різних непрямих методів. Нехай протон із такою енергією перетинає по діаметру Галактику. Довжина цього діаметра дорівнює 105 світлових років. Скільки часу знадобиться протону на цю подорож «з його погляду»?
17.2. Покажіть, що енергія спокою електрона тeс2 =0,511 МеВ.
17.3. Нерухомий π-мезон (mπ=273 тe) розпадається на μ-мезон (mμ=207 тe) і нейтрино (mv=0). Виразіть у МеВ кінетичну енергію та імпульс μ-мезона і нейтрино.
17.4. Вивчається рух зарядженої частинки в магнітному полі. Якщо q вимірюється в зарядах електрона, p — у МеВ, а B — у гс, то як пов'язані між собою величини p, B і R? Позначте q=Zqe.
17.5. Будується циклотрон, що прискорює протони до кінетичної енергії 150 МеВ. Напруженість магнітного поля в ньому становить 1,00·104 гс.
а) Чому має бути рівний радіус магніту?
б) На якій частоті мають працювати прискорювальні електроди?
в) На скільки відсотків має змінюватися ця частота в процесі прискорення даної частинки через наявність релятивістських ефектів?
До розділу 18. Двовимірні обертання
18. 1. Сила F=30i+40j ньютон прикладена до точки r=8i+6j м. Знайдіть:
а) момент сили відносно початку координат;
б) плече сили;
в) складову сили, перпендикулярну до r.
18.2. На якій широті швидкість точки земної поверхні за рахунок добового обертання Землі на 200 м/с менша, ніж у Лос-Анджелесі?
18.3. На плоску сталеву пластинку, що плаває в ртуті, діють три сили, прикладені до трьох різних кутів квадрата зі стороною 0,1 м (див. рисунок). Знайдіть силу, яка одна може утримати цю пластинку в положенні рівноваги. Знайдіть величину, напрямок і точку прикладання цієї сили (точка розташована на лінії АВ).
18.4. На рисунку показано куточок, зроблений із металевого листа сталої товщини. Він лежить на гладкому горизонтальному столі. Після удару, напрямок якого вказано на рисунку, куточок починає рухатися по поверхні стола без обертання. На якій відстані від вершини O розташована точка, в яку було завдано удар?
18.5. На рисунку зображено конструкцію ферми моста. Вона складається з твердих невагомих стрижнів рівної довжини, з'єднаних між собою шарнірно. Тертя в шарнірах відсутнє. Знайдіть сили реакції F1 і F2 та зусилля в стрижні DF, якщо в точці E підвішено вантаж вагою W.
18.6. Обчисліть моменти інерції наступних твердих тіл, кожне з яких має масу m:
а) Тонкий прямолінійний однорідний стрижень довжини L. Момент потрібно обчислити відносно осі, перпендикулярної стрижню, яка проходить через один з його кінців.
б) Той самий стрижень, але вісь проходить через його середину.
в) Тонкостінний порожнистий круговий циліндр радіуса r; відносно осі циліндра.
г) Суцільний круговий циліндр радіуса r; відносно осі циліндра.
18.7. Вантаж маси m підвішений на нитці, намотаній навколо суцільного циліндра маси M і радіуса r. Циліндр може обертатися навколо своєї осі без тертя (див. рисунок). Знайдіть прискорення вантажу m.
18.8. Вантаж маси m рухається по горизонтальній гладкій поверхні стола. До вантажу прив'язана нитка, що проходить вниз через маленький отвір у столі. У початковий момент довжина кінця нитки, що перебуває на поверхні стола, дорівнює r1, а маса m рухається по колу радіуса r1 зі швидкістю v1. Потім за нитку тягнуть знизу, і довжина кінця, що залишився на поверхні стола, скорочується до r2. Знайдіть:
а) швидкість вантажу v2 у кінцевому стані;
б) роботу, здійснену силою, яка тягнула нитку під стіл;
в) величину сили, яку необхідно прикласти до нижнього кінця нитки, щоб радіус кола, по якому рухається m, залишався сталим.
Використайте принцип віртуальної роботи.
18.9. Знайдіть момент кількості руху планети маси m, яка рухається по круговій орбіті радіуса R. Використовуючи цей результат, покажіть, що через припливи, які гальмують обертання Землі, відстань між Місяцем і Землею з часом збільшуватиметься (хоча й дуже повільно). Обговоріть ще питання про збереження енергії в системі Земля — Місяць.
18.10. Розв'яжіть задачу 4.9 (стор. 14), використовуючи таку умову: у положенні статичної рівноваги результувальна сила і результувальний момент, прикладені до тіла, повинні дорівнювати нулю.
18.11. Відцентровий регулятор, показаний на рисунку, повинен вимикати машину, коли швидкість обертання вала перевищує 120 обертів за хвилину. Керуюча обойма C важить 4 кг і ковзає без тертя по вертикальному валу АВ. Вимикання відбувається, коли відстань АС скорочується до 43 см. Довжина кожної з ланок регулятора дорівнює 30 см, їх можна вважати невагомими, тертя в з'єднувальних шарнірах відсутнє. Чому повинна дорівнювати маса грузиків M, щоб регулятор працював відповідно до технічного завдання?
18.12. На вертикальний вал простого регулятора швидкості (див. схему) перпендикулярно до нього насаджений горизонтальний стрижень, по якому можуть вільно ковзати важкі гальмівні колодки. Під час обертання вала колодки притискаються до внутрішньої поверхні нерухомого гальмівного циліндра (барабана). Маса кожної колодки дорівнює m, товщина їх нехтовно мала порівняно з радіусом барабана r, а коефіцієнт тертя ковзання між колодками і барабаном дорівнює μ. Виведіть формулу, яка виражала б потужність, необхідну для обертання вала, через m, r, μ і ω — кутову швидкість обертання вала.
18.13. Однорідний брусок довжини L лежить на гладкій горизонтальній поверхні (див. рисунок). Зверху на нього накладаються такі самі бруски так, що їхні бічні грані утворюють одну площину, а торець кожного наступного бруска зміщується відносно попереднього на величину L/a (a — ціле число). Скільки брусків вдасться укласти, перш ніж уся споруда перекинеться?
До розділу 19. Центр мас; момент інерції
19.1. Вісім тонких однорідних стрижнів утворюють плоский квадрат, який підтримується невагомою рамкою (показана пунктиром на рисунку A). Довжина кожного стрижня дорівнює L, а маса M. Квадрат вільно обертається без тертя навколо осі O, перпендикулярної його площині, з кутовою швидкістю ω0 рад/с. У процесі обертання внутрішній механізм K, з'єднаний з рамкою і який має сталий момент інерції 40/3 ML2, складає квадрат у хрест, зображений на рисунку B. Яку він при цьому витрачає енергію?
19.2. Пружний момент, що створюється закручуваною ниткою, пропорційний куту закручування тнитки=—kθ.
а) Покажіть, що потенціальна енергія такої нитки, закрученої на кут θ, дорівнює 1/2kθ2.
б) Момент, що діє на котушку гальванометра, має вигляд
15.7. а) Виразіть прискорення сили тяжіння в одиницях світл.рік/рік2.
б) Космічний корабель рухається з таким прискоренням, що його екіпаж відчуває таку саму сталу силу тяжіння, як на Землі. З погляду спостерігача, нерухомого відносно точки, в якій корабель перебував у момент t=0, такий розгін триває 5,00 років. На яку відстань відлетить корабель за цей час і якою буде його швидкість наприкінці розгону?
До розділу 16. Релятивістська енергія і релятивістський імпульс
16.1. Напишіть перетворення Лоренца в диференціальній формі: dx=γ(dx′+βcdt′) і т. д. і обчисліть у такий спосіб dx/dt і dy/dt, виразивши ці похідні через v′x, V та ін.
16.2. Частинка рухається вздовж осі x зі швидкістю vx і прискоренням аx. Система координат S′ рухається відносно вихідної зі швидкістю v. Чому дорівнюють швидкість і прискорення частинки в цій системі?
16.3. Перевірте формулу mw=mv√1—(и2/с2), отриману в «Лекціях» (вип.2, стор. 34).
16.4. Частинка з масою спокою т0, яка рухається зі швидкістю 4с/5, зазнає непружного зіткнення з нерухомою частинкою рівної маси.
а) Чому дорівнює швидкість утвореної складеної частинки?
б) Чому дорівнює її маса спокою?
16.5. Прискорювач «беватрон» у Берклі проектувався з таким розрахунком, щоб він міг розганяти протони до енергії, достатньої для утворення пар протон—антипротон у реакції p+p→p+p+(p+‾p). Так звана порогова енергія цієї реакції відповідає випадку, коли чотири частинки, перелічені в правій частині формули реакції, рухаються разом як одна частинка з масою спокою М=4тp . Якщо протони мішені до зіткнення перебувають у спокої, чому дорівнює порогова кінетична енергія протонів, що бомбардують?
До розділу 17. Простір-час
17.1. Маса спокою протона становить тp=938 МеВ. У космічних променях трапляються протони з енергією порядку 1010 ГеВ (1 ГеВ=103 МеВ); їхню появу вдається визначити за допомогою різних непрямих методів. Нехай протон із такою енергією перетинає по діаметру Галактику. Довжина цього діаметра дорівнює 105 світлових років. Скільки часу знадобиться протону на цю подорож «з його погляду»?
17.2. Покажіть, що енергія спокою електрона тeс2 =0,511 МеВ.
17.3. Нерухомий π-мезон (mπ=273 тe) розпадається на μ-мезон (mμ=207 тe) і нейтрино (mv=0). Виразіть у МеВ кінетичну енергію та імпульс μ-мезона і нейтрино.
17.4. Вивчається рух зарядженої частинки в магнітному полі. Якщо q вимірюється в зарядах електрона, p — у МеВ, а B — у гс, то як пов'язані між собою величини p, B і R? Позначте q=Zqe.
17.5. Будується циклотрон, що прискорює протони до кінетичної енергії 150 МеВ. Напруженість магнітного поля в ньому становить 1,00·104 гс.
а) Чому має бути рівний радіус магніту?
б) На якій частоті мають працювати прискорювальні електроди?
в) На скільки відсотків має змінюватися ця частота в процесі прискорення даної частинки через наявність релятивістських ефектів?
До розділу 18. Двовимірні обертання
18. 1. Сила F=30i+40j ньютон прикладена до точки r=8i+6j м. Знайдіть:
а) момент сили відносно початку координат;
б) плече сили;
в) складову сили, перпендикулярну до r.
18.2. На якій широті швидкість точки земної поверхні за рахунок добового обертання Землі на 200 м/с менша, ніж у Лос-Анджелесі?
18.3. На плоску сталеву пластинку, що плаває в ртуті, діють три сили, прикладені до трьох різних кутів квадрата зі стороною 0,1 м (див. рисунок). Знайдіть силу, яка одна може утримати цю пластинку в положенні рівноваги. Знайдіть величину, напрямок і точку прикладання цієї сили (точка розташована на лінії АВ).18.4. На рисунку показано куточок, зроблений із металевого листа сталої товщини. Він лежить на гладкому горизонтальному столі. Після удару, напрямок якого вказано на рисунку, куточок починає рухатися по поверхні стола без обертання. На якій відстані від вершини O розташована точка, в яку було завдано удар?18.5. На рисунку зображено конструкцію ферми моста. Вона складається з твердих невагомих стрижнів рівної довжини, з'єднаних між собою шарнірно. Тертя в шарнірах відсутнє. Знайдіть сили реакції F1 і F2 та зусилля в стрижні DF, якщо в точці E підвішено вантаж вагою W.18.6. Обчисліть моменти інерції наступних твердих тіл, кожне з яких має масу m:
а) Тонкий прямолінійний однорідний стрижень довжини L. Момент потрібно обчислити відносно осі, перпендикулярної стрижню, яка проходить через один з його кінців.
б) Той самий стрижень, але вісь проходить через його середину.
в) Тонкостінний порожнистий круговий циліндр радіуса r; відносно осі циліндра.
г) Суцільний круговий циліндр радіуса r; відносно осі циліндра.
18.7. Вантаж маси m підвішений на нитці, намотаній навколо суцільного циліндра маси M і радіуса r. Циліндр може обертатися навколо своєї осі без тертя (див. рисунок). Знайдіть прискорення вантажу m.18.8. Вантаж маси m рухається по горизонтальній гладкій поверхні стола. До вантажу прив'язана нитка, що проходить вниз через маленький отвір у столі. У початковий момент довжина кінця нитки, що перебуває на поверхні стола, дорівнює r1, а маса m рухається по колу радіуса r1 зі швидкістю v1. Потім за нитку тягнуть знизу, і довжина кінця, що залишився на поверхні стола, скорочується до r2. Знайдіть:
а) швидкість вантажу v2 у кінцевому стані;
б) роботу, здійснену силою, яка тягнула нитку під стіл;
в) величину сили, яку необхідно прикласти до нижнього кінця нитки, щоб радіус кола, по якому рухається m, залишався сталим.
Використайте принцип віртуальної роботи.
18.9. Знайдіть момент кількості руху планети маси m, яка рухається по круговій орбіті радіуса R. Використовуючи цей результат, покажіть, що через припливи, які гальмують обертання Землі, відстань між Місяцем і Землею з часом збільшуватиметься (хоча й дуже повільно). Обговоріть ще питання про збереження енергії в системі Земля — Місяць.
18.10. Розв'яжіть задачу 4.9 (стор. 14), використовуючи таку умову: у положенні статичної рівноваги результувальна сила і результувальний момент, прикладені до тіла, повинні дорівнювати нулю.
18.11. Відцентровий регулятор, показаний на рисунку, повинен вимикати машину, коли швидкість обертання вала перевищує 120 обертів за хвилину. Керуюча обойма C важить 4 кг і ковзає без тертя по вертикальному валу АВ. Вимикання відбувається, коли відстань АС скорочується до 43 см. Довжина кожної з ланок регулятора дорівнює 30 см, їх можна вважати невагомими, тертя в з'єднувальних шарнірах відсутнє. Чому повинна дорівнювати маса грузиків M, щоб регулятор працював відповідно до технічного завдання? 18.12. На вертикальний вал простого регулятора швидкості (див. схему) перпендикулярно до нього насаджений горизонтальний стрижень, по якому можуть вільно ковзати важкі гальмівні колодки. Під час обертання вала колодки притискаються до внутрішньої поверхні нерухомого гальмівного циліндра (барабана). Маса кожної колодки дорівнює m, товщина їх нехтовно мала порівняно з радіусом барабана r, а коефіцієнт тертя ковзання між колодками і барабаном дорівнює μ. Виведіть формулу, яка виражала б потужність, необхідну для обертання вала, через m, r, μ і ω — кутову швидкість обертання вала.18.13. Однорідний брусок довжини L лежить на гладкій горизонтальній поверхні (див. рисунок). Зверху на нього накладаються такі самі бруски так, що їхні бічні грані утворюють одну площину, а торець кожного наступного бруска зміщується відносно попереднього на величину L/a (a — ціле число). Скільки брусків вдасться укласти, перш ніж уся споруда перекинеться?До розділу 19. Центр мас; момент інерції19.1. Вісім тонких однорідних стрижнів утворюють плоский квадрат, який підтримується невагомою рамкою (показана пунктиром на рисунку A). Довжина кожного стрижня дорівнює L, а маса M. Квадрат вільно обертається без тертя навколо осі O, перпендикулярної його площині, з кутовою швидкістю ω0 рад/с. У процесі обертання внутрішній механізм K, з'єднаний з рамкою і який має сталий момент інерції 40/3 ML2, складає квадрат у хрест, зображений на рисунку B. Яку він при цьому витрачає енергію?
19.2. Пружний момент, що створюється закручуваною ниткою, пропорційний куту закручування тнитки=—kθ.
а) Покажіть, що потенціальна енергія такої нитки, закрученої на кут θ, дорівнює 1/2kθ2.
б) Момент, що діє на котушку гальванометра, має вигляд
Зображення
де i — струм, що тече через котушку; n — число витків у котушці; B — магнітне поле, що створюється постійним магнітом гальванометра. Для вимірювання заряду конденсатора його розряджають через котушку гальванометра і відмічають максимальний кут відхилення. При цьому |i|=|dq/dt|, і розряд відбувається так швидко, що за той час, поки тече струм, котушка не встигає суттєво відхилитися від початкового положення θ=0. Нехтуючи тертям, покажіть, що максимальний кут відхилення пропорційний початковому заряду конденсатора.
19.3. Прямолінійний однорідний дріт довжини L і маси M зігнутий посередині, і кінці його утворюють між собою кут θ. Чому дорівнює його момент інерції відносно осі, яка проходить через точку A і перпендикулярна площині дроту?
19.4. Металева пластинка неправильної форми, але сталої товщини має масу M і центр ваги її розташований у точці С. Момент інерції відносно осі, перпендикулярної площині пластинки (і яка проходить через точку A), відомий і дорівнює IA. За яких умов, накладених на відстані r1, r2 і r3, справедливий такий вираз для моменту інерції пластинки відносно осі, також перпендикулярної площині пластинки, але яка проходить через точку B:
19.3. Прямолінійний однорідний дріт довжини L і маси M зігнутий посередині, і кінці його утворюють між собою кут θ. Чому дорівнює його момент інерції відносно осі, яка проходить через точку A і перпендикулярна площині дроту?19.4. Металева пластинка неправильної форми, але сталої товщини має масу M і центр ваги її розташований у точці С. Момент інерції відносно осі, перпендикулярної площині пластинки (і яка проходить через точку A), відомий і дорівнює IA. За яких умов, накладених на відстані r1, r2 і r3, справедливий такий вираз для моменту інерції пластинки відносно осі, також перпендикулярної площині пластинки, але яка проходить через точку B:Зображення
19.5. Круг радіуса R обертається навколо своєї дотичної АА′. При цьому утворюється тіло обертання, яке називають тором. Знайдіть об'єм цього тора.19.6. Матеріальні точки з масами М1 і М2 поміщено на протилежних кінцях невагомого стрижня довжини L. Стрижень приводиться в обертання навколо осі, перпендикулярної до нього. Через яку точку стрижня має проходити вісь обертання, щоб енергія, яка витрачається на досягнення заданої кутової швидкості ω0, була мінімальною?
19.7. Для сповільнення обертального руху штучних супутників використовується такий пристрій. Однорідний круглий диск радіуса R і маси M може вільно обертатися в горизонтальній площині навколо шарніра P, установленого в центрі диска. На краю диска закріплено два маленькі вантажі, маса кожного з них m. З диском їх з'єднують дві нитки довжини l, намотані по його периферії (див. рисунок). Коли диск обертається, вантажики одночасно звільняються без зміни повного моменту кількості руху системи. Після цього вантажики відлітають від диска, і в той момент, коли нитки натягуються вздовж радіальних напрямків, вони зістрибують з гачків H і H′, дозволяючи вантажикам полетіти. Знайдіть довжину ниток /, при якій кутова швидкість диска в результаті цієї операції зменшиться в n разів.19.8. Джим перебуває в системі координат (x′, y′) і обертається відносно Джо, який нерухомий і перебуває в системі координат (x, y). Знайдіть вираз для компонент сили, яка, на думку Джима, діє на деяку частинку, і покажіть, що вона складається з компонент істинної сили F, яку спостерігає і Джо, та двох псевдосил: радіальної відцентрової сили і сили Коріоліса, яка перпендикулярна до швидкості.
19.9. Однорідна куля радіуса R і маси M у початковий момент пущена по площині так, що вона ковзає по ній без кочення. Між кулею і площиною існує тертя, коефіцієнт якого дорівнює μ. Яку відстань пройде куля, перш ніж її рух перетвориться на кочення без ковзання, і якою буде до цього моменту її швидкість?
19.10. На рисунку зображено спрощену схему пристрою для подачі друкарської фарби в друкарському верстаті. Фарба подається з барабана K, який вільно обертається на закріпленій осі. Момент інерції цього барабана нехтовно малий; P — ведений друкарський вал з нерухомою віссю, а Т — передавальний валик, що вільно котиться по K і P. Валик T — це суцільний циліндр радіуса r і маси M; він увесь час котиться по K і P без ковзання, і геометрія пристрою така, що лінія, яка сполучає осі T і P, утворює з горизонталлю кут θ. Яке максимальне кутове прискорення A можна надати валові P без втрати контакту між T і K?
19.11. Суцільний циліндр складається з чотирьох секцій — квадрантів, причому густини матеріалів, з яких зроблено різні секції, відрізняються й відносяться, як числа, зазначені на рисунку. Проведемо осі x і y так, як показано на рисунку; який вигляд матиме рівняння прямої, що проходить через початок координат і через центр мас циліндра?
19.12. У диску сталої густини вирізано отвір, як показано на рисунку. Знайдіть положення центра мас.19.13.Знайдіть положення центра мас однорідного дроту, зігнутого по дузі кола радіуса R. Довжина дроту L (R>L/2π). Використайте систему координат з початком у центрі кола і з віссю x, що проходить через середину дроту.
19.14.Використовуючи результат попередньої задачі або іншим способом, знайдіть центр ваги сектора з кутом розхилу α, вирізаного з однорідного диска радіуса R.
19.15.Циліндр, радіус якого π см, а маса 3 кг, розрізано на три рівні частини. Те саме зроблено з іншим циліндром радіусом π см, але вагою вже 6 кг. Ці шматки склеєно один з одним, як показано на рисунку, причому лінія ОА спрямована горизонтально. Стінка абсолютно гладка, а «підлога» — абсолютно шорстка.а) З якою силою циліндр тисне на стінку?
б) На якій відстані від центра на лінії ОА слід помістити матеріальну точку маси m, щоб система залишалася в рівновазі й після видалення стінки?
19.16. З квадратної металевої пластинки з довжиною ребра a необхідно вирізати з одного боку рівнобедрений трикутник так, щоб фігура, що залишилася, будучи підвішеною за точку P (вершину трикутника), залишалася в рівновазі незалежно від положення. Чому дорівнює висота трикутника?
19.17. Котушка складається з двох однакових дисків радіуса R і маси M, насаджених на невагому вісь радіуса r. Нитка, намотана на вісь котушки, прикріплена до стелі. Відстань від котушки до стелі дорівнює D (див. рисунок). З цього стану котушка починає рухатися вниз.а) Який кут має утворити нитка з вертикаллю в початковий момент, щоб, опускаючись, котушка не розгойдувалася?
б) Яке вертикальне прискорення центра котушки?
19.18. Поворотний стіл з моментом інерції I0 вільно обертається навколо вертикальної осі. На столі прокладено прямолінійну радіальну доріжку, по якій може без тертя рухатися візок маси m (див. рисунок). Нитка, прив'язана до візка, перекинута через маленький блок, а потім іде під стіл крізь порожнисту вісь. Спочатку система обертається з кутовою швидкістю ω0, і візок перебуває на фіксованій відстані R від осі. Потім нитка якоюсь зовнішньою силою втягується всередину осі на таку відстань, що візок тепер відокремлений від осі меншим проміжком r і залишається в цьому положенні.а) Чому дорівнює кутова швидкість системи в кінцевому стані?
б) Покажіть докладно, що різниця між значеннями енергії системи в кінцевому й початковому станах дорівнює роботі, яку виконала сила, що витягує нитку.
в) Якщо нитку відпустити, з якою радіальною швидкістю vr пройде візок через точку R? До розділу 20. Обертання в просторі
20.1. Записавши вектори в компонентній формі або якось інакше, доведіть такі співвідношення:
Зображення
20.2. Тверде тіло обертається з кутовою швидкістю ω відносно деякої фіксованої осі. Покажіть, що швидкість будь-якої точки P цього тіла дорівнює v=ωXr, де r — вектор, проведений з довільно вибраної точки, розташованої на осі обертання, до даної.
20.3. Тверде тіло спочатку повертається на нескінченно малий кут Δθ1 відносно однієї осі, а потім на нескінченно малий кут Δθ2 відносно іншої осі, що перетинає першу в точці 0. Покажіть, що загальне зміщення будь-якої точки розглядуваного тіла таке саме, як якби воно було одразу повернуте на деякий нескінченно малий кут відносно проміжної осі. Як знайти вісь і кут? Доведіть, що тверде тіло, яке зазнає одночасної дії кількох кутових швидкостей відносно різних осей, рухається так, ніби на нього діяла лише одна кутова швидкість, що дорівнює векторній сумі всіх складових швидкостей. (Кожну кутову швидкість слід розглядати як вектор довжини ω, спрямований уздовж осі обертання.)
20. 4. Система N частинок з масами m , координатами ri і швидкостями vi має момент кількості руху, що дорівнює
20.3. Тверде тіло спочатку повертається на нескінченно малий кут Δθ1 відносно однієї осі, а потім на нескінченно малий кут Δθ2 відносно іншої осі, що перетинає першу в точці 0. Покажіть, що загальне зміщення будь-якої точки розглядуваного тіла таке саме, як якби воно було одразу повернуте на деякий нескінченно малий кут відносно проміжної осі. Як знайти вісь і кут? Доведіть, що тверде тіло, яке зазнає одночасної дії кількох кутових швидкостей відносно різних осей, рухається так, ніби на нього діяла лише одна кутова швидкість, що дорівнює векторній сумі всіх складових швидкостей. (Кожну кутову швидкість слід розглядати як вектор довжини ω, спрямований уздовж осі обертання.)
20. 4. Система N частинок з масами m , координатами ri і швидкостями vi має момент кількості руху, що дорівнює
Зображення
Якщо ж розглядати систему координат, жорстко пов'язану з центром мас, то можна вважати, що система має момент кількості руху Lц.м. Нехай Rц.м. і vц.м. — це положення і швидкість центра мас, a M=i=1∑N mi—загальна маса всіх частинок. Покажіть, що
Зображення
Порівняйте результат з розв'язанням задачі 11.9 (стор. 36).
20.5. а) Будь-які три вектори А, В, С можна розглядати як такі, що визначають тверде тіло з шістьма попарно паралельними площинами, тобто паралелепіпед. Покажіть, що об'єм цього тіла дорівнює
20.5. а) Будь-які три вектори А, В, С можна розглядати як такі, що визначають тверде тіло з шістьма попарно паралельними площинами, тобто паралелепіпед. Покажіть, що об'єм цього тіла дорівнює
Зображення
б) Паралелепіпед, одна з вершин якого розташована в початку координат, має три сусідні вершини в точках (10, —5, 3), (3, —4, 7) і (—5, —6, 3). Використовується прямокутна система координат (x, y, z). Чому дорівнює об'єм паралелепіпеда?
20.6. Два однорідні однакові жорсткі стрижні АВ і АС скріплено в точці A (АС_АВ) і вони переміщуються по гладкому горизонтальному столу. У точці С перпендикулярно до АС наноситься горизонтальний удар. Знайдіть відношення швидкостей центрів мас стрижнів АВ і АС негайно після удару.20.7. Маховик, що має форму однорідної тонкої круглої пластинки маси 10,0 кг і радіуса 1,00 м, змонтовано на осі, яка проходить через центр мас і складає кут 1° з перпендикуляром, відновленим до площини маховика. Якщо останній обертається відносно цієї осі з кутовою швидкістю 25,0 рад/с, то чому дорівнює пара сил, прикладена до його підшипників?
20.8. Два тіла з однаковими масами m, скріплені жорстким стрижнем (який не має маси) на відстані 2r одне від одного, притягуються гравітаційно тілом маси M, розташованим на відстані R»r від центра стрижня. Стрижень складає кут θ з напрямком R. Знайдіть наближену величину пари сил, прикладеної до стрижня, відносно його центра.20.9. І Місяць, і Сонце в результаті дії на Землю утворюють пару сил, оскільки Земля трохи сплюснута. Яке тіло утворює більшу пару сил і приблизно в скільки разів? (Див. попередню задачу.)
20.10. Екваторіальний і полярний радіуси Землі дорівнюють 6378,388 і 6356,912 км відповідно. Густина ρ на різних глибинах D, відлічених від поверхні Землі, наведена нижче (зірочкою позначено розривність):
Зображення
Використовуючи ці значення, оцініть:
а) момент інерції Землі;
б) її обертальний момент кількості руху;
в) кінетичну енергію обертання.
20.11. 1) Симетричне тіло починає котитися (без ковзання) вниз по похилій площині з висоти h. Момент інерції тіла відносно власного центра мас дорівнює /, маса M, радіус поверхні кочення, що перебуває в контакті з похилою площиною, r. Визначте лінійну швидкість центра мас у нижній точці похилої площини.
2) Застосуйте одержаний вами загальний вираз для визначення швидкості центра мас тіла, якщо це тіло а) сфера; б) диск; в) диск маси М1 із зовнішнім радіусом R1 насаджений на вал маси т2 і радіуса r2.
20.12. Тонкий стрижень маси M і довжини L лежить на горизонтальній абсолютно гладкій поверхні. Маленький шматочок замазки такої самої маси, що має швидкість v, яка спрямована перпендикулярно до стрижня, вдаряється об один кінець стрижня і прилипає до нього, здійснюючи тим самим непружне зіткнення дуже малої тривалості.
а) Яка швидкість центра мас системи до і після зіткнення?
б) Чому дорівнює момент кількості руху системи відносно її центра мас безпосередньо перед зіткненням?
в) Чому дорівнює кутова швидкість (відносно центра мас) відразу після зіткнення? г) На скільки зменшується кінетична енергія системи під час зіткнення?
20.13.Якщо весь лід на Землі розтопити, то середній рівень світового океану підніметься приблизно на 61 м. Прийміть середню широту, де перебувають льоди, рівною 80°; нерегулярним розподілом водних мас океанів на Землі знехтуйте й розрахуйте, на скільки секунд збільшиться при цьому тривалість доби? Припускаємо, що Земля — сфера радіуса 6370 км з моментом інерції 8,11·1037 кгм2.
20.14.Однорідний стрижень довжини L і маси M спочиває на абсолютно гладкій горизонтальній поверхні. За дуже малий проміжок часу він одержує імпульс J=∫Fdt, прикладений у точці P (ОР=r).
а) Чому дорівнює швидкість центра мас O відразу після повідомлення імпульсу? Чому дорівнює кутова швидкість відносно точки О? Яка миттєва швидкість точки A на другому кінці стрижня?
б) Визначте відстань АР, для якої швидкість точки A дорівнювала б нулю відразу після удару?
До розділу 21. Гармонічний осцилятор
21.1. Тверде тіло маси M вільно насаджене на горизонтально розташовану вісь, яка проходить на відстані d від центра мас C. Момент інерції відносно осі обертання дорівнює / (тертя відсутнє) .
а) Напишіть диференціальне рівняння, яке описує зміну кута відхилення θ з часом (кут θ відлічуйте від рівноважного положення тіла).
б) Якщо тіло здійснює малі коливання, так що sin θ≈θ, то чому дорівнює період цих коливань?
21.2. У попередній задачі момент інерції твердого тіла відносно його центра мас дорівнює Ic. Знайдіть вираз для періоду малих коливань як функції d (і Ic) та покажіть:
а) що є два значення d: d1 і d2, які відповідають даному періоду;
б) що період дорівнює Т=2π((d1+d2)/g);
в) що період мінімальний, коли d=√c/M. Знайдіть це мінімальне значення періоду.
21.3. Лінійна пружина, перебуваючи у вільному стані, має довжину D, а коли на її кінці підвішено вантаж маси m, її довжина стає рівною D+A. На вантаж, що перебуває в спокої, з висоти A падає інший вантаж такої самої маси, який прилипає до першого. Знайдіть період і амплітуду коливань такої системи та максимальну висоту (над первісним положенням рівноваги), яку досягає система в результуючому русі.
21.4. Дві частинки A і B здійснюють гармонічний рух з однаковою амплітудою (10 см) по одній і тій самій прямій. Частоти їхніх рухів становлять ωA=20 с–1, ωB=21 с–1 відповідно. У момент часу t=0 обидві частинки проходять точку х=0 у додатному напрямку осі x (отже, вони перебувають «у фазі»).
а) На якій відстані вони перебуватимуть одна від одної в момент t=0,350 с? б) Яка швидкість частинки B відносно A в цей самий момент часу?
21.5. Каркас, зроблений із жорсткого дроту однорідного поперечного перерізу і сталої густини, складається з дуги півкола АСВ і діаметра АВ. Цей каркас прикріплюється за допомогою абсолютно гладкого штифта в точці P, що проходить через отвір у середній точці його діаметра, і приводиться в рух, як маятник. Якщо діаметр каркаса АВ дорівнює 50 см, то який період коливального руху такого каркаса?
21.6. На вертикальній пружині нехтовно малої маси підвішено пластину 20 г, на якій лежить вантажик 5 г. Якщо відтягнути пружину, то система почне коливатися з періодом π/3 с. Потім вантаж 5 г замінюється іншим з масою 25 г. Яким буде зміщення пластини при рівновазі?
21.7. Дві частинки з масами 3/4M і M з'єднано пружиною нехтовно малої маси; довжина пружини у вільному стані дорівнює L, пружна стала K. Спочатку маси спочивають на відстані L одна від одної на горизонтальному абсолютно гладкому столі. Третя частинка маси 1l4M, що рухається вздовж лінії, яка сполучає перші дві частинки, стикається і прилипає до частинки з масою 3/4М. Знайти амплітуду і період коливань системи.
21.8. Гравітаційна сила, яка діє на частинку, поміщену в твердій однорідній кулі, прямо пропорційна відстані від центра кулі. Якщо прийняти за таку кулю Землю і просвердлити крізь неї вздовж її діаметра, що сполучає полюси, отвір, то скільки часу знадобиться тілу, яке потрапило в цей отвір, щоб досягти поверхні з протилежного боку Землі? Опором повітря знехтувати.
21. 9. У початковому стані колонія бактерій росте зі швидкістю, пропорційною кількості наявних бактерій. Написати диференціальне рівняння, що виражає це співвідношення.
21.10. Точка підвісу математичного маятника, період власних коливань якого дорівнює 1 c, здійснює синусоїдальні коливання з амплітудою 1,00 см і періодом 1,10 с. Яка амплітуда усталених коливань маятника?
До розділу 22. Алгебра
Найзагальнішим видом числа, яке задовольняє правила елементарної алгебри, є комплексне число. Воно може бути записане у вигляді суми дійсного (речового) та уявного чисел
(Комплексне число) u = (Дійсне число) x + (Уявне число) iy,
i=√—1 називається уявною одиницею.
Будь-яке алгебраїчне рівняння має залишатися справедливим при зміні знака i. Така операція має назву комплексного спряження. Якщо u=x+iy, то комплексно спряжене число u* дорівнює x — iy.
Правила алгебри, застосовані до комплексних чисел, дають
а) момент інерції Землі;
б) її обертальний момент кількості руху;
в) кінетичну енергію обертання.
20.11. 1) Симетричне тіло починає котитися (без ковзання) вниз по похилій площині з висоти h. Момент інерції тіла відносно власного центра мас дорівнює /, маса M, радіус поверхні кочення, що перебуває в контакті з похилою площиною, r. Визначте лінійну швидкість центра мас у нижній точці похилої площини.
2) Застосуйте одержаний вами загальний вираз для визначення швидкості центра мас тіла, якщо це тіло а) сфера; б) диск; в) диск маси М1 із зовнішнім радіусом R1 насаджений на вал маси т2 і радіуса r2.
20.12. Тонкий стрижень маси M і довжини L лежить на горизонтальній абсолютно гладкій поверхні. Маленький шматочок замазки такої самої маси, що має швидкість v, яка спрямована перпендикулярно до стрижня, вдаряється об один кінець стрижня і прилипає до нього, здійснюючи тим самим непружне зіткнення дуже малої тривалості.а) Яка швидкість центра мас системи до і після зіткнення?
б) Чому дорівнює момент кількості руху системи відносно її центра мас безпосередньо перед зіткненням?
в) Чому дорівнює кутова швидкість (відносно центра мас) відразу після зіткнення? г) На скільки зменшується кінетична енергія системи під час зіткнення?
20.13.Якщо весь лід на Землі розтопити, то середній рівень світового океану підніметься приблизно на 61 м. Прийміть середню широту, де перебувають льоди, рівною 80°; нерегулярним розподілом водних мас океанів на Землі знехтуйте й розрахуйте, на скільки секунд збільшиться при цьому тривалість доби? Припускаємо, що Земля — сфера радіуса 6370 км з моментом інерції 8,11·1037 кгм2.
20.14.Однорідний стрижень довжини L і маси M спочиває на абсолютно гладкій горизонтальній поверхні. За дуже малий проміжок часу він одержує імпульс J=∫Fdt, прикладений у точці P (ОР=r).а) Чому дорівнює швидкість центра мас O відразу після повідомлення імпульсу? Чому дорівнює кутова швидкість відносно точки О? Яка миттєва швидкість точки A на другому кінці стрижня?
б) Визначте відстань АР, для якої швидкість точки A дорівнювала б нулю відразу після удару?
До розділу 21. Гармонічний осцилятор
21.1. Тверде тіло маси M вільно насаджене на горизонтально розташовану вісь, яка проходить на відстані d від центра мас C. Момент інерції відносно осі обертання дорівнює / (тертя відсутнє) .
а) Напишіть диференціальне рівняння, яке описує зміну кута відхилення θ з часом (кут θ відлічуйте від рівноважного положення тіла).
б) Якщо тіло здійснює малі коливання, так що sin θ≈θ, то чому дорівнює період цих коливань?
21.2. У попередній задачі момент інерції твердого тіла відносно його центра мас дорівнює Ic. Знайдіть вираз для періоду малих коливань як функції d (і Ic) та покажіть:
а) що є два значення d: d1 і d2, які відповідають даному періоду;
б) що період дорівнює Т=2π((d1+d2)/g);
в) що період мінімальний, коли d=√c/M. Знайдіть це мінімальне значення періоду.
21.3. Лінійна пружина, перебуваючи у вільному стані, має довжину D, а коли на її кінці підвішено вантаж маси m, її довжина стає рівною D+A. На вантаж, що перебуває в спокої, з висоти A падає інший вантаж такої самої маси, який прилипає до першого. Знайдіть період і амплітуду коливань такої системи та максимальну висоту (над первісним положенням рівноваги), яку досягає система в результуючому русі.
21.4. Дві частинки A і B здійснюють гармонічний рух з однаковою амплітудою (10 см) по одній і тій самій прямій. Частоти їхніх рухів становлять ωA=20 с–1, ωB=21 с–1 відповідно. У момент часу t=0 обидві частинки проходять точку х=0 у додатному напрямку осі x (отже, вони перебувають «у фазі»).
а) На якій відстані вони перебуватимуть одна від одної в момент t=0,350 с? б) Яка швидкість частинки B відносно A в цей самий момент часу?
21.5. Каркас, зроблений із жорсткого дроту однорідного поперечного перерізу і сталої густини, складається з дуги півкола АСВ і діаметра АВ. Цей каркас прикріплюється за допомогою абсолютно гладкого штифта в точці P, що проходить через отвір у середній точці його діаметра, і приводиться в рух, як маятник. Якщо діаметр каркаса АВ дорівнює 50 см, то який період коливального руху такого каркаса?21.6. На вертикальній пружині нехтовно малої маси підвішено пластину 20 г, на якій лежить вантажик 5 г. Якщо відтягнути пружину, то система почне коливатися з періодом π/3 с. Потім вантаж 5 г замінюється іншим з масою 25 г. Яким буде зміщення пластини при рівновазі?
21.7. Дві частинки з масами 3/4M і M з'єднано пружиною нехтовно малої маси; довжина пружини у вільному стані дорівнює L, пружна стала K. Спочатку маси спочивають на відстані L одна від одної на горизонтальному абсолютно гладкому столі. Третя частинка маси 1l4M, що рухається вздовж лінії, яка сполучає перші дві частинки, стикається і прилипає до частинки з масою 3/4М. Знайти амплітуду і період коливань системи.
21.8. Гравітаційна сила, яка діє на частинку, поміщену в твердій однорідній кулі, прямо пропорційна відстані від центра кулі. Якщо прийняти за таку кулю Землю і просвердлити крізь неї вздовж її діаметра, що сполучає полюси, отвір, то скільки часу знадобиться тілу, яке потрапило в цей отвір, щоб досягти поверхні з протилежного боку Землі? Опором повітря знехтувати.
21. 9. У початковому стані колонія бактерій росте зі швидкістю, пропорційною кількості наявних бактерій. Написати диференціальне рівняння, що виражає це співвідношення.
21.10. Точка підвісу математичного маятника, період власних коливань якого дорівнює 1 c, здійснює синусоїдальні коливання з амплітудою 1,00 см і періодом 1,10 с. Яка амплітуда усталених коливань маятника?
До розділу 22. Алгебра
Найзагальнішим видом числа, яке задовольняє правила елементарної алгебри, є комплексне число. Воно може бути записане у вигляді суми дійсного (речового) та уявного чисел
(Комплексне число) u = (Дійсне число) x + (Уявне число) iy,
i=√—1 називається уявною одиницею.
Будь-яке алгебраїчне рівняння має залишатися справедливим при зміні знака i. Така операція має назву комплексного спряження. Якщо u=x+iy, то комплексно спряжене число u* дорівнює x — iy.
Правила алгебри, застосовані до комплексних чисел, дають
Зображення
Величина |и|=√ии*=√х2+у2 називається модулем числа u. Дійсне число, піднесене до уявного степеня, стає комплексним числом з амплітудою, що дорівнює одиниці. Дійсна й уявна частини комплексного числа осцилюють подібно до синуса й косинуса, коли величина уявного степеня змінюється. Зокрема,
Зображення
22.1. У рівності u+iv=(a+ib)(c+id) покладемо
Зображення
Використовуючи формулу (22.4) «Лекцій» (вип. 2, стор. 118) та формули тригонометрії, покажіть, що
Зображення
22.2. Розв'яжіть попередню задачу, використовуючи наведену вище формулу (А).
22.3. Покажіть, що
22.3. Покажіть, що
Зображення
22.4. Покажіть, що
Зображення
22.5. Функції chθ і sh θ, що визначаються рівностями
Зображення
називаються гіперболічним косинусом і гіперболічним синусом кута θ. Покажіть, що
Зображення
22.6 Використовуючи основну формулу диференціювання
Зображення
22.7. а) Послідовним диференціюванням або якимось іншим способом покажіть, що функцію еx можна подати у вигляді такого нескінченного ряду:
Зображення
б) Покажіть, що функції cos x і sin x можна подати такими нескінченними рядами:
Зображення
(Ці ряди часто застосовуються під час обчислення функцій еx, cos x, sinx для значень x«1, хоча вони збігаються за будь-яких x.)
22.8. Знайдіть повний алгебраїчний розв'язок рівняння
22.8. Знайдіть повний алгебраїчний розв'язок рівняння
Зображення
де n — ціле число.
22.9. Використовуючи властивості функції einθ і біноміальну теорему, покажіть, що
22.9. Використовуючи властивості функції einθ і біноміальну теорему, покажіть, що
Зображення
22.10. а) Скориставшись співвідношенням еi(θ+φ)=еiθ·еiφ, виведіть тригонометричні формули косинуса й синуса суми двох кутів.
б) Дайте геометричну інтерпретацію результату множення одного комплексного числа Aеiθ на інше комплексне число Beiφ.
22.11. Використовуючи таблицю послідовних значень коренів r-го степеня з 11, знайдіть log112, log117:
б) Дайте геометричну інтерпретацію результату множення одного комплексного числа Aеiθ на інше комплексне число Beiφ.
22.11. Використовуючи таблицю послідовних значень коренів r-го степеня з 11, знайдіть log112, log117:
Зображення
Перевірте свій результат за допомогою тотожності
logaN = logab·logbN,
де a і b — будь-які два значення основи логарифмів.
До розділу 23. Резонанс
23.1. Складіть і розв'яжіть диференціальне рівняння, що описує поведінку струму, коли він протікає:
а) через індуктивність L,
б) через ємність С,
якщо до них прикладено синусоїдну напругу частоти ω.
Знайдіть комплексний імпеданс зазначених вище кіл.
23.2. Знайдіть залежність імпедансу (повного опору) Z від частоти ω для кола, яке складається з індуктивності L і ємності С, якщо вони з'єднані:
а) послідовно,
б) паралельно.
Якісно обговоріть отримані результати.
23.3. а) Покажіть, що диференціальне рівняння, яке описує рух прикріпленого до пружини з пружною сталою k тіла масою m, на яке діє сила тертя — mγv, має вигляд
logaN = logab·logbN,
де a і b — будь-які два значення основи логарифмів.
До розділу 23. Резонанс
23.1. Складіть і розв'яжіть диференціальне рівняння, що описує поведінку струму, коли він протікає:
а) через індуктивність L,
б) через ємність С,
якщо до них прикладено синусоїдну напругу частоти ω.
Знайдіть комплексний імпеданс зазначених вище кіл.
23.2. Знайдіть залежність імпедансу (повного опору) Z від частоти ω для кола, яке складається з індуктивності L і ємності С, якщо вони з'єднані:
а) послідовно,
б) паралельно.
Якісно обговоріть отримані результати.
23.3. а) Покажіть, що диференціальне рівняння, яке описує рух прикріпленого до пружини з пружною сталою k тіла масою m, на яке діє сила тертя — mγv, має вигляд
Зображення
б) Знайдіть розв'язок цього рівняння (використовуйте комплексну форму запису!), припускаючи, що він має вигляд x=eat, а потім покажіть, що загальний розв'язок дається виразом
Зображення
в) Як зміниться вигляд знайденого розв'язку, якщо γ>2ω0?
23.4. У момент часу t=0 положення і швидкість тіла масою m (див. попередню задачу) дорівнюють х=х0, x=v0. Знайдіть A і B.
23.5. Часто потрібно, щоб в електричному колі була синусоїдна напруга сталої амплітуди, але змінної фази. Електрична схема, за допомогою якої можна здійснити цю вимогу, називається колом з фазовим зсувом. Один із прикладів такого кола показано на рисунку. Доведіть, що амплітуда напруги між точками A і B становить половину амплітуди вхідної напруги, а фаза може змінюватися в межах від 0 до 180° при зміні R′.
23.6. На вході кіл A і B (див. рисунок) міститься джерело з напругою Vвх=V0cos ωt. Припустимо, що струм, який протікає через клеми на виході кіл, настільки малий, що ним можна знехтувати.
а) Знайдіть співвідношення, яке має існувати між R, C, R′ і L, щоб вихідні напруги обох кіл VA(t) і VB(t) були
рівні.
б) Знайдіть постійні струми IA(t) і IB(t)
До розділу 24. Перехідні розв'язки
24.1. Тіло на повітряній подушці під час руху втрачає свою швидкість головним чином через в'язкість у тонкому повітряному шарі під ним, причому сила гальмування пропорційна швидкості. Складіть і розв'яжіть диференціальне рівняння плоского руху тіла. Як його швидкість змінюється:
а) з часом?
б) з відстанню?
24.2. Пластини конденсатора ємністю С, спочатку зарядженого до напруги V0, у момент часу t=0 з'єднуються через опір R. Складіть диференціальне рівняння для V як функції t. Розв'яжіть це рівняння, припускаючи, що існує експоненціальний розв'язок.
24.3. Тіло на повітряній подушці містить у собі магніт. Цей магніт під час руху тіла генерує кругові струми, магнітні поля яких діють на магніт, унаслідок чого виникає уповільнювальна сила, пропорційна швидкості. Знайдіть (залежно від коефіцієнта гальмування γ):
а) кінцеву швидкість, яку досягає тіло;
б) швидкість тіла залежно від часу;
в) його положення залежно від часу, якщо воно починає рухатися зі стану спокою.
24.4. Конденсатор ємністю C і котушка з індуктивністю L з'єднані так, як показано на рисунку. Конденсатор спочатку заряджений до напруги V0, а ключ S розімкнутий. У момент часу t=0 він замикається.
а) Знайдіть напругу на конденсаторі залежно від часу.
б) Розрахуйте залежність від часу величин СV2/2 і LI2/2. Який, на вашу думку, фізичний зміст цих величин?
24.5. У електричному колі, показаному на рисунку, ключ S спочатку замкнутий. По колу протікає постійний струм I=V0/R. У момент часу t=0 ключ раптово розмикає коло. Знайдіть максимальну напругу на конденсаторі.
24.6. Знайдено, що тіло масою 5,0 кг коливається із загасанням, яким можна знехтувати. Підвішене на пружині тіло здійснює 10 повних коливань за 10,0 c, потім вмикається маленький магнітний уповільнювач руху, і виникає загасання, пропорційне швидкості руху. У результаті амплітуда коливань зменшується за 10 повних циклів від 0,2 до 0,1 м.
а) Складіть рівняння руху тіла, причому коефіцієнти перед членами d2x/dt2, dx/dt і x виразіть у числовому вигляді, скориставшись системою одиниць MKS.
б) Чому дорівнює новий період коливань тіла?
в) За скільки коливань (починаючи з циклу з амплітудою 0,2 м) амплітуда зменшується до 0,05 м? До 0,02 м?
г) Чому дорівнює максимальна швидкість дисипації енергії протягом першого коливання?
24.7. Гармонічний осцилятор із загасанням являє собою кульку масою m, підвішену на пружині з пружною сталою k; він перебуває у в'язкому середовищі, унаслідок взаємодії з яким виникає сила загасання, що дорівнює —mγ (dx/dt).
1) Для випадку руху із загасанням знайдіть розв'язки x=x(t) для t≥0, якщо на кульку діє сила:
23.4. У момент часу t=0 положення і швидкість тіла масою m (див. попередню задачу) дорівнюють х=х0, x=v0. Знайдіть A і B.
23.5. Часто потрібно, щоб в електричному колі була синусоїдна напруга сталої амплітуди, але змінної фази. Електрична схема, за допомогою якої можна здійснити цю вимогу, називається колом з фазовим зсувом. Один із прикладів такого кола показано на рисунку. Доведіть, що амплітуда напруги між точками A і B становить половину амплітуди вхідної напруги, а фаза може змінюватися в межах від 0 до 180° при зміні R′.23.6. На вході кіл A і B (див. рисунок) міститься джерело з напругою Vвх=V0cos ωt. Припустимо, що струм, який протікає через клеми на виході кіл, настільки малий, що ним можна знехтувати.а) Знайдіть співвідношення, яке має існувати між R, C, R′ і L, щоб вихідні напруги обох кіл VA(t) і VB(t) були
рівні.
б) Знайдіть постійні струми IA(t) і IB(t)
До розділу 24. Перехідні розв'язки
24.1. Тіло на повітряній подушці під час руху втрачає свою швидкість головним чином через в'язкість у тонкому повітряному шарі під ним, причому сила гальмування пропорційна швидкості. Складіть і розв'яжіть диференціальне рівняння плоского руху тіла. Як його швидкість змінюється:
а) з часом?
б) з відстанню?
24.2. Пластини конденсатора ємністю С, спочатку зарядженого до напруги V0, у момент часу t=0 з'єднуються через опір R. Складіть диференціальне рівняння для V як функції t. Розв'яжіть це рівняння, припускаючи, що існує експоненціальний розв'язок.
24.3. Тіло на повітряній подушці містить у собі магніт. Цей магніт під час руху тіла генерує кругові струми, магнітні поля яких діють на магніт, унаслідок чого виникає уповільнювальна сила, пропорційна швидкості. Знайдіть (залежно від коефіцієнта гальмування γ):
а) кінцеву швидкість, яку досягає тіло;
б) швидкість тіла залежно від часу;
в) його положення залежно від часу, якщо воно починає рухатися зі стану спокою.
24.4. Конденсатор ємністю C і котушка з індуктивністю L з'єднані так, як показано на рисунку. Конденсатор спочатку заряджений до напруги V0, а ключ S розімкнутий. У момент часу t=0 він замикається.а) Знайдіть напругу на конденсаторі залежно від часу.
б) Розрахуйте залежність від часу величин СV2/2 і LI2/2. Який, на вашу думку, фізичний зміст цих величин?
24.5. У електричному колі, показаному на рисунку, ключ S спочатку замкнутий. По колу протікає постійний струм I=V0/R. У момент часу t=0 ключ раптово розмикає коло. Знайдіть максимальну напругу на конденсаторі.24.6. Знайдено, що тіло масою 5,0 кг коливається із загасанням, яким можна знехтувати. Підвішене на пружині тіло здійснює 10 повних коливань за 10,0 c, потім вмикається маленький магнітний уповільнювач руху, і виникає загасання, пропорційне швидкості руху. У результаті амплітуда коливань зменшується за 10 повних циклів від 0,2 до 0,1 м.
а) Складіть рівняння руху тіла, причому коефіцієнти перед членами d2x/dt2, dx/dt і x виразіть у числовому вигляді, скориставшись системою одиниць MKS.
б) Чому дорівнює новий період коливань тіла?
в) За скільки коливань (починаючи з циклу з амплітудою 0,2 м) амплітуда зменшується до 0,05 м? До 0,02 м?
г) Чому дорівнює максимальна швидкість дисипації енергії протягом першого коливання?
24.7. Гармонічний осцилятор із загасанням являє собою кульку масою m, підвішену на пружині з пружною сталою k; він перебуває у в'язкому середовищі, унаслідок взаємодії з яким виникає сила загасання, що дорівнює —mγ (dx/dt).
1) Для випадку руху із загасанням знайдіть розв'язки x=x(t) для t≥0, якщо на кульку діє сила:
Зображення
б) сила відсутня, але в момент часу t=0 кульці надається імпульс р=рx:
Зображення
2) Якщо на осцилятор діє сила F=F0cos ωt і розглядаються досить великі проміжки часу, то чому дорівнює частота ω*, за якої амплітуда коливань досягає максимального значення?
Примітка. Пам'ятайте, що повний розв'язок містить два члени, які описують як стаціонарний, так і перехідний рух, і що початкові умови повністю визначають сталі інтегрування.
До розділу 25. Лінійні системи
25.1. Щоб зменшити коливання напруги, знятої з випрямного пристрою, використовується так званий «згладжувальний» фільтр. У найпростішій формі він складається з опору (r= 103ом), з'єднаного з конденсатором (С= 10мкф) так, як показано на рисунку. Знайдіть напругу на виході конденсатора, якщо вхідна напруга має постійну складову V0 і змінну складову з циклічною частотою 120 с–1 і амплітудою V2.
25.2. У багатьох випадках бажано мати електричне коло, яке «диференціює» функцію, що описує подану на його вхід напругу за часом. Просте коло, яке задовольняє цю вимогу, зображено на рисунку. Покажіть, що вихідна напруга в такому колі (якщо знехтувати струмом, що протікає на виході) дорівнює
Примітка. Пам'ятайте, що повний розв'язок містить два члени, які описують як стаціонарний, так і перехідний рух, і що початкові умови повністю визначають сталі інтегрування.
До розділу 25. Лінійні системи
25.1. Щоб зменшити коливання напруги, знятої з випрямного пристрою, використовується так званий «згладжувальний» фільтр. У найпростішій формі він складається з опору (r= 103ом), з'єднаного з конденсатором (С= 10мкф) так, як показано на рисунку. Знайдіть напругу на виході конденсатора, якщо вхідна напруга має постійну складову V0 і змінну складову з циклічною частотою 120 с–1 і амплітудою V2.25.2. У багатьох випадках бажано мати електричне коло, яке «диференціює» функцію, що описує подану на його вхід напругу за часом. Просте коло, яке задовольняє цю вимогу, зображено на рисунку. Покажіть, що вихідна напруга в такому колі (якщо знехтувати струмом, що протікає на виході) дорівнюєЗображення
25.3. Знайдіть Vвих у колі, зображеному на рисунку до попередньої задачі, для випадку, коли Vвх=V0cosωt, і перевірте ще раз правильність результату, отриманого вище.
25.4. Придумайте просте коло, яке «інтегрувало» б вхідну функцію, і обговоріть його властивості.
25.5. Тіло масою m, прикріплене двома однаковими горизонтальними пружинами з пружними сталими k/2, ковзає по поверхні стола. Припускається, що коефіцієнт тертя постійний. Тіло відтягується вбік на відстань A вправо від центральної точки і потім відпускається,
а) Складіть диференціальне рівняння руху тіла і розв'яжіть його для часового інтервалу
25.4. Придумайте просте коло, яке «інтегрувало» б вхідну функцію, і обговоріть його властивості.
25.5. Тіло масою m, прикріплене двома однаковими горизонтальними пружинами з пружними сталими k/2, ковзає по поверхні стола. Припускається, що коефіцієнт тертя постійний. Тіло відтягується вбік на відстань A вправо від центральної точки і потім відпускається,а) Складіть диференціальне рівняння руху тіла і розв'яжіть його для часового інтервалу
Зображення
б) Якою має бути відстань A, щоб розмах коливання тіла залишався більшим за відстань B від центра після перетину точки x=0 ціле число (0, 1, 2 . . .) разів?