Тепер можна підставити наше визначення температури в рівняння (39.9) і знайти закон залежності тиску газу від температури: добуток тиску на об'єм дорівнює добутку повного числа атомів на універсальну сталу k і температуру:
Зображення
Отже, при однакових температурі, тиску й об'ємі число атомів суворо визначене — це теж універсальна стала! Таким чином, із законів Ньютона випливає, що в рівних об'ємах будь-яких газів при однакових температурі й тиску міститься рівне число молекул. Ось який несподіваний висновок!
На практиці, коли маєш справу з молекулами, доводиться оперувати великими числами, тому хіміки довільно обрали число, дуже велике число, і придумали йому спеціальну назву. Вони назвали його моль. Моль — це дуже штучне число. Чому хіміки не прийняли за одиницю 1024, щоб вийшло кругле число, — це питання історичне.
Так сталося, що вони для зручності обрали стандартне число N0 = 6,02·1023 об'єктів і назвали це число молем об'єктів. Після цього, замість того щоб вимірювати число молекул у штуках, вони вимірюють їх у молях. Можна записати число молів (виражаючи їх через N0) і помножити його на число атомів у молі, потім помножити на kТ, а потім, якщо захочемо, виділити добуток числа атомів у молі на k, тоді вийде молярне значення k; для цієї величини виділимо особливу букву R. Молярне значення k дорівнює 8,317 дж: R = N0k = 8,317дж/моль·°К-1. Таким чином ми знайшли газовий закон, виражений у вигляді добутку числа молів (його позначають буквою N) на RT, або у вигляді добутку числа атомів на kT :
Зображення
Сенс той самий, тільки одиниці виміру різні. Як одиницю ми використовуємо 1, а хіміки використовують 6·1023!
Зробимо ще одне зауваження щодо газового закону; воно стосується речей складніших, ніж одноатомні молекули. Поки що ми мали справу тільки з рухом одноатомного газу в центрі мас. А що, якщо при цьому врахувати дію сил? Розглянемо спочатку випадок, коли поршень утримується горизонтально розташованою пружинкою, на яку діє сила. Взаємне струшування атомів і поршня в кожний даний момент, звісно, не залежить від положення поршня. Умови рівноваги залишаються тими самими. Незалежно від того, де перебуває поршень, від нього вимагається тільки, щоб швидкість його руху була такою, щоб він отримував від молекул стільки ж енергії, скільки віддавав їм. Наявність пружинки не змінює справи. Швидкість, з якою рухається поршень, у середньому та сама. Таким чином, наша теорема про те, що середня кінетична енергія в одному напрямку дорівнює 1/2kT, справедлива незалежно від того, є сили чи їх немає.
Розглянемо, наприклад, двоатомну молекулу, складену з атомів з масами mA і mB. Нам удалося довести, що рух у центрі мас частини А і частини В такий, що <1/2 mAvA2 > = <1/2 mBvB2> = 3/2kТ. Але як це може бути, якщо окремі частини зв'язані одна з одною? Хоча вони і зв'язані між собою, але обмін енергією при взаємних обертаннях, зміні відстані та зіткненнях з іншими молекулами залежить тільки від того, як швидко вони рухаються. Тільки цим визначається обмін енергією при зіткненнях. Сила в кожний окремий момент не має жодного значення. Отже, навіть якщо між окремими частинами молекули діють сили, правильний той самий принцип.
Доведемо, нарешті, що газовий закон справедливий і в тому випадку, коли внутрішній рух не враховується. Досі нам не треба було включати внутрішній рух. Ми просто розглядали одноатомний газ. Але тепер ми покажемо, що швидкість центра мас будь-якого об'єкта, який можна розглядати як тіло маси М, дорівнює
Зображення
Іншими словами, можна розглядати як окремі частини, так і всю молекулу в цілому! Подивимося, чому це можна робити: маса двоатомної молекули дорівнює М = mA + mB, а швидкість центра мас дорівнює vц.м. = (mAvA+ mBvB)/M. Нам треба тепер визначити <v2ц.м.>. Якщо піднести до квадрата vц.м., то вийде
Помноживши це на 1/2М і усереднивши, отримаємо
Зображення
Зображення
[Ми скористалися тим, що (mA + mB)/М = 1.] А чому дорівнює <vA·vB>? (Добре б, щоб це дорівнювало нулю!) Щоб знайти це середнє, використаємо наше припущення, що відносна швидкість w = vA- vB не віддає переваги якомусь одному певному напрямку перед іншими, тобто середня складова вздовж будь-якого напрямку дорівнює нулю. Ми припускаємо, отже, що
Зображення
Але що таке w·vц.м. ? Це скалярний добуток, що дорівнює
Зображення
Далі, оскільки <mAvA2> = <mBvB2>, то перший і останній члени взаємно знищуються, і ми отримуємо
Зображення
Отже, якщо mA≠mB, то <vA·vB> = 0, а це означає, що жорсткому руху всієї молекули, яку розглядають як одну частинку маси M, відповідає середня кінетична енергія, що дорівнює 3/2kТ.
Водночас ми довели, що середня кінетична енергія внутрішнього руху двоатомної молекули, якщо не враховувати руху центра мас, дорівнює 3/2kТ! Адже повна кінетична енергія окремих частин молекули дорівнює 1/2mAvA2 + 1/2mBvB2, а її середнє значення — це 3/2kТ + 3/2kT, або 3kТ. Кінетична енергія руху центра мас дорівнює 3/2kT, так що середня кінетична енергія обертального і коливального рухів двох атомів усередині молекули — це різниця цих величин, 3/2kT.
Теорема про середню енергію центра мас — це доволі загальна теорема: для кожного об'єкта, який розглядають як єдине ціле, незалежно від того, діють на цей об'єкт сили чи ні, середня кінетична енергія кожного незалежного руху дорівнює 1/2kT. Ці «незалежні напрямки руху» іноді називають ступенями вільності системи. Число ступенів вільності молекули, складеної з r атомів, дорівнює 3r, бо для визначення положення кожного атома потрібні три координати. Повну кінетичну енергію молекули можна представити або як суму кінетичних енергій окремих атомів, або як суму кінетичної енергії руху центра мас і кінетичної енергії внутрішніх рухів. Останню іноді можна представити як суму кінетичної енергії обертань і кінетичної енергії коливань, але це можна зробити лише приблизно. Наша теорема, якщо застосувати її до r-атомної молекули, стверджує, що середня кінетична енергія молекули дорівнює 3/2rkТ дж, з яких 3/2 kТ — кінетична енергія руху молекули як цілого, а решта 3/2(r—1)kТ — це внутрішня кінетична енергія обертань і коливань.