Больцмана статистика, статистичний метод опису фізичних властивостей систем, що містять велике число невзаємодіючих частинок, які рухаються за законами класичної механіки (тобто властивостей класичного ідеального газу). Створена австрійським фізиком Л. Больцманом у 1868—71.
У Больцмана статистиці розглядається розподіл частинок ідеального газу за імпульсами і координатами, але не у фазовому просторі всіх частинок, як у статистичній механіці Гіббса (див. Гіббса розподіл), а у фазовому просторі координат і імпульсів однієї частинки (для газу однакових невзаємодіючих частинок функцію розподілу можна подати у вигляді добутку ‘одночастинкових’ функцій розподілу). Згідно з Больцмана статистикою, фазовий простір розбивається на безліч малих комірок об'ємом Gi, причому кожна комірка повинна містити досить велике число частинок Ni (з енергією Εi). Фіксований розподіл частинок за цими комірками визначає мікроскопічний стан газу. Макроскопічний стан газу повністю характеризується набором чисел Ni. Значення Gi відповідає максимально можливому числу мікроскопічних станів у комірці i. Для підрахунку числа можливих способів здійснення даного макроскопічного стану об'єм комірки фазового простору повинен бути фіксований (у цьому разі сукупність мікроскопічних станів — зліченна множина). До створення квантової механіки одиниця фазового об'єму вибиралася довільно. З відкриттям співвідношення квантовомеханічних невизначеностей з'ясувалося, що одиницю об'єму фазового простору, що має шість вимірів (три координати і три проекції імпульсу частинки), не можна вибрати меншою за h3. Таким чином, сучасна Больцмана статистика використовує принципи квантової механіки, і одержуваний на основі Больцмана статистики розподіл частинок є окремим випадком квантових статистик (коли через малу густину газу можна знехтувати квантовими ефектами).
У Больцмана статистиці передбачається, що частинки розподіляються за різними станами незалежно одна від одної і що вони розрізнювані між собою. Число різних можливих мікроскопічних станів, що відповідають заданому макроскопічному стану газу, називається статистичною вагою стану. Статистична вага визначається числом різних способів, якими можна розподілити N=ΣiNi частинок за комірками розміром Gi по Ni частинок у кожній комірці, і дорівнює:
ΩB = N!ПiGiNi/Ni!. (1)
Тут перестановки частинок у межах кожної комірки розглядаються як різні стани. При підрахунку статистичної ваги Ω треба, однак, враховувати, що перестановки тотожних частинок не змінюють стану, і тому ΩB слід зменшити в N! разів, так що
Ω=Пi(GiNi/Ni!). (2)
Це правило підрахунку станів, засноване на квантовомеханічному принципі нерозрізнюваності тотожних частинок, лежить в основі сучасної Больцмана статистики. Тільки при такому визначенні статистичної ваги можливо визначити ентропію S (в од. k) як величину, пропорційну логарифму статистичної ваги:
S≈lnΩ. (3)
Формула (3) була отримана американським фізиком Дж. Гіббсом ще до створення квантової механіки. Він показав, що присутність множника N у (1) призводить до появи у виразі для ентропії (3) доданка N lnN, що не має фізичного сенсу, оскільки ентропія повинна бути пропорційна N (адитивна). Усі мікроскопічні стани, що відповідають даному макроскопічному стану, рівноймовірні, тому ймовірність макроскопічного стану пропорційна статистичній вазі Ω. У статистичній рівновазі ентропія максимальна за заданих енергії і числа частинок, що відповідає найімовірнішому розподілу (Больцмана розподілу) . Для отримання розподілу Больцмана у явному вигляді потрібно знайти абсолютний екстремум функції ΣiNiln(Gi/Ni)-βΣiЕiNi-λΣiNi (β і λ — множники, що визначаються з умов сталості числа частинок газу N=ΣiN і його повної енергії Е=ΣiЕiNi) і скористатися формулою Стірлінга lnNi=Ni/(lnNi-1) при Ni->1. Для середніх чисел заповнення i-того стану з енергією Еi розподіл Больцмана має вигляд:
ni=Ni/Gi=exp[(μ-Ei)/kT], (4)
де μ — хімічний потенціал, що визначається з умови ΣiNi=N. Больцмана статистика застосовна до розріджених молекулярних газів і до плазми в газовому розряді. Для щільних газів, коли істотна взаємодія між частинками, слід користуватися розподілом Гіббса.
ΩB = N!ПiGiNi/Ni!. (1)
Тут перестановки частинок у межах кожної комірки розглядаються як різні стани. При підрахунку статистичної ваги Ω треба, однак, враховувати, що перестановки тотожних частинок не змінюють стану, і тому ΩB слід зменшити в N! разів, так що
Ω=Пi(GiNi/Ni!). (2)
Це правило підрахунку станів, засноване на квантовомеханічному принципі нерозрізнюваності тотожних частинок, лежить в основі сучасної Больцмана статистики. Тільки при такому визначенні статистичної ваги можливо визначити ентропію S (в од. k) як величину, пропорційну логарифму статистичної ваги:
S≈lnΩ. (3)
Формула (3) була отримана американським фізиком Дж. Гіббсом ще до створення квантової механіки. Він показав, що присутність множника N у (1) призводить до появи у виразі для ентропії (3) доданка N lnN, що не має фізичного сенсу, оскільки ентропія повинна бути пропорційна N (адитивна). Усі мікроскопічні стани, що відповідають даному макроскопічному стану, рівноймовірні, тому ймовірність макроскопічного стану пропорційна статистичній вазі Ω. У статистичній рівновазі ентропія максимальна за заданих енергії і числа частинок, що відповідає найімовірнішому розподілу (Больцмана розподілу) . Для отримання розподілу Больцмана у явному вигляді потрібно знайти абсолютний екстремум функції ΣiNiln(Gi/Ni)-βΣiЕiNi-λΣiNi (β і λ — множники, що визначаються з умов сталості числа частинок газу N=ΣiN і його повної енергії Е=ΣiЕiNi) і скористатися формулою Стірлінга lnNi=Ni/(lnNi-1) при Ni->1. Для середніх чисел заповнення i-того стану з енергією Еi розподіл Больцмана має вигляд:
ni=Ni/Gi=exp[(μ-Ei)/kT], (4)
де μ — хімічний потенціал, що визначається з умови ΣiNi=N. Больцмана статистика застосовна до розріджених молекулярних газів і до плазми в газовому розряді. Для щільних газів, коли істотна взаємодія між частинками, слід користуватися розподілом Гіббса.