Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 8 >> Глава 9. Еще системы с двумя состояниями

Решение уравнений для двух состояний

Теперь можно писать наше уравнение двух состояний в различных видах, например:

Оба они означают одно и то же. Для частицы со спином ¹/₂ в магнитном поле гамильтониан H дается уравнением (9,8) или (9.13).
 
Если поле направлено по z, то, как мы уже много раз видели, решение заключается в том. что состояние | ψ>, каким бы оно ни было, прецессирует вокруг оси z (в точности, как если бы взять физическое тело и вращать его как целое вокруг оси z) с угловой скоростью, вдвое большей, чем μВ/h. Все это, конечно, относится и к магнитному полю, направленному под другим углом, ведь физика от системы координат не зависит. Если магнитное поле время от времени как-то сложно меняется, то такое положение вещей можно анализировать следующим образом. Пусть вначале спин был в направлении +z, а магнитное поле — в направлении х. Спин начал поворачиваться. Если выключить x;-поле, поворот прекратится. Если теперь включить z-поле, спин начнет поворачиваться вокруг г и т. д. Значит, смотря по тому, как меняются поля во времени, вы можете представить себе, каким будет конечное состояние — по какой оси оно будет направлено. Затем можно отнести это состояние к первоначальным |+> и | — > по отношению к z, пользуясь проекционными формулами, полученными в гл. 8 (или в гл. 4). Если в конечном состоянии спин направлен по (θ, φ), то амплитуда того, что спин будет смотреть вверх, равна cos (θ/2)е^–¡φ/2, а амплитуда того, что спин будет смотреть вниз, равна sin (θ/2)е^+¡φ/2. Это решает любую задачу. Таково словесное описание решений дифференциальных  уравнений.
 
Только что описанное решение достаточно общо для того, чтобы справиться с любой системой с двумя состояниями. Возьмем наш пример с молекулой аммиака, на которую действует электрическое поле. Если система описывается на языке состояний |/> и |//>, то уравнения выглядят так:

Вы скажете: «Нет, там, я помню, стояло еще Е₀». Неважно, мы просто сдвинули начало отсчета энергий, чтобы Е₀ стало равно нулю. (Это всегда можно сделать, изменив обе амплитуды в одно и то же число раз — в e^iE₀T/h; так можно избавиться от любой постоянной добавки к энергии.) Одинаковые уравнения обладают одинаковыми решениями, поэтому не стоит решать их вторично. Если взглянуть на эти уравнения и на (9.1), то их можно отождествить между собой следующим образом. Состояние |+> обозначим | />, состояние | —> обозначим | II>. Это вовсе не значит, что мы выстраиваем аммиак в пространстве в одну линию или что |+> и | — > как-то связаны с осью z. Это все делается чисто искусственно. Имеется искусственное пространство, которое можно было бы назвать, например, «модельным пространством молекулы аммиака» или еще как-нибудь иначе. Это просто трехмерная «диаграмма», и направление «вверх» означает пребывание молекулы в состоянии |/>, а направление «вниз» по фальшивой оси z означает пребывание молекулы в состоянии |II>. Тогда уравнения отождествляются следующим образом.
 
Прежде всего вы видите, что гамильтониан может быть записан через матрицы сигма:

Если сравнить это с (9.1), то μB_z будет соответствовать –А, a μB_x будет соответствовать –μE. В нашем «модельном» пространстве возникает, стало быть, постоянное поле В, направленное по оси z. Если есть, кроме этого, электрическое поле E, меняющееся со временем, то у поля В появится и пропорционально меняющаяся x-компонента. Таким образом, поведение электрона в магнитном поле с постоянной составляющей в направлении z  и колеблющейся составляющей в направлении х математически во всем подобно и точно соответствует поведению молекулы аммиака в осциллирующем электрическом поле. К сожалению, у нас нет времени входить глубже в детали этого соответствия или разбираться в каких-либо технических деталях. Мы только хотели подчеркнуть, что можно сделать так, чтобы все системы с двумя состояниями были аналогичны объекту со спином ¹/₂, прецессирующему в магнитном поле.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: