Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 8 >> Глава 5. Зависимость амплитуд от времени

Равномерное движение

Если мы предполагаем, что теория относительности верна, то частица, покоящаяся в одной инерциальной системе, в другой инерциальной системе может оказаться в равномерном движении.  В  системе покоя  частицы  амплитуда  вероятности для всех х, у и z одинакова, но зависит от t. Величина амплитуды для всех t одинакова, а фаза зависит от t. Мы можем получить картину поведения амплитуды, если проведем линии равной фазы (скажем, нулевой) как функций х и t. Для частицы в покое эти линии равной фазы параллельны оси х и расположены по оси t на равных расстояниях (показано пунктирными линиями на фиг.  5.1).
 
В другой системе, х′, у′, z′ , t′, движущейся относительно частицы, скажем, в направлении х, координаты х′ и t′ некоторой частной точки пространства связаны с х и t преобразованием Лоренца. Это преобразование можно изобразить графически, проведя оси х′ и t′ , как показано на фиг. 5.1 [см. гл. 17 (вып. 2), фиг. 17.2]. Вы видите, что в системе х′ –t′  точки равной фазы  вдоль оси t′ расположены на других расстояниях, так что частота временных изменений уже другая. Кроме того, фаза меняется и по х′ , т. е. амплитуда вероятности должна быть функцией х′.
 
При преобразовании Лоренца для скорости v, направленной, скажем, вдоль отрицательного направления х, время t связано со временем  t′ формулой

и теперь наша амплитуда меняется так:

В штрихованной системе она меняется в пространстве и во времени. Если амплитуду записать в виде

то видно, что Е′_р = E₀/√1—v²/c². Это энергия, вычисленная по классическим правилам для частицы с энергией покоя Е₀, движущейся со скоростью v;  p′= Е′_рv/c² — соответствующий импульс частицы.
 
Вы знаете, что х_μ = (t, х, у, z) и p_μ= (Е, р_х, р_y , p_z) — четырехвекторы, а р_μх_μ = Et – р·х — скалярный инвариант. В системе покоя частицы р_μх просто равно Et; значит, при преобразовании в другую систему Et следует заменить на

Итак, амплитуда  вероятности для частицы, импульс которой есть р, будет пропорциональна

где Е_р— энергия частицы с импульсом р, т. е.

а Е₀, как и прежде,—энергия покоя. В нерелятивистских задачах можно писать

где   W_p— избыток (или   нехватка) энергии  по сравнению с энергией покоя М_sс² частей атома. В общем случае в W_р должны были бы войти и кинетическая энергия атома, и его энергия связи или возбуждения, которые можно назвать «внутренней» энергией. Тогда мы бы писали

Мы собираемся все расчеты вести нерелятивистски, так что именно таким видом амплитуд вероятностей мы и будем пользоваться.
 
Заметьте, что наше релятивистское преобразование снабдило нас формулой для изменения амплитуды атома, движущегося в пространстве, не требуя каких-либо добавочных допущений. Волновое число ее изменений в пространстве, как это следует из  (5.9),  равно

Это та самая длина волны, которую мы раньше использовали для частиц с импульсом р. Именно таким путем де-Бройль впервые пришел к этой формуле. Для движущейся частицы частота изменения амплитуды по-прежнему дается формулой

Абсолютная величина (5.9) равна просто единице, так что для частицы, движущейся с определенной энергией, вероятность обнаружить ее где бы то ни было — одна и та же повсюду и со временем не меняется. (Важно отметить, что амплитуда — это комплексная волна. Если бы мм пользовались вещественной синусоидой, то ее квадрат от точки к точке менялся бы,  что  было бы  неверно.)
 
Конечно, мы знаем, что бывают случаи, когда частицы движутся от одного места к другому, так что вероятность зависит от положения и изменяется со временем. Как же нужно описывать такие случаи? Это можно сделать, рассматривая амплитуды, являющиеся суперпозицией двух или большего числа амплитуд для состояний с определенной энергией. Такое положение мы уже обсуждали в гл. 48 (вып. 4). причем именно для амплитуд вероятности! Мы нашли тогда, что сумма двух амплитуд с разными волновыми числами k (т. е. импульсами) и частотами ω (т. е. энергиями) приводит к интерференционным буграм, или биениям, так что квадрат амплитуды меняется и в пространстве, и во времени. Мы нашли также, что эти биения движутся с так называемой «групповой скоростью», определяемой формулой

где Δk и Δω — разности волновых чисел и частот двух волн. В более сложных волнах, составленных из суммы многих амплитуд с близкими   частотами,  групповая скорость равна

а это как раз классическая скорость частицы. Даже применяя нерелятивистские выражения, мы будем иметь

т. е. опять классическую скорость.
 
Результат наш, следовательно, состоит в том, что если имеется несколько амплитуд для чистых энергетических состояний с почтя одинаковой энергией, то их интерференция приводит к «всплескам» вероятности, которые движутся сквозь пространство со скоростью, равной скорости классической частицы с такой же энергией. Но нужно, однако, заметить, что, когда мы говорим, что можем складывать две амплитуды с разными волновыми числами, чтобы получать пакеты, отвечающие движущейся частице, мы при этом вносим нечто новое — нечто, не выводимое из теории относительности. Мы сказали, как меняется амплитуда у неподвижной частицы, и затем вывели из этого, как она должна была бы меняться, если бы частица двигалась. Но из этих рассуждений мы не в состоянии вывести, что случилось бы, если бы были две волны, движущиеся с разными скоростями. Если мы остановим одну из них, мы не сможем остановить другую. Так что мы втихомолку добавили еще одну гипотезу: кроме того, что (5.9) есть возможное решение, мы допускаем, что у той же системы могут быть еще решения со всевозможными р и что различные члены будут интерферировать.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: