Тиск газу

Кожен знає, що газ чинить тиск. Але чому? У цьому треба розібратися як слід. Якби наші вуха були набагато чутливіші, ніж вони є насправді, ми б весь час чули страшний шум. Але природа подбала, щоб наші вуха не були настільки сприйнятливі, адже вони виявилися б для нас цілком марними — у них постійно стояв би дикий гул, схожий на шум ракети, що стартує. Річ у тім, що барабанні перетинки наших вух стикаються з повітрям, а повітря складається з великої кількості безладно рухомих молекул, які, вдаряючись об барабанні перетинки, створюють такий шум, наче водночас дуже багато барабанщиків вибивають безладну дріб — бум, бум, бум... Однак ми не чуємо цих звуків, бо атоми дуже малі, а наші вуха недостатньо чутливі. Безладні удари молекул мали б, власне, продавити барабанну перетинку, але її невпинно бомбардують і з внутрішнього боку, і внаслідок цього повна сила, що діє на перетинку, виявляється рівною нулю. Якби відкачати повітря з одного боку або хоча б зробити різною його відносну кількість з обох боків, то перетинка продавилася б у той чи інший бік, бо бомбардування з одного боку виявилося б набагато сильнішим. Ми іноді відчуваємо це неприємне відчуття, коли дуже швидко піднімаємося в ліфті або на літаку, а найгірше, якщо ми при цьому ще й застуджені (у цьому разі розпухла слизова оболонка закриває канали, що з'єднують через носоглотку внутрішню порожнину вуха із зовнішнім простором, і таким чином обидва тиски не можуть швидко зрівнятися.) Щоб проаналізувати це явище кількісно, припустімо, що газ міститься в ящику, одна стінка якого являє собою поршень, здатний рухатися (фіг. 39.1). Знайдемо силу, з якою діють на поршень атоми, що містяться всередині ящика. Об поршень вдаряються атоми, що рухаються всередині об'єму V з усілякими швидкостями. Припустімо, що поза ящиком немає нічого — суцільний вакуум. Що ж станеться? Якщо надати поршень самому собі й не притримувати його, то з кожним ударом молекули він набуватиме невеликого імпульсу і поступово буде виштовхнутий зовсім із ящика. Щоб утримати його в ящику, доведеться прикласти силу F. Якою має бути ця сила? Говорячи про силу, ми відноситимемо її до одиниці площі: якщо площа поршня дорівнює А, то сила, яка діє на нього, буде пропорційна площі. Визначимо тиск як величину, що дорівнює відношенню прикладеної до поршня сили до площі поршня:

Щоб краще зрозуміти, навіщо це робиться, підрахуємо нескінченно малу роботу dW, яку треба витратити, щоб протовкнути поршень на нескінченно малу відстань —dx (пізніше це знадобиться нам і для інших цілей); ця робота дорівнює добутку сили на відстань, або, згідно з (39.1), добутку тиску, площі поршня та відстані. Усе це дорівнює добутку тиску на зміну об'єму, взяту з протилежним знаком:

(Добуток площі А на зміну висоти dx дорівнює зміні об'єму.) Знак мінус у цьому виразі виникає через те, що при стисненні об'єм зменшується; якщо взяти це до уваги, то ми отримаємо правильний результат: щоб стиснути газ, треба витратити роботу. Отже, з якою силою треба тиснути на поршень, щоб урівноважити удари молекул? При кожному ударі поршню передається якийсь імпульс. Щосекунди поршень отримує певний імпульс і починає рухатися. Щоб запобігти цьому, прикладена нами сила за секунду має передати поршню точно такий самий імпульс. Таким чином, сила дорівнює імпульсу, переданому поршню за 1 с. Можна сказати про це й інакше: якщо надати поршень самому собі, то він за рахунок бомбардування набере швидкості і з кожним ударом підштовхуватиметься й рухатиметься з прискоренням. Швидкість зміни швидкості поршня, або прискорення, пропорційна діючій силі. Таким чином, сила, яку ми визначили як добуток тиску на площу, дорівнює імпульсу, переданому поршню за 1 с усіма молекулами всередині ящика. Підрахувати імпульс, переданий поршню за 1 с, легко; ми зробимо це у два етапи: спочатку визначимо імпульс, переданий одним атомом при зіткненні з поршнем, а потім помножимо цю величину на число зіткнень атомів з поршнем за 1 с. Сила і буде добутком цих двох величин. Тепер займемося цими величинами: припустімо спочатку, що поршень — це ідеальний «відбивач» атомів. Якщо це не так, то вся наша теорія розвалиться — поршень почне нагріватися і станеться багато всіляких подій, передбачити які ми не в змозі. Однак, коли знову встановиться рівновага, у результаті виявиться, що кожне зіткнення буде ефективно пружним. У середньому енергія частинок, що прилітають і відлітають, не змінюється. Таким чином, припустімо, що газ перебуває в рівновазі і поршень, будучи нерухомим, енергії не поглинає. У цьому разі частинка, що підлетіла до поршня з певною швидкістю, відлетить від нього з тією самою швидкістю, причому маса частинки не зміниться. Якщо v є швидкість атома, a v_x — складова швидкості вздовж осі х, то імпульс «до поршня» дорівнює mv_x, але оскільки частинка «відбивається», то імпульс «від поршня» дорівнює тій самій величині; отже, за одне зіткнення поршню передається імпульс 2mv_x. Тепер треба підрахувати число зіткнень атома за 1 с; для цього можна взяти будь-який проміжок часу dt, а потім поділити число зіткнень на dt. Чи багато атомів потрапляє за цей час у ціль? Припустімо, що в об'ємі V міститься N атомів, тобто в кожному одиничному об'ємі є n = N/V атомів. Тепер зауважимо, що за час t досягнуть поршня не всі частинки, що рухаються до поршня із заданою швидкістю, а лише ті, що виявилися досить близько від нього. Якщо частинки були дуже далеко, то, хоча вони і прагнуть до поршня, до строку вони не встигнуть. Таким чином, за час t об поршень вдаряться лише ті частинки, що в початковий момент були не далі ніж на відстані v_xt від нього. Отже, число зіткнень за час t дорівнює числу атомів, що перебувають на відстані, яка не перевищує v_xt, а оскільки площа поршня дорівнює А, то атоми, які з часом потраплять у ціль, займають об'єм Av_xt. А число атомів, що потрапили в ціль, дорівнює добутку об'єму на число атомів в одиничному об'ємі nv_xAt. Але нас, звісно, цікавить не число зіткнень за час t, а ми хочемо знати число зіткнень за 1 с, тому ми ділимо на t і отримуємо nv_xA. (Час t можна взяти дуже малим, для краси можна писати dt і потім диференціювати, але це все одно й те саме.) Отже, ми знайшли, що сила дорівнює

Зверніть увагу, що якщо зафіксувати густину частинок, то сила виявляється пропорційною площі! Після цього тиск знайти дуже просто:

Тепер треба виправити деякі неточності: перш за все не всі молекули мають одну й ту саму швидкість, і не всі вони рухаються в одному напрямку, тож нам доводиться мати справу з різними v²_x! Кожна молекула, вдаряючись об поршень, вносить свій внесок, тому треба взяти середнє по всіх молекулах. Зробивши це, ми отримаємо

А чи не забули ми множник 2? Ні, бо лише половина атомів рухається до поршня. Інші летять у протилежний бік, а усереднюючи по v²_x, ми усереднюємо як по додатних, так і по від'ємних складових v_x. Якщо просто усереднити по v²_x, вийде вдвічі більший результат. Середнє v²_x для додатних v_x дорівнює половині середнього v²_x для всіх v_x. Але атоми стрибають в ящику як заманеться, і тому зрозуміло, що «х-напрямок» для них нічим не відрізняється від будь-якого іншого; вони рухаються куди завгодно: вправо — вліво, вгору — вниз, назад — вперед. Тому <v²_x> (середній квадрат швидкості руху в одному напрямку) дорівнює середньому квадрату швидкості в будь-якому іншому напрямку

Використаємо цю обставину для невеликого математичного трюку і виявимо, що кожен з доданків у (39.6) дорівнює їхній сумі, поділеній на три, а сума — це квадрат величини швидкості:

Це дуже добре, бо тепер уже не треба турбуватися про координатні осі, і формулу для тиску можна записати у вигляді

Ми виокремили множник <mv²/2>, бо це кінетична енергія руху молекули як цілого. Отже, ми знайшли

Якщо ми знатимемо швидкість молекул, то дуже швидко підрахуємо тиск. Як простий приклад можна описати такі гази, як гелій, пари ртуті або калію за достатньо високої температури, або аргон; це одноатомні гази, для яких можна вважати, що їхні атоми не мають внутрішніх ступенів вільності. Якщо нам трапиться складна молекула, то в ній можуть бути всілякі внутрішні рухи, всякого роду коливання і т. д. Ми припускаємо, що їх можна не брати до уваги; але чи можна так робити — питання складне, і ми до нього повернемося; насправді для нашого випадку це виявиться допустимим. Отже, припустімо, що внутрішній рух атомів можна не розглядати, і тому кінетична енергія руху молекули як цілого становить усю енергію. Для одноатомного газу кінетична енергія — справді повна енергія. Позначатимемо повну енергію буквою U (іноді її називають повною внутрішньою енергією, наче в газу може бути якась зовнішня енергія), тобто всю енергію всіх молекул газу чи будь-якого іншого об'єкта. У випадку одноатомного газу ми припустимо, що повна енергія U дорівнює добутку числа атомів на середню кінетичну енергію кожного з них, тому що ми знехтували можливим збудженням атомів чи якимись внутрішньоатомними рухами. Тоді

Трохи затримаємося і відповімо на таке запитання: припустімо, що ми повільно стискаємо газ; яким має бути тиск, щоб стиснути газ до заданого об'єму? Визначити це легко, оскільки тиск — це енергія, поділена на об'єм. Але коли газ стискається, виконується робота, і тому енергія газу U зростає. Процес стиснення описується якимось диференціальним рівнянням. У початковий момент газ займає певний об'єм і має певну енергію, тому нам відомий і тиск. Щойно ми починаємо стискати газ, енергія U зростає, об'єм V зменшується, а як змінюється тиск, нам ще належить дізнатися. Отже, нам належить розв'язати диференціальне рівняння. Зараз ми це зробимо. Однак підкреслимо спочатку, що, стискаючи газ, ми припускаємо, що вся робота йде на збільшення енергії атомів газу. Ви запитаєте: «А чи обов'язково на цьому зупинятися? Куди ж іще вона може подітися?» Але виявляється, що витрачена робота може піти і в інше місце. Енергія може «витекти» з ящика крізь стінки: гарячі (тобто дуже швидкі) атоми при бомбардуванні нагріватимуть стінки ящика, і енергія вийде назовні. Але ми припускаємо, що в нашому випадку цього не відбувається. Зробимо невелике узагальнення, хоча і в цьому разі ми будемо розглядати лише дуже частковий випадок: запишемо замість PV = ²/₃U

Енергія U множиться на (γ—1) для зручності, тому що надалі нам доведеться мати справу з газами, для яких множник перед U дорівнює не ²/₃, а якомусь іншому числу. Щоб можна було описувати й такі випадки, запишемо цей множник так, як його позначають уже майже сто років. Тоді в нашому випадку одноатомного газу, такого, як гелій, γ = ⁵/₃, тому що ⁵/₃—1=²/₃. Ми вже говорили, що робота, яка виконується при стисненні газу, дорівнює —PdV. Стиснення, при якому тепло не поглинається і не виділяється, називається адіабатичним стисненням; це слово утворене з трьох грецьких слів: а(не) + dia(крізь) + bainein(проходити). (Слово адіабатичний вживається у фізиці в різних сенсах, так що не завжди можна зрозуміти, що між ними спільного.) При адіабатичному стисненні вся витрачена робота йде на зміну внутрішньої енергії. Ось у цьому й сенс, що немає втрат енергії, а отже, PdV = —dU. Але оскільки U = PV/γ—1, то можна записати

Отже, PdV = — (PdV + VdP)/γ—1, або, приводячи подібні члени, отримуємо γPdV = —VdP, або

Якщо ми приймемо, що γ стала, а це так у випадку одноатомних газів, то рівняння інтегрується, і ми отримуємо γlnV + lnP = lnС, де С — стала інтегрування. Переходячи до степенів, ми отримуємо такий закон:

Іншими словами, якщо виконані умови адіабатичності, тобто втрат енергії немає і газ при стисненні нагрівається, то у випадку одноатомного газу добуток об'єму на тиск у степені ⁵/₃ є величина стала! Цей результат ми отримали чисто теоретично, але дослід показує, що і насправді все відбувається саме так.