Вихрові лінії

Ми вже виписували загальні рівняння потоку нестисливої рідини за наявності завихреності:

Фізичний зміст цих рівнянь був словесно описаний Гельмгольцем у трьох теоремах. Перш за все уявіть собі, що ми замість ліній потоку намалювали вихрові лінії. Під вихровими лініями ми маємо на увазі лінії поля, які мають напрямок вектора Ω, а густина їх у будь-якій області пропорційна величині Ω. З рівняння (II) дивергенція Ω завжди дорівнює нулю [згадайте розд.3,§ 7(вип.5): дивергенція ротора завжди нуль]. Таким чином, вихрові лінії подібні до ліній поля В: вони ніде не закінчуються і ніде не починаються і завжди прагнуть замкнутися. Формулу (III) Гельмгольц описав словами: вихрові лінії рухаються разом із рідиною. Це означає, що якби ви позначили частинки рідини, розташовані на деякій вихровій лінії, наприклад пофарбувавши їх чорнилом, то в процесі руху рідини й перенесення цих частинок вони завжди відзначали б нове положення вихрової лінії. Яким би чином не рухалися атоми рідини, вихрові лінії рухаються разом із ними. Це один зі способів опису законів. Він також містить і метод розв'язання будь-яких задач. Задавшись початковим виглядом потоку, скажімо задавши всюди v, ви можете обчислити Ω. Знаючи v, можна також сказати, де будуть вихрові лінії трохи пізніше: вони рухаються зі швидкістю v. А з новим значенням Ω можна скористатися рівняннями (I) і (II) та знайти нову величину v. (Точно як у задачі про знаходження поля В за даними струмами.) Якщо нам заданий вигляд потоку в якийсь один момент, то в принципі ми можемо обчислити його в усі наступні моменти. Ми отримуємо загальний розв'язок нев'язкого потоку.
 
Мені хотілося б показати вам, як (принаймні частково) можна зрозуміти твердження Гельмгольца, а отже, формулу (III). Фактично це просто закон збереження моменту імпульсу, застосований до рідини. Уявіть собі маленький рідкий циліндр, вісь якого паралельна вихровим лініям (фіг. 40.13,а). Через деякий час той же самий об'єм рідини перебуватиме десь в іншому місці. Взагалі кажучи, він матиме форму циліндра з іншим діаметром і перебуватиме в іншому місці. Він може ще мати іншу орієнтацію (фіг. 40.13,б). Але якщо змінюється діаметр, то довжина теж має змінитися так, щоб об'єм залишився сталим (оскільки ми вважаємо рідину нестисливою). Крім того, оскільки вихрові лінії пов'язані з речовиною, їхня густина збільшується обернено пропорційно зменшенню площі поперечного перерізу циліндра. Добуток Ω на площу циліндра A залишатиметься сталим, так що відповідно до Гельмгольца

Тепер зверніть увагу, що за нульової в'язкості всі сили на поверхні циліндричного об'єму (або будь-якого об'єму в цій речовині) перпендикулярні до поверхні. Сили тиску можуть змусити його змінити форму, але без тангенціальних сил величина моменту кількості руху рідини всередині змінитися не може. Момент кількості руху рідини всередині маленького циліндра дорівнює добутку його моменту інерції I на кутову швидкість рідини, яка пропорційна завихреності Ω. Момент же інерції циліндра пропорційний mr². Тому із збереження моменту кількості руху ми б зробили висновок, що

Але маса буде однією й тією самою (M₁=M₂), а площа пропорційна R², так що ми знову отримаємо просто рівняння (40.21). Твердження Гельмгольца, яке еквівалентне формулі (III), є просто наслідком того факту, що за відсутності в'язкості момент кількості руху елемента рідини змінитися не може.
 
Є хороший спосіб продемонструвати рухомий вихор за допомогою апаратури, показаної на фіг. 40.14. Це «барабан» діаметром і довжиною близько 60 см, що складається з циліндричної коробки з натягнутим на її відкриту основу товстим гумовим листом. Барабан стоїть на боці, а в центрі його твердого дна вирізано отвір діаметром близько 8 см. Якщо різко вдарити по гумовій діафрагмі рукою, то з отвору вилітає кільцевий вихор. Хоча цей вихор побачити не можна, можна сміливо стверджувати, що він існує, оскільки він гасить полум'я свічки, що стоїть за 3—6 м від барабана. За запізненням цього ефекту ви можете сказати, що «щось» поширюється зі скінченною швидкістю. Краще розгледіти те, що вилітає, можна, попередньо напустивши в барабан диму. Тоді ви побачите вихори у вигляді дивовижно красивих кілець  «тютюнового  диму».
Кільця диму (фіг. 40.15,а) — це просто бублик із вихрових ліній. Оскільки Ω=∇×v, то ці вихрові лінії описують також циркуляцію v (фіг. 40.15,б). Щоб пояснити, чому кільце рухається вперед (тобто в напрямку, що утворює з напрямком Ω правий гвинт), можна міркувати так: швидкість циркуляції збільшується до внутрішньої поверхні кільця, причому швидкість усередині кільця спрямована вперед. Оскільки лінії Ω переносяться разом із рідиною, то й вони рухаються вперед зі швидкістю v. (Звичайно, більша швидкість на внутрішній частині кільця відповідальна за рух вперед вихрових ліній на його зовнішній частині.)
 
Тут необхідно вказати на одну серйозну складність. Як ми вже зазначали, рівняння (40.9) каже, що якщо спочатку завихреність Ω дорівнювала нулю, то вона завжди залишиться рівною нулю. Цей результат — крах теорії «сухої» води, бо він означає, що якщо в якийсь момент значення Ω дорівнює нулю, то воно завжди дорівнюватиме нулю, і за жодних обставин створити завихреність не можна. Однак у нашому простому досліді з барабаном ми могли породити вихрові кільця в повітрі, яке до того перебувало в спокої. (Ясно, що поки ми не вдарили по барабану, всередині нього v = 0 і Ω = 0.) Усі знають, що, загрібаючи веслом, можна створити у воді вихори. Безсумнівно, для повного розуміння поведінки рідини слід перейти до теорії «мокрої» води.
 
Іншим невірним твердженням у теорії «сухої» води є припущення, яке ми робили під час розгляду потоку на межі між ним і поверхнею твердого предмета. Коли ми обговорювали обтікання потоком циліндра (наприклад, фіг. 40.11), то вважали, що рідина ковзає по поверхні твердого тіла. У нашій теорії швидкість на поверхні твердого тіла могла мати будь-яке значення, залежне від того, як почався рух, і ми не враховували жодного «тертя» між рідиною і твердим тілом. Однак те, що швидкість реальної рідини повинна на поверхні твердого тіла сходити на нуль,— експериментальний факт. Отже, наші розв'язки для циліндра і з циркуляцією, і без неї неправильні, як і результат про створення вихору. Про правильніші теорії я розповім вам у наступному розділі.