Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 8 >> Глава 2. Тождественные частицы

Состояния с n бозе-частицами

Распространим наш результат на тот случай, когда имеются n частиц. Вообразим случай, изображенный на фиг. 2.4. Есть n частиц а, b, с, . . . , которые рассеиваются в направлениях 1, 2, 3, . . . , n. Все n направлений смотрят в небольшой счетчик, который стоит где-то поодаль. Как и в предыдущем параграфе, выберем нормировку всех амплитуд так, чтобы вероятность того, что каждая частица, действуя по отдельности, попадет в элемент поверхностп dS счетчика, была равна

Сперва предположим, что частицы все различимы, тогда вероятность того, что n частиц будут одновременно зарегистрированы в n разных элементах поверхности, будет равна

Опять примем, что амплитуды не зависят от того, где в счетчике расположен элемент dS (он считается малым), и обозначим их просто а, b, с, ... . Вероятность (2.15) обратится в

Прогоняя каждый элемент dS по всей поверхности ΔS счетчика, получаем, что Р_n(разные)— вероятность одновременно зарегистрировать n разных частиц — равна

Это просто произведение вероятностей попаданий в счетчик каждой из частиц по отдельности. Все они действуют независимо — вероятность попасть для одной из них не зависит от того, сколько других туда попало.
 
Теперь предположим, что все эти частицы — идентичные бозе-частицы. Для каждой совокупности направлений 1, 2, 3, ... существует много неразличимых возможностей. Если бы, скажем, частиц было только три, появились бы следующие возможности:

Возникает шесть различных комбинаций. А если частиц n, то будет n! разных, хотя и не отличимых друг от друга, комбинаций; их амплитуды положено складывать. Вероятность того, что n частиц будут зарегистрированы в n элементах поверхности, тогда будет равна

И снова мы предположим, что все направления столь близки друг к другу, что можно будет положить a₁ = а₂ = . . . . . . =а_n = а  и то же сделать с b, с, . . . ; вероятность (2.18) обратится в

Когда каждый элемент dS прогоняют по площади ΔS счетчика, то всякое мыслимое произведение элементов поверхности считается n! раз; учтем это, разделив на n!, и получим

Сравнивая это с (2.17), видим, что вероятность совместного счета n бозе-частиц в n!  раз больше, чем получилось бы в предположении, что все частицы различимы. Все это можно подытожить так:

Итак, вероятность в случае бозе-частиц в n! раз больше, чем вы получили бы, считая, что частицы действовали независимо. Мы лучше поймем, что это значит, если спросим: чему равна вероятность того, что бозе-частица перейдет в некоторое состояние, в котором уже находятся n других частиц? Обозначим добавленную частицу буквой w. Если всего, включая w, имеется (n + 1) частиц, то (2.20) обращается в

Этот результат можно истолковать следующим образом. Число | w | ²ΔS — это вероятность заполучить в счетчик частицу w, если никаких других частиц нет; Р_n(бозе) — это шанс того, что там уже есть n других бозе-частиц. Значит, (2.23) говорит нам, что когда у нас уже есть n других идентичных друг другу бозе-частиц, то вероятность того, что еще одна частица придет в то же состояние, усиливается в (n + 1) раз. Вероятность получить еще один бозон там, где уже есть их n штук, в (n + 1) раз больше той, какая была бы, если бы там раньше ничего не было. Наличие других частиц увеличивает вероятность заполучить еще одну.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: