Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 7 >> Глава 33. Отражение от поверхности Волны в плотных материалах
Прежде всего я напомню вам об удобном способе описания синусоидальных плоских волн, которым мы пользовались в гл. 36 (вып. 3). Любая компонента поля в волне (возьмем, например, Е) может быть записана в форме
где Е — амплитуда поля в точке r (относительно начала координат) в момент t. Вектор k указывает направление распространения волны, а его величина |k|= k=2π/λ равна волновому числу. Фазовая скорость волны vфаз=ω/k для света в материале с показателем n будет равна с/n, поэтому
Предположим, что вектор k направлен по оси z; тогда к·r будет просто хорошо знакомым нам kz. Для вектора k в любом другом направлении z следует заменить на rk — расстояние от начала в направлении вектора к, т. е. kz мы должны заменить на krk, что как раз равно к·r (фиг. 33.2). Таким образом, запись (33.6) является удобным представлением волны, идущей в любом направлении.
Разумеется, при этом мы должны помнить, что
где кх, кy и kz — компоненты вектора k по трем осям. Мы уже отмечали однажды, что на самом деле величины (ω, кх, кy , kz) образуют четырехвектор и что его скалярное произведение на (t, х, у, z) является инвариантом. Таким образом, фаза волны есть инвариант и формулу (33.6) можно записать в виде
Однако сейчас нам такие хитрости не понадобятся.
Для синусоидального поля Е, подобного выражению (33.6), производная ∂E/∂t — это то же самое, что и iωE, a дЕ/дх — то же, что и ikxE, и аналогично для остальных компонент. Вы видите, чем удобна форма (33.6): когда мы работаем с дифференциальными уравнениями, то дифференцирование заменяется простым умножением. Другое полезное качество состоит в том, что операция V = (∂/∂x), (д/ду), (∂/∂z) заменяется тремя умножениями (–¡кх, –iky, –ikz). Но эти три множителя преобразуются как компоненты вектора k, так что оператор V заменяется умножением на –ik:
Правило остается справедливым для операции V в любой комбинации, будь то градиент, дивергенция или ротор. Например, z-компонента V хЕ равна
Если и Еy и Ех изменяются как e–¡ k·r, то мы получаем
что представляет, как вы видите, z-компоненту –¡kxE.
Таким образом, мы получили очень полезный общий закон, что в любом случае, когда вам нужно взять градиент от вектора, который изменяется, как волна в трехмерном пространстве (а они в физике играют важную роль), эту операцию вы можете проделать быстро и почти без всяких раздумий, если вспомните, что оператор V эквивалентен умножению на –ik.
Например, уравнение Фарадея
Это соответствует результату, найденному ранее для волн в пустом пространстве, т. е. что вектор В в волне направлен под прямым углом к вектору Е и направлению распространения волны. (В пустом пространстве ω/к=с.) Знак в уравнении (33.9) вы можете проверить, исходя из того, что k является направлением вектора Пойнтинга S=ε0c2(ExB).
Если вы примените то же самое правило к другим уравнениям Максвелла, то снова получите результаты последней главы, в частности
|
Но раз уже это известно нам, давайте не будем проделывать все сначала.
Если вы хотите поразвлечься, можете попытаться решить такую устрашающую задачу (в 1890 г. она предлагалась студентам на выпускных экзаменах): решите уравнения Максвелла для плоской волны в анизотропном кристалле, т. е.когда поляризация Р связана с электрическим полем Е через тензор поляризуемости. Конечно, в качестве ваших осей вы выберете главные оси тензора, так что связи при этом упростятся (тогда Рx= αаЕх, Ру = αbEy, a Pz= αсЕz), но направление волны и ее поляризация пусть останутся произвольными. Вы должны найти соотношение между Е и В и определить, как изменяется k с направлением распространения волны и ее поляризацией. После этого вам будет понятна оптика анизотропного кристалла. Лучше начать с более легкого случая дважды лучепреломляющего кристалла, подобного турмалину, для которого два коэффициента поляризуемости равны между собой (например, αb=αс), и попытаться понять, почему, когда мы смотрим через такой кристалл, мы видим два изображения. Если это вам удастся, тогда испытайте свои силы на более трудном случае, когда все три α различны. После этого вам уже будет ясен уровень ваших знаний — знаете ли вы столько же, сколько студент, заканчивавший университет в 1890 г. Но мы с вами в этой главе будем рассматривать только изотропные вещества.
Из опыта вам известно, что когда на границу раздела двух материалов, скажем воздуха и стекла или воды и бензина, попадает плоская волна, то возникают как отраженная, так и преломленная волны. Предположим, что, кроме этого факта, нам больше ничего неизвестно, и посмотрим, что можно из него вывести. Выберем наши оси так, чтобы плоскость yz совпадала с поверхностью раздела, а плоскость ху была перпендикулярна фронту волны (фиг. 33.3).
Электрический вектор в падающей волне может быть записан в виде
|
Поскольку вектор k перпендикулярен оси z, то
Отраженную волну мы запишем как
так что ее частота равна ω′, волновое число k′, а амплитуда Е′0. (Мы, конечно, знаем, что частота и величина вектора k в отраженной волне те же, что и в падающей волне, но не хотим предполагать даже это. Пусть это все получится само собой из математического аппарата.) Наконец, запишем преломленную волну:
Вы знаете, что одно из уравнений Максвелла дает соотношение (33.9), так что для каждой из волн
Кроме того, если показатели преломления двух сред мы обозначим через n1 и n2, то из уравнения (33.10) получится
Поскольку отраженная волна находится в том же материале, то
в то время как для преломленной волны
СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:
Социальные комментарии Cackle
|