Досі ми не мали справи з температурою; ми свідомо уникали розмов на цю тему. Ми знаємо, що якщо стискати газ, енергія молекул зростає, і ми зазвичай говоримо, що газ при цьому нагрівається. Тепер треба зрозуміти, яке це має відношення до температури. Нам відомо, що таке адіабатичне стиснення, а як поставити дослід, щоб можна було сказати, що він був проведений при сталій температурі? Якщо взяти два однакових ящики з газом, приставити їх один до одного і потримати так досить довго, то навіть якщо спочатку ці ящики мали те, що ми назвали різною температурою, то зрештою температури їхні стануть однаковими. Що це означає? Тільки те, що ящики досягли того стану, якого вони зрештою досягли б, якби їх надовго надали самим собі! Стан, в якому температури двох тіл рівні, — це якраз той остаточний стан, якого досягають після тривалого дотику один з одним.
Погляньмо, що станеться, якщо ящик розділений на дві частини рухомим поршнем і кожен відсік заповнений іншим газом, як це показано на фіг. 39.2 (для простоти припустімо, що є два одноатомних гази, скажімо, гелій і неон). У відсіку 1 атоми маси m1 рухаються зі швидкістю v1, а в одиниці об'єму їх налічується n1 штук, у відсіку 2 ці числа відповідно дорівнюють m2, v2 і n2. За яких же умов досягається рівновага?
Зрозуміло, що бомбардування зліва змушує поршень рухатися вправо і стискає газ у другому відсіку, потім те саме відбувається справа, і поршень ходить так взад-вперед, поки тиск з обох боків не зрівняється, і тоді поршень зупиниться. Ми можемо влаштувати так, щоб тиск з обох боків був однаковим, для цього потрібно, щоб внутрішні енергії, що припадають на одиничний об'єм, були однаковими, або щоб добутки числа частинок n в одиниці об'єму на середню кінетичну енергію були однаковими в обох відсіках. Зараз ми спробуємо довести, що при рівновазі мають бути однаковими й окремі співмножники. Поки що ми знаємо тільки, що рівні між собою добутки чисел частинок в одиничних об'ємах на середні кінетичні енергії
Погляньмо, що станеться, якщо ящик розділений на дві частини рухомим поршнем і кожен відсік заповнений іншим газом, як це показано на фіг. 39.2 (для простоти припустімо, що є два одноатомних гази, скажімо, гелій і неон). У відсіку 1 атоми маси m1 рухаються зі швидкістю v1, а в одиниці об'єму їх налічується n1 штук, у відсіку 2 ці числа відповідно дорівнюють m2, v2 і n2. За яких же умов досягається рівновага?
Зрозуміло, що бомбардування зліва змушує поршень рухатися вправо і стискає газ у другому відсіку, потім те саме відбувається справа, і поршень ходить так взад-вперед, поки тиск з обох боків не зрівняється, і тоді поршень зупиниться. Ми можемо влаштувати так, щоб тиск з обох боків був однаковим, для цього потрібно, щоб внутрішні енергії, що припадають на одиничний об'єм, були однаковими, або щоб добутки числа частинок n в одиниці об'єму на середню кінетичну енергію були однаковими в обох відсіках. Зараз ми спробуємо довести, що при рівновазі мають бути однаковими й окремі співмножники. Поки що ми знаємо тільки, що рівні між собою добутки чисел частинок в одиничних об'ємах на середні кінетичні енергії
Зображення
це випливає з умови рівності тисків і з (39.8). Нам належить встановити, що в міру поступового наближення до рівноваги, коли температури газів вирівнюються, виконується не тільки ця умова, а відбувається ще й дещо інше.
Щоб було зрозуміліше, припустімо, що потрібний тиск зліва в ящику досягається за рахунок дуже великої густини, але малих швидкостей. При великих n і малих v можна отримати той самий тиск, що і при малих n і великих v. Атоми, якщо вони щільно упаковані, можуть рухатися повільно, або атомів може бути зовсім небагато, але вдаряють вони об поршень з більшою силою. Чи встановиться рівновага назавжди? Спочатку здається, що поршень нікуди не зрушить і так буде завжди, але якщо все продумати ще раз, то стане зрозуміло, що ми випустили одну дуже важливу річ. Річ у тім, що тиск на поршень зовсім не рівномірний, поршень же розхитується точно так само, як барабанна перетинка, про яку ми говорили на початку розділу, адже кожен новий удар не схожий на попередній. Виходить не постійний рівномірний тиск, а радше щось на кшталт барабанного дробу — тиск безперервно змінюється, і наш поршень немовби постійно тремтить. Припустімо, що атоми правого відсіку вдаряють об поршень більш чи менш рівномірно, а зліва атомів менше, і удари їхні рідкісні, але дуже енергійні. Тоді поршень раз у раз отримуватиме дуже сильний імпульс зліва і відходитиме вправо, у бік повільніших атомів, причому швидкість цих атомів зростатиме. (При зіткненні з поршнем кожен атом набуває або втрачає енергію залежно від того, в який бік рухається поршень у момент зіткнення.) Після кількох зіткнень поршень хитнеться, потім ще, ще і ще..., газ у правому відсіку час від часу буде струшуватися, а це призведе до збільшення енергії його атомів, і їхній рух прискориться. Так триватиме доти, доки не врівноважаться коливання поршня. А рівновага встановиться тоді, коли швидкість поршня стане такою, що він забиратиме в атомів енергію так само швидко, як і віддаватиме. Отже, поршень рухається з якоюсь середньою швидкістю, і нам належить знайти її. Якщо нам це вдасться, ми наблизимося до розв'язання задачі, бо атоми повинні підлаштувати свої швидкості так, щоб кожен газ отримував через поршень рівно стільки енергії, скільки втрачає.
Дуже важко розрахувати рух поршня в усіх деталях; хоча все це дуже легко зрозуміти, виявляється, що проаналізувати це трохи важче. Перш ніж узятися за такий аналіз, розв'яжемо іншу задачу: нехай ящик заповнений молекулами двох сортів з масами m1 і m2, швидкостями v1 і v2 і т. д.; тепер молекули зможуть познайомитися ближче. Якщо спочатку всі молекули № 2 спочивають, то довго це тривати не може, бо об них будуть ударятися молекули № 1 і передавати їм якусь швидкість. Якщо молекули № 2 можуть рухатися значно швидше, ніж молекули № 1, то все одно рано чи пізно їм доведеться віддати частину своєї енергії повільнішим молекулам. Таким чином, якщо ящик заповнений сумішшю двох газів, то проблема полягає у визначенні відносної швидкості молекул обох сортів.
Це теж дуже важка задача, але ми все-таки розв'яжемо її. Спочатку нам доведеться розв'язати «підзадачу» (знову це один з тих випадків, коли, незалежно від того, як розв'язується задача, остаточний результат запам'ятовується легко, а виведення вимагає великого мистецтва). Припустімо, що перед нами дві молекули, що зіштовхуються, з різними масами; щоб уникнути ускладнень, ми спостерігаємо за зіткненням із системи їхнього центра мас (ц. м.), звідки легше простежити за ударом молекул. За законами зіткнень, виведеними із законів збереження імпульсу та енергії, після зіткнення молекули можуть рухатися лише так, що кожна зберігає величину своєї початкової швидкості, а змінити вони можуть тільки напрямок руху. Типове зіткнення виглядає так, як його зображено на фіг. 39.3. Припустімо на хвилинку, що ми спостерігаємо зіткнення, системи центра мас яких спочивають. Крім того, треба припустити, що всі молекули рухаються горизонтально. Звісно, після першого ж зіткнення частина молекул рухатиметься вже під якимось кутом до початкового напрямку. Іншими словами, якщо спочатку всі молекули рухалися горизонтально, то через деякий час ми виявимо вже вертикально рухомі молекули. Після низки інших зіткнень вони знову змінять напрямок і повернуться ще на якийсь кут. Таким чином, якщо комусь і вдасться спочатку навести лад серед молекул, то все одно вони дуже скоро розбредуться в різні напрямки і щоразу будуть дедалі більше розпорошуватися. До чого ж це зрештою призведе? Відповідь: будь-яка пара молекул рухатиметься у довільно обраному напрямку так само охоче, як і в будь-якому іншому. Після цього подальші зіткнення вже не зможуть змінити розподілу молекул.
Що мається на увазі, коли говорять про рівноймовірний рух у будь-якому напрямку? Звісно, не можна говорити про ймовірність руху вздовж заданої прямої — пряма надто тонка, щоб до неї можна було відносити ймовірність, а слід взяти одиницю «чогось». Ідея полягає в тому, що через задану ділянку сфери з центром у точці зіткнення проходить стільки ж молекул, скільки через будь-яку іншу ділянку сфери. У результаті зіткнень молекули розподіляються за напрямками так, що будь-яким двом рівним за площею ділянкам сфери відповідатимуть рівні ймовірності (тобто однакове число молекул, що пройшли через ці ділянки).
До речі, якщо ми порівнюватимемо початковий напрямок і напрямок, що утворює з ним якийсь кут θ, то цікаво, що елементарна площа на сфері одиничного радіуса дорівнює добутку 2π на sinθdθ, або, що те саме, на диференціал cosθ. Це означає, що косинус кута θ між двома напрямками з рівною ймовірністю набуває будь-якого значення між –1 і +1.
Тепер нам треба пригадати те, що є насправді; адже в нас немає зіткнень у системі центра мас, а стикаються два атоми з довільними векторними швидкостями v1 і v2. Що з ними відбувається? Ми вчинимо так: знову перейдемо до системи центра мас, тільки тепер вона рухається з «усередненою за масами» швидкістю νц.м. =(m1v1+ m2v2)/(m1+m2). Якщо стежити за зіткненням із системи центра мас, то воно виглядатиме так, як це зображено на фіг. 39.3, тільки треба подумати про відносну швидкість зіткнення w. Відносна швидкість дорівнює v1 – v2. Справа, отже, стоїть так: рухається система центра мас, а в системі центра мас молекули зближуються з відносною швидкістю w; зіткнувшись, вони рухаються за новими напрямками. Поки все це відбувається, центр мас увесь час рухається з тією самою швидкістю без змін.
Ну і що ж вийде зрештою? З попередніх міркувань робимо такий висновок: при рівновазі всі напрямки w рівноймовірні щодо напрямку руху центра мас. Це означає, що зрештою не буде жодної кореляції між напрямком відносної швидкості і рухом центра мас. Якби навіть така кореляція існувала спочатку, то зіткнення б її зруйнували, і вона зрештою зникла б повністю. Тому середнє значення косинуса кута між w і vц.м. дорівнює нулю. Це
означає, що
Це теж дуже важка задача, але ми все-таки розв'яжемо її. Спочатку нам доведеться розв'язати «підзадачу» (знову це один з тих випадків, коли, незалежно від того, як розв'язується задача, остаточний результат запам'ятовується легко, а виведення вимагає великого мистецтва). Припустімо, що перед нами дві молекули, що зіштовхуються, з різними масами; щоб уникнути ускладнень, ми спостерігаємо за зіткненням із системи їхнього центра мас (ц. м.), звідки легше простежити за ударом молекул. За законами зіткнень, виведеними із законів збереження імпульсу та енергії, після зіткнення молекули можуть рухатися лише так, що кожна зберігає величину своєї початкової швидкості, а змінити вони можуть тільки напрямок руху. Типове зіткнення виглядає так, як його зображено на фіг. 39.3. Припустімо на хвилинку, що ми спостерігаємо зіткнення, системи центра мас яких спочивають. Крім того, треба припустити, що всі молекули рухаються горизонтально. Звісно, після першого ж зіткнення частина молекул рухатиметься вже під якимось кутом до початкового напрямку. Іншими словами, якщо спочатку всі молекули рухалися горизонтально, то через деякий час ми виявимо вже вертикально рухомі молекули. Після низки інших зіткнень вони знову змінять напрямок і повернуться ще на якийсь кут. Таким чином, якщо комусь і вдасться спочатку навести лад серед молекул, то все одно вони дуже скоро розбредуться в різні напрямки і щоразу будуть дедалі більше розпорошуватися. До чого ж це зрештою призведе? Відповідь: будь-яка пара молекул рухатиметься у довільно обраному напрямку так само охоче, як і в будь-якому іншому. Після цього подальші зіткнення вже не зможуть змінити розподілу молекул.
Що мається на увазі, коли говорять про рівноймовірний рух у будь-якому напрямку? Звісно, не можна говорити про ймовірність руху вздовж заданої прямої — пряма надто тонка, щоб до неї можна було відносити ймовірність, а слід взяти одиницю «чогось». Ідея полягає в тому, що через задану ділянку сфери з центром у точці зіткнення проходить стільки ж молекул, скільки через будь-яку іншу ділянку сфери. У результаті зіткнень молекули розподіляються за напрямками так, що будь-яким двом рівним за площею ділянкам сфери відповідатимуть рівні ймовірності (тобто однакове число молекул, що пройшли через ці ділянки).
До речі, якщо ми порівнюватимемо початковий напрямок і напрямок, що утворює з ним якийсь кут θ, то цікаво, що елементарна площа на сфері одиничного радіуса дорівнює добутку 2π на sinθdθ, або, що те саме, на диференціал cosθ. Це означає, що косинус кута θ між двома напрямками з рівною ймовірністю набуває будь-якого значення між –1 і +1.
Тепер нам треба пригадати те, що є насправді; адже в нас немає зіткнень у системі центра мас, а стикаються два атоми з довільними векторними швидкостями v1 і v2. Що з ними відбувається? Ми вчинимо так: знову перейдемо до системи центра мас, тільки тепер вона рухається з «усередненою за масами» швидкістю νц.м. =(m1v1+ m2v2)/(m1+m2). Якщо стежити за зіткненням із системи центра мас, то воно виглядатиме так, як це зображено на фіг. 39.3, тільки треба подумати про відносну швидкість зіткнення w. Відносна швидкість дорівнює v1 – v2. Справа, отже, стоїть так: рухається система центра мас, а в системі центра мас молекули зближуються з відносною швидкістю w; зіткнувшись, вони рухаються за новими напрямками. Поки все це відбувається, центр мас увесь час рухається з тією самою швидкістю без змін.
Ну і що ж вийде зрештою? З попередніх міркувань робимо такий висновок: при рівновазі всі напрямки w рівноймовірні щодо напрямку руху центра мас. Це означає, що зрештою не буде жодної кореляції між напрямком відносної швидкості і рухом центра мас. Якби навіть така кореляція існувала спочатку, то зіткнення б її зруйнували, і вона зрештою зникла б повністю. Тому середнє значення косинуса кута між w і vц.м. дорівнює нулю. Цеозначає, що
Зображення
Скалярний добуток w·vц.м. легко виразити через v1 і v2:
Зображення
Займемося спочатку v1·v2; чому дорівнює середнє v1·v2? Іншими словами, чому дорівнює середнє проекції швидкості однієї молекули на напрямок швидкості іншої молекули? Зрозуміло, що ймовірності руху молекули як в один бік, так і в протилежний, однакові. Середнє значення швидкості v2 в будь-якому напрямку дорівнює нулю. Тому й у напрямку v1 середнє значення v2 теж дорівнює нулю. Отже, середнє значення v1·v2 дорівнює нулю! Отже, ми дійшли висновку, що середнє m1v12 має дорівнювати m2v22. Це означає, що середні кінетичні енергії обох молекул мають бути рівні:
Зображення
Якщо газ складається з атомів двох сортів, то можна показати (і ми навіть вважаємо, що нам удалося це зробити), що середні кінетичні енергії атомів кожного сорту рівні, коли газ перебуває в стані рівноваги. Це означає, що важкі атоми рухаються повільніше, ніж легкі; це легко перевірити, поставивши експеримент з «атомами» різних мас у повітряному жолобі.
Тепер зробимо наступний крок і покажемо, що якщо в ящику є два гази, розділені перегородкою, то в міру досягнення рівноваги середні кінетичні енергії атомів різних газів будуть однакові, хоча атоми і замкнені в різних ящиках. Міркування можна побудувати по-різному. Наприклад, можна уявити, що в перегородці зроблено маленьку дірочку (фіг. 39.4), так що молекули одного газу проходять крізь неї, а молекули другого занадто великі і не пролазять. Коли встановиться рівновага, то у тому відсіку, де перебуває суміш газів, середні кінетичні енергії молекул кожного сорту зрівняються. Але ж серед молекул, що проникли крізь дірочку, є і такі, що не втратили при цьому енергії, тому середня кінетична енергія молекул чистого газу має дорівнювати середній кінетичній енергії молекул суміші. Це не дуже переконливе доведення, бо ж могло й не бути такої дірочки, крізь яку пройдуть молекули одного газу і не зможуть пройти молекули другого.
Повернімося до задачі про поршень. Можна показати, що кінетична енергія поршня теж має дорівнювати 1/2m2v22. Фактично кінетична енергія поршня пов'язана тільки з його горизонтальним рухом. Нехтуючи можливим рухом поршня вгору і вниз, ми знайдемо, що горизонтальному руху відповідає кінетична енергія 1/2m2v22х. Але точно так само, виходячи з рівноваги з іншого боку, можна показати, що кінетична енергія поршня має дорівнювати 1/2m1v21х. Хоча ми повторюємо попереднє міркування, виникають деякі додаткові труднощі у зв'язку з тим, що внаслідок зіткнень середні кінетичні енергії поршня і молекули газу зрівнюються, тому що поршень перебуває не всередині газу, а зміщений в один бік.
Якщо вас не задовольнить і це доведення, то можна придумати штучний приклад, коли рівновага забезпечується пристроєм, по якому молекули кожного газу б'ють з обох боків. Припустімо, що крізь поршень проходить короткий стрижень, на кінцях якого насаджено по кулі. Стрижень може рухатися крізь поршень без тертя. По кожній з куль з усіх боків б'ють молекули одного сорту. Нехай маса нашого пристрою дорівнює m, а маси молекул газу, як і раніше, дорівнюють m1 і m2. Внаслідок зіткнень з молекулами першого сорту кінетична енергія тіла маси m дорівнює середньому значенню 1/2 m1v12 (ми вже довели це). Точно так само, зіткнення з молекулами другого сорту змушують тіло мати кінетичну енергію, що дорівнює середньому значенню 1/2 m2v22. Якщо гази перебувають у тепловій рівновазі, то кінетичні енергії обох куль мають бути рівні. Таким чином, результат, доведений для випадку суміші газів, можна відразу узагальнити на випадок двох різних газів при однаковій температурі.
Отже, якщо два гази мають однакову температуру, то середні кінетичні енергії молекул цих газів у системі центра мас рівні.
Середня кінетична енергія молекул — це властивість тільки «температури». А будучи властивістю «температури», а не газу, вона може слугувати визначенням температури. Середня кінетична енергія молекули, таким чином, є якоюсь функцією температури. Але хто нам підкаже, за якою шкалою відлічувати температуру? Ми можемо самі визначити шкалу температури так, щоб середня енергія була пропорційна температурі. Найкраще для цього назвати «температурою» саму середню енергію. Це була б найпростіша функція, але, на жаль, цю шкалу вже обрали інакше, і замість того, щоб назвати енергію молекули просто «температурою», використовують сталий множник, що пов'язує середню енергію молекули й градус абсолютної температури, або градус Кельвіна. Цей множник: k = 1,38·10-23 дж на кожен градус Кельвіна. Таким чином, якщо абсолютна температура газу дорівнює Т, то середня кінетична енергія молекули дорівнює 3/2 kТ (множник 3/2 введено лише для зручності, завдяки чому зникнуть множники в інших формулах).
Зауважимо, що кінетична енергія, пов'язана зі складовою руху в будь-якому напрямку, дорівнює тільки 1/2 kТ. Три незалежних напрямки руху доводять її до 3/2 kТ.
Тепер зробимо наступний крок і покажемо, що якщо в ящику є два гази, розділені перегородкою, то в міру досягнення рівноваги середні кінетичні енергії атомів різних газів будуть однакові, хоча атоми і замкнені в різних ящиках. Міркування можна побудувати по-різному. Наприклад, можна уявити, що в перегородці зроблено маленьку дірочку (фіг. 39.4), так що молекули одного газу проходять крізь неї, а молекули другого занадто великі і не пролазять. Коли встановиться рівновага, то у тому відсіку, де перебуває суміш газів, середні кінетичні енергії молекул кожного сорту зрівняються. Але ж серед молекул, що проникли крізь дірочку, є і такі, що не втратили при цьому енергії, тому середня кінетична енергія молекул чистого газу має дорівнювати середній кінетичній енергії молекул суміші. Це не дуже переконливе доведення, бо ж могло й не бути такої дірочки, крізь яку пройдуть молекули одного газу і не зможуть пройти молекули другого.
Повернімося до задачі про поршень. Можна показати, що кінетична енергія поршня теж має дорівнювати 1/2m2v22. Фактично кінетична енергія поршня пов'язана тільки з його горизонтальним рухом. Нехтуючи можливим рухом поршня вгору і вниз, ми знайдемо, що горизонтальному руху відповідає кінетична енергія 1/2m2v22х. Але точно так само, виходячи з рівноваги з іншого боку, можна показати, що кінетична енергія поршня має дорівнювати 1/2m1v21х. Хоча ми повторюємо попереднє міркування, виникають деякі додаткові труднощі у зв'язку з тим, що внаслідок зіткнень середні кінетичні енергії поршня і молекули газу зрівнюються, тому що поршень перебуває не всередині газу, а зміщений в один бік.
Якщо вас не задовольнить і це доведення, то можна придумати штучний приклад, коли рівновага забезпечується пристроєм, по якому молекули кожного газу б'ють з обох боків. Припустімо, що крізь поршень проходить короткий стрижень, на кінцях якого насаджено по кулі. Стрижень може рухатися крізь поршень без тертя. По кожній з куль з усіх боків б'ють молекули одного сорту. Нехай маса нашого пристрою дорівнює m, а маси молекул газу, як і раніше, дорівнюють m1 і m2. Внаслідок зіткнень з молекулами першого сорту кінетична енергія тіла маси m дорівнює середньому значенню 1/2 m1v12 (ми вже довели це). Точно так само, зіткнення з молекулами другого сорту змушують тіло мати кінетичну енергію, що дорівнює середньому значенню 1/2 m2v22. Якщо гази перебувають у тепловій рівновазі, то кінетичні енергії обох куль мають бути рівні. Таким чином, результат, доведений для випадку суміші газів, можна відразу узагальнити на випадок двох різних газів при однаковій температурі.
Отже, якщо два гази мають однакову температуру, то середні кінетичні енергії молекул цих газів у системі центра мас рівні.
Середня кінетична енергія молекул — це властивість тільки «температури». А будучи властивістю «температури», а не газу, вона може слугувати визначенням температури. Середня кінетична енергія молекули, таким чином, є якоюсь функцією температури. Але хто нам підкаже, за якою шкалою відлічувати температуру? Ми можемо самі визначити шкалу температури так, щоб середня енергія була пропорційна температурі. Найкраще для цього назвати «температурою» саму середню енергію. Це була б найпростіша функція, але, на жаль, цю шкалу вже обрали інакше, і замість того, щоб назвати енергію молекули просто «температурою», використовують сталий множник, що пов'язує середню енергію молекули й градус абсолютної температури, або градус Кельвіна. Цей множник: k = 1,38·10-23 дж на кожен градус Кельвіна. Таким чином, якщо абсолютна температура газу дорівнює Т, то середня кінетична енергія молекули дорівнює 3/2 kТ (множник 3/2 введено лише для зручності, завдяки чому зникнуть множники в інших формулах).
Зауважимо, що кінетична енергія, пов'язана зі складовою руху в будь-якому напрямку, дорівнює тільки 1/2 kТ. Три незалежних напрямки руху доводять її до 3/2 kТ.