На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









Решения и ответы

КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
 
К главе 1. Амплитуды вероятности
 
1.1. Вероятность  того, что частица достигнет экрана в точке х, если открыта щель 1, равна

Маленькое изображение
 

Учитывая симметричное расположение щелей и предполагая, что источник испускает частицы изотропно, можно записать

Маленькое изображение
 

Считая щели бесконечно узкими, можно воспользоваться формулой (1.7) «Лекций» (вып. 8, стр. 14). Тогда с точностью до несущественного численного множителя

Маленькое изображение
 

Задача нахождения максимума Р12 как функции х приводит к трансцендентному уравнению, получающемуся из условия dP12(x)/dx=0. Для простоты будем предполагать I » а, l»х. При этом величины l1 и l2, в знаменателе Р12 можно принять равными,

Маленькое изображение
 

тогда   как в  фазовых   множителях   необходимо   учитывать разность хода лучей,

Маленькое изображение
 

Тогда, вынося  за  скобки   в Р12 первую экспоненту, получаем выражение

Маленькое изображение
 

Максимумы  этого   выражения,  очевидно,  определяются условием

Маленькое изображение
 

Пусть расстояние между центральным (n = 0) и первым боковым (n =1) максимумами равно b, тогда

Маленькое изображение
 

В рассматриваемом приближении величины P1 и Р2 одинаковы и не зависят от х. Фактически, однако, из-за конечной ширины щели, а также зависимости l1 и /2 от х, эти величины будут плавно зависеть от х. При этом положение максимумов и минимумов P12 будет определяться практически прежним условием. Если фазы двух волн совпадают (максимум), то, очевидно,

Маленькое изображение
 

Для центрального максимума из рис. 1.1 «Лекций» (вып. 8, стр. 11) найдем Р1 = P2 = 0,5, P12 = 1,9 (в произвольных единицах).  Расчет дает

Маленькое изображение
 

Для первого бокового максимума, согласно рисунку, P1 = 0,3, Р2=0,65, Р12 = 1,3, тогда как расчетное значение Р12 = 1,8. Для первого минимума P1 = 0,4, P2 = 0,6, Р12 = 0,1 и

Маленькое изображение
 

1.2. а) Если источник сдвинуть вверх на расстояние D, то разность фаз двух лучей, приходящих в точку х, очевидно, составит Δφ = k(LiL1 + l2l1), где

Маленькое изображение
 

— расстояния от источника до щелей 1 и 2 соответственно; L—расстояние от источника до преграды, в которой прорезаны щели. Величины /1 l2, а и k те же, что в предыдущей задаче. Принимая a«L и х«l, получаем Δφ ≈ (ka/l)(x+Dl/L). Таким образом, разность фаз для точки х в рассматриваемом случае совпадает с разностью фаз для точки x′=x+Dl/L в случае, когда источник находится на осевой линии. Следовательно, вся интерференционная картина сместится вниз на расстояние DI/L по сравнению с рассмотренной в предыдущей задаче,
   б) Согласно результатам предыдущей задачи, расстояние между двумя соседними максимумами определяется формулой

Маленькое изображение
 

Следовательно, если увеличить вдвое расстояние а между щелями, то расстояние между максимумами уменьшается вдвое. Вся интерференционная картина «сожмется» по оси х в масштабе 1:2.
   в) Поскольку ширина щели считается бесконечно малой (т. е. разность хода лучей, проведенных через разные точки щели, равна нулю), то изменение ширины щели 1 вдвое приведет лишь к увеличению вдвое амплитуды волны в точке 1, т. е.

Маленькое изображение
 

Сравнивая это выражение с результатом задачи 1.1, убеждаемся, что при увеличении ширины одной из щелей вдвое максимумы интенсивности увеличатся в 9/4 раза, а в минимумах она не обращается в нуль, а составляет 1/4 интенсивности в прежних максимумах.
 
1.3. Интенсивность прошедшего света будет в cos2 θ раз слабее, чем падающего. Единичный фотон может либо пройти, либо не пройти через поляроид. Вероятность прохождения фотона, поляризованного в вертикальной плоскости, равна cos2θ, причем прошедший фотон будет поляризован вдоль «оси пропускания».
 
1.4. Электроны, проходя через кристалл, испытывают дифракцию так же, как, например, рентгеновские лучи. Дифракция рентгеновских лучей на кристаллической решетке обсуждалась в гл. 38 вып. 3. Там отмечалось, что для рассмотрения такой дифракции удобно ввести представление об интерференции лучей, отраженных от системы параллельных атомных плоскостей. При этом условие максимума

Маленькое изображение
 

здесь d —расстояние между соседними атомными плоскостями; λ—длина волны; 2θ —угол между падающим лучом и направлением на дифракционный максимум. В кристалле можно выделить много систем таких плоскостей, характеризующихся различными значениями d. Отметим, что для решетки золота (кубической гранецентрированной) максимальное d равно постоянной кристаллической решетки а≈2,88·1010 м, следующее за ним равно а/√2, и т. п.
 
Рассмотрим теперь, к чему приведет хаотическая ориентация отдельных кристаллов в поликристаллической фольге. Если λ < 2d, то среди кристалликов фольги обязательно найдутся такие, для которых условие максимума выполнено. Далее, поскольку кристаллики имеют всевозможные ориентации, то дифракционная картина будет симметрична относительно направления пучка. В результате на фотопластинке области почернения будут иметь форму концентрических колец с центром на оси пучка и с радиусом

Маленькое изображение
 

здесь L —расстояние от фольги до фотопластинки. Первому кольцу соответствует n = 1 и максимальное значение d. Вычислим теперь радиусы первых колец. Длина волны для электронов с кинетической энергией W равна

Маленькое изображение
 

При вычислении следующих радиусов нужно учитывать, что новые максимумы соответствуют не только новым значениям d, но и значениям n > 1.
 
1.5. Пусть l1 и l2 —расстояния от щелей 1 и 2 до точки х на экране. Тогда суммарная амплитуда появления электрона в точке х будет пропорциональна

Маленькое изображение
 

Величины l1 и l2 выражаются через I, а и х так же, как в задаче 1.1. При малых а (а«l) и х(х«l) имеем

Маленькое изображение
 

1.6. а)  Амплитуду попадания частицы в точку x  запишем в виде

Маленькое изображение
 

где   φ2φ1= kxd/L.   Для   первого   бокового  максимума φ2φ1= 2π, x=a. Таким образом, a = 2πhL/p0d.
   б) Если внешнее воздействие меняет фазы первого и второго лучей соответственно на величины δφ1 и δφ2, то

Маленькое изображение
 

Центральный максимум будет расположен в точке x0 =S, для которой φ2—φ1 = 0. Следовательно,

Маленькое изображение
 

   в) В силу закона сохранения энергии

Маленькое изображение
 

Здесь F= (dV/dx)x=0, v = p(0)/m—начальная скорость частицы.
   г) Среднее  изменение   разности  фаз двух   лучей   выразим через среднюю разность импульсов Δр:

Маленькое изображение
 

Поскольку среднее вертикальное расстояние между двумя путями равно d/2, то Δр = Fd/2v. Тем самым приведенное в условии задачи выражение для (δφ1 —δφ2) доказано. Используя результат, полученный в пункте (б), находим величину сдвига интерференционной картины:

Маленькое изображение
 

Величины a = F/m и T = L/v совпадают с классическими значениями ускорения и времени пролета частицы. Сдвиг интерференционной картины отвечает, таким образом, величине отклонения классической частицы под действием постоянной силы F за время T=L/v.
 
1.7. а) Поскольку источником испускаются только электроны со спином «вверх», то амплитуда попадания электрона в точку х

Маленькое изображение
 

т. е.   картина   распределения   интенсивностей  такая   же, как и без учета спина,  изменятся лишь абсолютные значения интенсивности.
   б) Если спины  электронов,   вылетающих из источника, направлены вниз, имеем

Маленькое изображение
 

   в) Если направление спинов случайно, то вероятности иметь спин «вверх» и «вниз» равны, так что

Маленькое изображение
 

1.8.  Пусть α —амплитуда прохождения первой  щели,  тогда амплитуда прохождения второй щели равна  0,1αе¡φ,   где φ — произвольная  фаза.   Полная   амплитуда  для   максимума в картине интенсивности будет  пропорциональна  (α+ 0,1α) (фаза φ скомпенсируется  разностью хода двух лучей).   Для минимума     соответственно     амплитуда     пропорциональна (α—0,1α). Следовательно, отношение интенсивностей в максимуме и минимуме равно

Маленькое изображение
 

1.9.   Поскольку  попадания   фотонов,   испущенных   источниками А и В в детектор a,— события принципиально различимые, то скорость счета первого счетчика

Маленькое изображение
 

где  N — число фотонов,  испускаемых  каждым  источником в единицу времени. Аналогично

Маленькое изображение
 

Одновременное попадание фотонов в детекторы а и b может произойти несколькими способами:
   1)  фотон, испущенный источником А, попадает в детектор а, а фотон из источника В попадает в детектор b;
   2)  фотон из источника В попадает в детектор а, а фотон из источника А попадает в детектор b;
   3) в  оба детектора  попадают фотоны  из источника А (это  не  значит,  конечно,  что  в детекторы а и b попадает один   и  тот же фотон —ведь   имеется   непрерывный   поток фотонов);
   4) в оба  детектора   попадают  фотоны   из источника В. Способы 1 и 2 неразличимы, так что соответствующие амплитуды должны  складываться   (при  этом  предполагается, что фотоны из источников A и В имеют одинаковую энергию). Но способы 3 и 4 в принципе можно отличать как один от другого, так и от первых двух способов (представьте, что один из источников «выключен»!). Поэтому здесь уже будут складываться только вероятности, но не амплитуды. Таким образом, можно записать

Маленькое изображение
 

так что аргумент косинуса 2k (R2 — R1) ≈ 2πDd/Rλ. Ясно, что если изменять d (расстояние между детекторами), то скорость счета совпадений будет периодически меняться. Оценим порядок величины периода Δd.
Примем λ= 5·107 м, R = 1017 м (расстояние до ближних звезд), D =1011 м (диаметр звезды может быть сравним с расстоянием от Солнца до планет). Тогда Δd=/D = 0,5м, т. е. эту величину нетрудно измерить. Таким образом, «диаметр звезды» D можно определить из соотношения

Маленькое изображение
 

где d1 и d2 —два ближайших значения d, при которых скорость счета совпадений одинакова, например максимальна.
 
К главе 2. Тождественные частицы
 
2.1. а) Энергия кванта связана с частотой отношением ε=hv. Подставляя сюда h = 6,626·10-34 дж·сек, v = 106 сек-1 получаем

Маленькое изображение
 

   б) При мощности радиопередатчика 106 вт за каждый период колебаний Т=10-6 сек излучается энергия Е= 103 квт x 10-6 сек= 1 дж. Следовательно, за период будет испущено

Маленькое изображение
 

2.2. Формула Планка для спектрального распределения энергии излучения абсолютно черного тела имеет вид

Маленькое изображение
 

Здесь V —объем  полости,   k—постоянная   Больцмана,   Т — абсолютная температура. Будем рассматривать величину

Маленькое изображение
 

   б)  Максимум спектра   /(ω)  определим,   приравнивая   нулю производную  функции   f (х) = х3/(ех — 1),   где x = /kT.
Это условие приводит к трансцендентному уравнению

Маленькое изображение
 

Его удобно решать графически или последовательными итерациями. В качестве первой итерации можно взять x(1)=3 a каждое следующее приближение определится соотношением

Маленькое изображение
 

Таким образом,  максимум  спектра / (ω) приходится на частоту

Маленькое изображение
 

   в) Распределение энергии по длинам волн (λ = 2πс/ω) можно получить, преобразуя формулу Планка:

Маленькое изображение
 

Максимум функции  f(x) = x5/(ex1),  где   х = 2πhc/λkT определится трансцендентным уравнением

Маленькое изображение
 

единственное решение которого х ≈4,965.
Следовательно,    максимум  плотности   распределения энергии по длинам волн отвечает величине

Маленькое изображение
 

   г) Полагая λm = 5·10 -7 м и учитывая, что h = 1,054·10 -34 дж·сек, с = 3·108 м/сек, k = 1,38·10 -23 дж/град, получаем оценку для температуры на поверхности Солнца:

Маленькое изображение
 

2.3.   Чтобы выстроить спины обоих электронов атома гелия в одном направлении, нужно вследствие принципа запрета перевести один   из электронов   на  возбужденный   уровень и сообщить при этом атому энергию ΔE = hω, где ω —частота (видимого) света,   испускаемого   при   переходе   электрона   с   верхнего уровня на нижний. Эта энергия может быть сообщена атому внешним магнитным полем,   взаимодействующим с собственным магнитным моментом электрона. При изменении направления спина в магнитном поле энергия электрона изменится на величину 2μ0B, где

Маленькое изображение
 

(qe и m —заряд и масса электрона). Следовательно, магнитное поле, необходимое для «переворачивания» спина одного из электронов в атоме гелия, должно быть больше (или равно) величины

Маленькое изображение
 

Принимая λ = 5·10 -7, получаем В ≈2·104 вебер/м2.
 
2.4. Если бы ядра состояли из  протонов и электронов, то в ядре атома   азота   содержалось  бы   14 протонов и 7 электронов, поскольку  заряд   ядра   азота   равен   +7qe.   Кроме того, в электронной оболочке атома должно быть еще 7 электронов. Следовательно, всего в атоме азота содержалось бы 28 ферми-частиц. Суммарный собственный момент количества движения (спин) такой системы должен быть целым, поэтому атом азота в целом вел бы себя как бозе-частица.   Такое  противоречие с экспериментом,   известное в истории  ядерной  физики как «азотная катастрофа»,   легко снимается,   если предположить существование  электрически   нейтральной   ядерной  частицы (нейтрона) с массой, близкой к массе протона, и с полуцелым спином. Тогда ядра состоят из протонов и нейтронов, так что атом азота содержит 7 протонов и 7 нейтронов в ядре и 7 электронов в электронной оболочке. Спин такой системы будет полуцелым и атом азота, следовательно, должен быть ферми-частицей.
 
2.5. а) Амплитуды вероятности испускания фотона возбужденным атомом при наличии n других точно таких же фотонов равны

Маленькое изображение
 

а амплитуды перехода атома на более высокий уровень (амплитуды вероятности поглощения фотона)

Маленькое изображение
 

Здесь индексы 0, 1, 2 указывают номера атомных состояний до и после испускания или поглощения фотона. Наличие двух констант и b) связано с возможными различиями амплитуд переходов между разными парами уровней. При тепловом равновесии число атомов в каждом из состояний должно оставаться неизменным, так что скорости перехода в данное состояние и выхода из него должны быть одинаковы, т. е.

Маленькое изображение
 

Второе уравнение при этом удовлетворяется тождественно. С другой стороны, из статистической механики известно N (E)/N 0)= ехр [0E)/kT]. Подставляя сюда E0 = 0, E1= ΔE,  E2= 2ΔE   получаем

Маленькое изображение
 

   в) При   малых частотах   (hω « kT)   получим n (ω) = кТ/hω. Таким   образом,   число низкочастотных   фотонов   велико. Поскольку   энергия одного  фотона равна  hω,  то полная энергия   всех фотонов с данной   частотой   равна  kT, что отвечает средней тепловой энергии классического гармонического осциллятора. При высоких частотах (»kT) имеем n(ω) = ехр(—hω/kT), т. е. число низкочастотных фотонов весьма мало.
 
2.6.  Нейтрино является  фермионом,   поэтому в одном и том же состоянии, согласно  принципу  запрета,   может находиться не больше одной частицы.   Следовательно,   нельзя получить поток нейтрино с высокой степенью когерентности; «нейтринный лазер» невозможно создать принципиально.
 
2.7.  Обозначим   амплитуду   перехода   первой  частицы  из  а в b (в отсутствие другой частицы) через <b| а>, а амплитуду перехода второй частицы из с в d —через <d |с>. Тогда соответствующие вероятности Раb = | <b | a> |2, Pcd = | <d | с> |2. Если частицы не взаимодействуют,   то амплитуда одновременного перехода  первой   частицы   из а в b и второй   частицы из с в d в случае  нетождественных частиц  равна  произведению амплитуд переходов каждой из частиц:

Маленькое изображение
 

Если частицы тождественны, то рассмотренный переход невозможно отличить от одновременного перехода первой частицы из а в d и второй частицы из с в b. Тогда вероятность перехода (а, b) → (с, d) равна

Маленькое изображение
 

что отличается  от  простого   произведения вероятностей Раb и Pcd.
 
2.8. Система двух дейтронов может находиться в девяти различных спиновых состояниях (3 состояния дейтрона—мишени X 3 состояния падающего дейтрона). Если дейтроны и в мишени и в пучке неполяризованы, то вероятность каждого из таких состояний равна 1l9. Если оба дейтрона имеют одинаковые проекции спинов, то вероятность рассеяния равна

Маленькое изображение
 

а поскольку возможны три таких состояния, то вклад в полную вероятность рассеяния от состояний с одинаковыми проекциями спинов равен

Маленькое изображение
 

Если проекции спинов дейтронов различны, то случай рассеяния одного из дейтронов на угол θ и соответственно второго на угол (π — θ) в принципе можно отличить от случая рассеяния первого дейтрона на угол (π — θ), а вто рого на угол θ. Тогда должны складываться не амплитуды, а вероятности:

Маленькое изображение
 

У системы двух дейтронов может быть 6 различных состояний, в каждом из которых проекции спинов дейтронов не совпадают (три проекции спина мишени, и для каждой из этих проекций две отличные от нее проекции спина пучка). Поэтому вклад в полную вероятность рассеяния от таких состояний равен

Маленькое изображение
 

2.9. а) Будем считать, что при достаточно большой отдаче (отвечающей большим углам рассеяния) протон или нейтрон, на котором произошло рассеяние, обязательно вылетает из ядра. Кроме того, не будем учитывать возможности вторичного рассеяния π-мезона и протона (нейтрона). Тогда случаи рассеяния π-мезона на каждом из протонов и нейтронов можно различить, так что полная вероятность рассеяния на угол θ получается суммированием вероятностей рассеяния на каждой из частиц ядра

Маленькое изображение
 

   б) Если отдача настолько слаба (т. е. угол рассеяния достаточно мал), что ядро после рассеяния остается со 100%-ной вероятностью «неповрежденным», то невозможно определить, на какой из частиц ядра произошло рассеяние. В этом случае складываются амплитуды, так что вероятность рассеяния π-мезона на ядре гелия

Маленькое изображение
 

Представим амплитуды рассеяния π-мезона на протоне и нейтроне в виде

Маленькое изображение
 

Для сравнения величин Ра и Рb будем считать, помимо сделанных выше предположении, что разность фаз (φ1—φ2) близка к нулю. (Эксперименты по рассеянию мезонов подтверждают это для широкой области энергий мезонов и углов рассеяния.)   Тогда,   очевидно, Рb значительно больше, чем Ра , если только величины Р1 и Р2 не слишком сильно меняются при переходе от малых θ (при которых рассматривается Рb ) к большим (таким, чтобы отдача была велика).
 
Интересно отметить, что если f1 ≈ f2, то вероятность неупругого рассеяния Ра пропорциональна числу частиц в ядре, тогда как вероятность упругого рассеяния Рb пропорциональна квадрату числа частиц в ядре (эффект когерентности).
 
2.10. а) Вероятность регистрации нейтрона детектором равна

Маленькое изображение
 

   б) В этом случае спин нейтрона, попавшего в счетчик, может быть направлен как вверх, так и вниз. Нейтрон со спином «вверх» может оказаться в счетчике двумя способами: либо нейтрон пучка рассеется на угол θ без поворота спина, либо он рассеется на угол (π—θ) с «переворотом» спина (в счетчик при этом попадет нейтрон отдачи). Эти два способа неразличимы, поэтому вероятность попадания в счетчик нейтрона со спином «вверх» равна

Маленькое изображение
 

Аналогично, если регистрируемый нейтрон имеет спин, направленный вниз, получим

Маленькое изображение
 

Полная вероятность, таким образом, равна 2|f+g|2.
   в)  В этом случае равновероятны два  начальных состояния:
1) нейтроны пучка и мишени поляризованы вдоль оси +z:
2)  у нейтронов пучка спин направлен вниз, а у нейтронов мишени —вверх.
 
В первом из этих состояний вероятность рассеяния равна нулю [см. пункт (а)], а во втором 2|f+g|2, в полной аналогии с пунктом (б). Поэтому полная вероятность равна |f+g|2.
   г)  Имеется  четыре   возможных   начальных   состояния:   два с параллельными  спинами   (оба  «вверх»  или оба «вниз», причем вероятность   рассеяния  здесь   равна нулю) и два с  антипараллельными   спинами.   Вероятность   рассеяния в    состоянии    с    антипараллельными    спинами    равна 2|f+g|2.   Учитывая,   что   вероятность   иметь  любое из начальных состояний равна 1/4, получаем полную вероятность регистрации нейтрона

Маленькое изображение
 

   д) Хотя  в данном случае детектор одинаково реагирует на протоны и  нейтроны,   в  принципе их можно различить. Поэтому вероятность регистрации рассеянной частицы под углом θ равна

Маленькое изображение
 

2.11. а) Из законов сохранения энергии и импульса следует, что в системе центра масс абсолютные значения импульсов обоих протонов до и после столкновения равны между собой:

Маленькое изображение
 

Скорость системы центра масс относительно лабораторной системы координат равна скорости протона мишени в системе центра масс: V = p/m и совпадает с направлением импульса p1. Импульс рассеянного протона в лабораторной системе координат будет равен

Маленькое изображение
 

   б) В детекторе может появиться протон со спином «вниз» либо в результате рассеяния первого протона на угол θ с «переворотом» спина, либо в результате рассеяния без «переворота» спина на угол (π—θ), так что будет зарегистрирован второй протон. Общая амплитуда вероятности в этом случае равна

Маленькое изображение
 

   в) Возможны 4 комбинации направлений спинов налетающих протонов и протонов мишени. Две из них соответствуют параллельным, а две —антипараллельным спинам. В каждом из последних двух случаев имеется по два конечных состояния:
1)   направление спина регистрируемого протона совпадает с первоначальным [амплитуда f′(θ)+g(π—θ)];
2)  спин  регистрируемого   протона   «перевернут»   по сравнению   с   направлением   спина   падающего   протона [амплитуда f (π—θ)+g(θ)].
Полная вероятность регистрации протона в направлении θ будет равна сумме вероятностей каждого из указанных   процессов,   взятых   с   весом   1/4.   В   результате получаем

Маленькое изображение
 

Таким образом, А = 3/4, B = 1/4. Первое, слагаемое в этой формуле отвечает рассеянию протонов в состоянии с суммарным спином 1, а второе слагаемое отвечает рассеянию в состоянии с суммарным спином 0.
 
2.12. Согласно принципу запрета, в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона, поэтому энергия системы будет иметь наименьшее возможное значение, если электроны заполнят все состояния с энергиями от наименьшей (εмин = 0) до наибольшей εмакс = р2макс/2m, величина которой определяется числом электронов в объеме V. Количество квантовых состояний (мод) поступательного движения электрона с волновым числом k = p/h в интервале от k до k+dk равно V·4πk2dk/(2π)3. Умножая эту величину на 2, что отвечает двум возможным проекциям спина электрона, и интегрируя по импульсам электронов от 0 до pмакс получаем полное число N электронов в объеме V в состоянии с наименьшей возможной энергией:

Маленькое изображение
 

Полная энергия U складывается из энергий электронов, находящихся в различных квантовых состояниях:

Маленькое изображение
 

Давление  этого  «вырожденного   электронного»   газа   легко найти, если воспользоваться соотношением

Маленькое изображение
 

2.13. Подставляя в формулу для давления из предыдущей задачи значение N/V=ρ/2Mp, получаем

Маленькое изображение
 

Отсюда видно, в частности, что вклад в давление от частиц данного сорта обратно пропорционален их массе, поэтому можно считать, что все давление создается «вырожденным электронным» газом, так как масса ядра много больше массы электрона.
Второе из уравнений, приведенных в условии задачи, можно получить, рассматривая условие равновесия элемента массы под действием сил гравитации и давления. На элемент вещества звезды, занимающий единичный объем и находящийся на расстоянии r от центра звезды, действует гравитационная сила GρM (r)/r2 [М (r) — масса, заключенная .внутри сферы радиуса r] и сила давления, равная —dP/dr, так что в условиях равновесия

Маленькое изображение
 

означает просто, что шаровой слой радиусом r и толщиной dr имеет объем dV = 4πr2dr и, следовательно, содержит массу

Маленькое изображение
 

К главе 3. Спин единица
 
3.1. Воспользуемся имеющейся в «Лекциях» подсказкой: представим, что между А и В стоит прибор Т, в котором открыты  все три  «пути». Наличие  этого  прибора   ничего  не меняет, но дозволяет говорить, что частица, входя в прибор А в состоянии φ, попадает в прибор В в одном из трех возможных состояний +  Т, 0Т или —Т.
Амплитуда того, что частица, войдя в прибор A в состоянии φ, выйдет из него в состоянии k(k=+T, 0Т, —T), в этом же состоянии войдет в прибор В и выйдет в состоянии x равна

Маленькое изображение
 

3.2. Распределение пучка по трем состояниям (j=+S, 0S, —S) после прохождения системы STS будет определяться амплитудами

Маленькое изображение
 

где  φ — произвольное  начальное  состояние, а  j —любое  из трех конечных состояний.
Если в приборе Т открыта лишь одна щель, то относительное распределение в конечном состоянии не зависит от того, с какой амплитудой (<¡S | φ>) было представлено каждое из состояний в начальном пучке. Действительно, в этом случае из суммы по k остается один член

Маленькое изображение
 

так что отношение вероятностей найти частицу в состояниях j и j′ не зависит от величин <¡S | φ>

Маленькое изображение
 

Если же в приборе Т открыты две или три щели, то величины <¡S | φ> не сокращаются, т. е. отношение вероятностей зависит от начального состояния.
 
3.3. а) Вычислим сначала амплитуды

Маленькое изображение
 

где φ —начальное состояние. По условию задачи |<+S | φ>|2 = N1/N (N — интенсивность пучка частиц, входящих в первый прибор S). Поскольку в приборе Т открыты щели 0 T и —T, то iT может принимать значения и —Т. Амплитуды <¡T| + S> найдем по формулам (3.38) («Лекции», вып. 8, стр. 8,0) (α=π/2):

Маленькое изображение
 

Маленькое изображение
 

   б) Интенсивность N3 пучка, прошедшего последний прибор S, определяется квадратом модуля амплитуды

Маленькое изображение
 

Величины <–S |¡Т> можно найти, воспользовавшись той же формулой (3.38) и соотношением <jS | iT> = <¡Т | jS>*. В результате получим

Маленькое изображение
 

в) Если все щели в приборе Т открыты, то он фактически не влияет на прохождение частиц, так что, очевидно, N2= N1 N3 = 0.
 
3.4. Найдем прежде всего амплитуды . Прибор Т повернут относительно S на угол π/2 вокруг оси х. Этот поворот можно представить как три последовательных поворота: на угол —π/2 вокруг оси z, на угол π/2 вокруг новой оси у′ и на угол π/2 вокруг новой оси z″. Поэтому

Маленькое изображение
 

где Т′ и Т″ относятся к промежуточным системам координат. Величины, входящие в правую часть этой формулы, можно определить по формулам (3.38) и (3.39) «Лекций» (вып. 8, стр. 80). Выполняя соответствующие выкладки (их удобно делать в матричной форме), найдем матрицу амплитуд <jT | iS>:

Маленькое изображение
 

   а) Если никаких детекторов в приборе Т нет, то число частиц, выходящих из Sв состоянии |jS′>, определится квадратом модуля амплитуды

Маленькое изображение
 

Функции преобразования <kT | 0S> имеются в только что составленной таблице, a <jS| kT> также можно получить из этой таблицы, учитывая, что

Маленькое изображение
 

и тот факт, что приборы  S  и  S   ориентированы   одинаково, так что

Маленькое изображение
 

   б) Если же в приборе Т установлены «прозрачные детекторы», регистрирующие прохождение частиц в состояниях и —Т, то число частиц, выходящих из прибора Sв состоянии jS, будет равно сумме чисел частиц в этом состоянии, находившихся в промежуточных состояниях + Т и — Т, поскольку регистрация промежуточных состояний устраняет интерференцию соответствующих амплитуд. (Чтобы лучше это понять, полезно вспомнить § 2 гл. 1, вып. 8 «Лекций».) Таким образом,

Маленькое изображение
 

   в)  Если  числа  отсчетов   N+T,   N_T   не регистрируются (но сами «прозрачные детекторы» срабатывают), то это, естественно, не влияет на значения N±S′, N0S′.
   г)  Если    половина   частиц,   пролетающих   через   детекторы в приборе Т, не взаимодействует с ними, то полное число частиц в состоянии   jS′   будет полусуммой числа частиц, которые были бы при стопроцентной эффективности счетчиков и в случае, когда счетчики отсутствуют. Тогда

Маленькое изображение
 

   д) Рассмотрим теперь случай, когда все перегородки из прибора S и счетчики из прибора Т удалены и в прибор S поступает N0 частиц в единицу времени. Тогда наличие прибора S никак не влияет на результат. Если падающий пучок не поляризован, то можно считать, что в прибор Т поступает по N0/3 частиц в состояниях +Т, 0Т и —Т, причем между соответствующими амплитудами интерференция отсутствует. Учитывая, что пучок частиц в состоянии 0T блокирован, находим

Маленькое изображение
 

К главе 4. Спин одна вторая
 
4.1. Амплитуду   вероятности  появления  атома в точке Q можно записать в виде произведения

Маленькое изображение
 

Здесь <iS |P> —амплитуда вероятности иметь на выходе первого прибора частицу в состоянии iS. Поскольку пучок атомов неполяризован и прибор пропускает лишь атомы в состоянии +S, то

Маленькое изображение
 

Далее второй прибор пропускает только атомы, находящиеся в состоянии +T, поэтому <Q | jТ> = δjT, . Таким образом, число атомов, попадающих в точку Q, равно

Маленькое изображение
 

Величина < +T |+S> представляет собой амплитуду вероятности того, что частица со спином «вверх» в системе координат S, характеризующей первый прибор, будет иметь спин «вверх» в системе координат Т, связанной со вторым прибором. Положение повернутой системы координат будем характеризовать   углами   Эйлера.   Тогда,   согласно  табл.   4.1 (см. «Лекции», вып. 8, стр. 105), имеем

Маленькое изображение
 

Угол α есть угол между  осями z и z′ в исходной (S) и повернутой  (Т)  системах  координат.  Теперь  рассмотрение частных случаев не представляет труда:

Маленькое изображение
 

4.2. Пусть прибор регистрирует частицы в том случае, если оии находятся в некотором состоянии спина φ. Тогда амплитуда вероятности  зарегистрировать  частицу в состоянии ψ равна

Маленькое изображение
 

Обозначая <+z | ψ> и <–z|ψ> (амплитуда вероятностей иметь в состоянии ψ направление спина «вверх» и «вниз») соответственно через a и b, а <φ |+z> и <φ| –z> через X и Y (амплитуды вероятности регистрации частицы, имеющей направление спина «вверх» и «вниз» соответственно), получаем

Маленькое изображение
 

1) Если спин частицы направлен вверх (или, что то же самое, вдоль оси + z), то а = 1, b = 0 и, следовательно,

Маленькое изображение
 

2) Если спин направлен вдоль оси с полярными углами θ и φ, то, согласно формуле (4.36) (вып. 8, стр.  106),

Маленькое изображение
 

4) Пусть теперь частицы неполяризованы, причем «случайность» определяется разными способами. Вероятность зарегистрировать частицу, если направление ее спина выбирается способом 1, равна

Маленькое изображение
 

Маленькое изображение
 

Таким образом, для всех трех способов вероятность обнаружения частицы одна и та же. Не существует метода, которым можно было бы отличить один способ случайной ориентации спина от другого.
 
4.3. Выходящая из прибора S частица находится в состоянии —S. Амплитуда вероятности прохождения этой частицы через приборы Т и U равна

Маленькое изображение
 

Величины <+U | jT>, <jT |—S> определяются относительной ориентацией приборов U и T, Т и S.
Рассмотрим  случай,   изображенный на фиг. 2 «Лекций» (вып. 8, стр.  185).
   а) Прибор  Т  повернут   относительно  прибора  S  на  угол φ = π вокруг   оси   у.   Из табл. 4.2 (см. вып. 8, стр. 105) Ry (φ) получаем

Маленькое изображение
 

   б) Перейдем от системы S к системе Т, используя только повороты вокруг осей y и z. Можно, например, сначала повернуть систему S вокруг оси у на угол φ1 = π/2, затем новую систему S повернуть на угол φ2 =θ вокруг оси z′, а полученную таким путем систему S″ повернуть на угол φ3= —π/2 вокруг оси у″. Соответственно

Маленькое изображение
 

Точно такой же результат получается, если рассматривать переход от S к Т как поворот вокруг оси х на угол θ.
   в) При θ =0 <+U |—S> =0, при θ =π <+U |—S> = i. В последнем случае оси z систем S и U направлены в противоположные стороны, поэтому | <+U |—S> |2=1. По той же причине в случае (а) |<+T|—S> |2=1. Но системы Т и U отличаются одна от другой поворотом на угол π вокруг оси z, поэтому величины <+T|—S> и <+U |—S> отличаются на фазовый множитель e¡π/2 = i.
 
4.4. Пусть плоская монохроматическая электромагнитная волна распространяется вдоль оси z. Тогда в «S-представлений» (т. е. в системе координат S) вектор ее электрического поля имеет компоненты х, Еу, 0), а в «T-представлении» (т. е. в системе координат Т, повернутой относительно S на угол θ вокруг оси z) тот же вектор равен х , Еу′, 0). Согласно закону преобразования вектора при поворотах системы координат:

Маленькое изображение
 

4.5. Пусть Е = (Еx, Еу, 0) —вектор напряженности электрического поля плоской электромагнитной волны на входе в прибор, а  Е′ = (Еx , Еy ,  0) —соответствующая  величина  на  выходе из прибора.
Тогда матрица <j| А | ¡> должна переводить одну величину в другую:

Маленькое изображение
 

Используя классические представления о поляризации света, можно связать Е′ и Е и найти тем самым элементы матрицы <j |A|i>.
   а) Из-за  наличия   блокировки   луча   у  Е′y=0,  тогда  как Е′х = Ех. Следовательно, единственный отличный от нуля элемент матрицы | А | х> = 1.
   б)  В системе  координат x′, у′,  повернутой вместе  с  прибором, компоненты вектора Е можно записать следующим образом:

Маленькое изображение
 

После прохождения прибора Е′х = Ех, Еу=0. Возвращаясь в исходную систему координат, получаем

Маленькое изображение
 

   в)  После  прохождения   прибора  Е′x = ЕХ,  Е′у = 0,  так  что матрица < j | А | i> будет такой же, как в случае (а).
   г)  Поляроид эквивалентен системе «анализатор—блокировка одного из  лучей—синтезатор». Матрица < j | А | i> совпадает с полученной в случае (б).
   д)  В этом случае, очевидно,

Маленькое изображение
 

Заметим, что одинаковое изменение фазы обеих компонент вектора не влияет на поляризацию.
   ж) В  системе координат, повернутой вместе с прибором на угол 45°, вектор E имеет компоненты

Маленькое изображение
 

После прохождения прибора Ex= iEx, Е′y′ = Еy′. Тогда в исходной системе координат компоненты вектора

Маленькое изображение
 

   з) При  прохождении через   четвертьволновую пластинку разность фаз лучей х и  у изменяется на π/2, так что можно считать

Маленькое изображение
 

   и) Монохроматическая волна с циклической частотой ω при прохождении пластинки толщиной d приобретает дополнительную фазу

Маленькое изображение
 

Здесь k и v —волновое число и скорость света в среде; n —показатель преломления среды. Учитывая, что в двоякопреломляющей среде показатель преломления различен для света с поляризациями по оси х и у, получаем изменение фаз х- и y-лучей после прохождения пластинки толщиной d:

Маленькое изображение
 

Маленькое изображение
 

   к) После прохождения раствора вектор Е′ в системе координат, повернутой на угол θ, будет, очевидно, иметь компоненты Е′x′ = ЕХ, Еy′ = Ey. Тогда в исходной системе координат

Маленькое изображение
 

   л) После прохождения такого прибора компонента Е′x будет равна нулю, тогда как Е′y = Еухе¡α, где α —изменение фазы луча х при прохождении через раствор сахара. Тогда

Маленькое изображение
 

   м) Средняя по времени интенсивность плоской монохроматической волны, входящей в прибор, пропорциональна (| Ех|2 +| Еу |2), а выходящей

Маленькое изображение
 

где β — разность фаз комплексных величин Ех и Eу. Если cos(α+β) > 0, то интенсивность выходящей волны больше, чем входящей, что означает «бесплатное» увеличение энергии, т. е. возможность построения вечного двигателя. Разумеется, этот вывод неверен. Дело в том, что в рассматриваемом приборе лучи х и у должны быть пространственно разделены и, стало быть, ограничены в пространстве (в плоскости, перпендикулярной направлению распространения). Но это означает, что волны нельзя считать плоскими. Тогда после соединения пучков возникает типичная интерференционная картина: усиление интенсивности в одном месте «экрана» будет сопровождаться ослаблением в другом, так что полная интенсивность в пучке на выходе из прибора будет равна (или меньше, при наличии поглощения) интенсивности пучка на входе в прибор.
 
4.6.   а) Обозначим через f+z (θ) и f_z (θ) амплитуды вероятностей того, что электрон испускается со спином вдоль  оси z и против оси z:

Маленькое изображение
 

Тогда  относительная  вероятность  испускания  электрона со спином по оси z равна

Маленькое изображение
 

   б) Амплитуды вероятностей того, что спин направлен вдоль оси или —х, можно записать в виде

Маленькое изображение
 

Здесь <+x | +z > —амплитуда вероятности того, что у электрона со спином вдоль оси +z спин окажется направленным вдоль оси +х.
Из табл. 4.2 «Лекций» (вып. 8, стр. 105) имеем

Маленькое изображение
 

Маленькое изображение
 

При вычислении этих величин следует иметь в виду, что переход от оси z к оси  у  осуществляется   поворотом вокруг оси х на угол —π/2.
Используя явный вид амплитуд f+z и f_z, находим

Маленькое изображение
 

Различные результаты для осей х и у получаются всегда в тех случаях, когда складываются амплитуды f+z и f-z, т. е. состояния со спином вдоль оси z и против оси z интерферируют.
   г) Если антинейтрино не регистрируется, то абсолютные вероятности следует проинтегрировать по всем возможным направлениям вылета антинейтрино.
Из соображений симметрии ясно, что вероятность вылета электрона с тем или иным спином не зависит от полярного угла φ (от него зависят лишь фазы соответствующих амплитуд). Поэтому, воспользовавшись результатами пункта (а), для относительных вероятностей того или иного направления спина получим

Маленькое изображение
 

Маленькое изображение
 

К главе 5. Зависимость амплитуд от времени
 
5.1. Изменение направления фронта волны, описывающей частицу с массой М и импульсом Р, при прохождении расстояния w в области неоднородного потенциала, согласно формуле (5.33) «Лекций» (вып. 8, стр. 124), равно

Маленькое изображение
 

Здесь считается, что ось у совпадает с направлением изменения потенциала V, причем это изменение медленное, а первоначальное направление движения частицы перпендикулярно оси у. Если частица имеет спин 1 и магнитный момент μ, то энергия ее взаимодействия с магнитным полем может быть равна μB, 0, —μВ соответственно для проекций спина + 1, 0, —1 на направление магнитного поля. Следовательно, при прохождении неоднородного магнитного поля направление движения частицы будет меняться, причем различным образом для состояний +1, 0, —1, т. е. пучок частиц будет разделяться на три пучка с отклонением от первоначального направления на углы

Маленькое изображение
 

Покажем теперь, что спин 1 прецессирует в магнитном поле. Пусть магнитное поле направлено вдоль оси +z, a спин в момент времени t = 0 —вдоль оси +х. Последнее утверждение означает, что

Маленькое изображение
 

Согласно §5 гл. 5  «Лекций»   (вып.   8, стр.  124), с течением времени амплитуды Сjz меняются по закону

Маленькое изображение
 

Убедимся, что имеет место вращение спина в плоскости ху с циклической частотой ωр. Вычислим амплитуду вероятности проекции спина +1 на ось L, лежащую в плоскости ху и составляющую в момент времени t уголβ = —ωpt с осью х. Для этого повернем систему координат вокруг оси z на угол β а затем вокруг оси у на угол α =π/2. Используя формулы (3.39) и (3.38) «Лекций» (вып. 8, стр. 80), получаем

Маленькое изображение
 

Это означает, что спин направлен по оси L и, следовательно, вместе с ней вращается в плоскости ху с угловой скоростью ωр в направлении по часовой стрелке.
Оба явления, рассмотренные в настоящей задаче, — расщепление пучка частиц в неоднородном магнитном поле и прецессия спина в магнитном поле —зависят от величины магнитного момента и, следовательно, могут быть использованы для его измерения. В первом случае это будет эксперимент типа опытов Штерна и Герлаха, во втором, например, парамагнитный резонанс — частица, обладающая магнитным моментом и находящаяся в магнитном поле, резонансно поглощает внешнее радиоизлучение с частотой ω=ωp (см. «Лекции», вып. 7, гл. 35).
 
К главе 6. Гамильтонова матрица
 
6.1. Составим прежде всего гамильтонову матрицу для частицы со спином 1/2 в магнитном поле. Это удобно сделать, выбирая состояния с определенной проекцией спина на направление магнитного поля, т. е. состояния |+х > и |—х >, в качестве базисных. Тогда

Маленькое изображение
 

Теперь нетрудно получить  эту  матрицу   и  для   базисных состояний  |+ z >,   | – z >, используя преобразование   типа (6.28) (см. «Лекции», вып. 8, стр. 140)

Маленькое изображение
 

Величины   </х | jz>   уже  получены при решении   задачи 4.6, а величины <¡z | kх> можно получить из соотношения

Маленькое изображение
 

В начальный момент времени после прохождения первого фильтра частица находится в состоянии |+ z>, так что С+z(0)≡С1(0) = 1, С_z(0)≡С2(0)=0. Изменение этих амплитуд со временем определится системой уравнений:

Маленькое изображение
 

Складывая и вычитая почленно эти два уравнения, получаем уравнения для (C1+C2) и (С1С2), которые легко интегрируются. После несложных математических операций получим решение с учетом начальных условий

Маленькое изображение
 

Из найденного  решения   видно, что спин частицы будет направлен вниз в  моменты  Тn, определяемые соотношением

Маленькое изображение
 

Чтобы все частицы прошли через второй фильтр, необходимо, чтобы одно из значений Тn совпало со временем пролета Т. Минимальное значение поля В0, при котором это условие будет выполнено, определится соотношением

Маленькое изображение
 

Вероятность пройти второй фильтр равна W = sin2 ωТ′. В частности, если Т′ =T/2, а поле В0 удовлетворяет условию (1), то W = 1/2.
 
6.2. Обозначим состояния частицы с направлением спина вдоль магнитного поля и против него соответственно через | + В> и | —В> и запишем в этом  базисе  энергетическую матрицу:

Маленькое изображение
 

Преобразуем ее теперь к базису |+z>, |—z>. Необходимые для этого величины находим из табл. 4.2 (см. «Лекции», вып. 8, стр. 105):

Маленькое изображение
 

В начальный момент времени амплитуда для направления спина вдоль оси zС1(0) = 1, а против оси zС2(0) = 0. Изменение этих амплитуд со временем определится системой уравнений

Маленькое изображение
 

Искомая  вероятность  обнаружения  частицы  в  состоянии  Jx = h/2 тогда равна

Маленькое изображение
 

6.3. а) Гамильтонова матрица системы совпадает с полученной при решении задачи 6.1 (в базисе |+z>, |—z>) с точностью до замены μВ0 на А. Начальные условия также совпадают, поэтому можно сразу записать выражения для амплитуд

Маленькое изображение
 

где ω = А/h.   Вероятность   обнаружить частицу в момент времени T в состоянии +z равна  cos2ωt.
   б) В   стационарном  состоянии  вероятность  найти  частицу в каждом из базисных состояний не должна меняться со временем, поэтому решение системы

Маленькое изображение
 

Таким  образом,   стационарным  состояниям отвечают следующие комбинации найденных в пункте (а) амплитуд:

Маленькое изображение
 

   в) Рассмотрим амплитуды С+ε (t) и C_ε(t) для направления спина по и против некоторой оси ε, лежащей в плоскости yz и образующей угол φ с осью z. Имеем

Маленькое изображение
 

Оси, отвечающие разным значениям n,  физически  неразличимы, так что можно принять φ = —2ωt.
Таким образом, во все моменты времени с вероятностью единица спин будет направлен вдоль оси, вращающейся в плоскости уz с угловой скоростью 2ω в направлении от оси у к z.
   г) Частицу со спином 1/2 нужно поместить в магнитное поле, параллельное оси х. Из решения задачи 6.1 ясно, что такая система будет обладать требуемыми свойствами.
 
К главе 7. Аммиачный лазер


7.1. Рассмотрение, проведенное в гл. 7 «Лекций» (вып. 8), показывает, что вероятность вынужденного перехода из состояния | I> в состояние | II >

Маленькое изображение
 

не зависит от того, сопровождается ли этот переход испусканием или поглощением света. Отсюда следует, что Р(I→ II) = Р (II → I). Тогда, используя определение коэффициентов Эйнштейна, получаем

Маленькое изображение
 

Попробуем теперь найти с помощью квантовой механики коэффициенты Эйнштейна AII,I Для этого будем рассматривать системы «молекула в состоянии I и единичный фотон» и «молекула в состоянии II» как два состояния одной и той же системы. Тогда, согласно гл. 6 «Лекций» (вып. 8), амплитуды перехода в единицу времени из начального состояния в конечное и обратно связаны между собой:

Маленькое изображение
 

Фактически такое соотношение для испускания и поглощения фотонов уже использовалось в § 4 гл. 2 (вып. 8, стр. 41). Пусть в объеме V имеется молекула в состоянии I и единичный фотон. Тогда вероятность перехода из I в II в единицу времени равна | М |2. С другой стороны, вероятность перехода в данном случае совпадает с «числом» переходов в единицу времени, которое, согласно гл. 42 «Лекций» (вып. 4), равно ВI, II I. Интенсивность / одного фотона, очевидно, равна hωc/V, так что

Маленькое изображение
 

Вероятность обратного перехода (из II в I с испусканием фотона) в единицу времени, приходящаяся на интервал частотΔω, получается из | М |2 умножением на число возможных состояний фотона Vω2Δω/π2с2 [см. формулу (2.42) «Лекций», вып. 8, стр. 49]. Но по определению коэффициента Эйнштейна AII,I   эта вероятность   равна   AII,I Δω, так что

Маленькое изображение
 

Сравнивая   найденные  соотношения,   получаем связь между коэффициентами Эйнштейна

Маленькое изображение
 

установленную в гл. 42 (вып. 4) косвенным путем.
Интенсивность спонтанного излучения на интервале частот Δω будет, очевидно, равна интенсивности для одного фотона, умноженной на число переходов в единицу времени:

Маленькое изображение
 

7.2. Запишем  систему  уравнений  для  амплитуд   вероятности иметь спин «вверх» и «вниз»:

Маленькое изображение
 

Элементы  энергетической   матрицы   можно   определить, переходя  в  систему  координат  с  осью  z′, направленной вдоль поля В:                                                              

Маленькое изображение
 

Остается найти амплитуды <jz′ | ¡z>. Для этого заметим, что ось z′ (вместе с полем В) определяется полярными углами θ, φ = —ωt. Переход от системы координат х, у, z к системе х′, у, z можно осуществить поворотом, заданным углами Эйлера β = φ—π/2, α = — θ, γ = 0. С помощью табл. 4.1 (вып. 8, стр. 80) находим

Маленькое изображение
 

с начальными условиями

Маленькое изображение
 

При малых θ в этих уравнениях можно вначале пренебречь членами – sinθ≈θ«1, а затем учесть их, действуя точно так же, как решается аналогичная задача в гл. 7 «Лекций» (вып. 8).
Однако написанные уравнения можно решить точно при произвольном θ. Для этого удобно сделать замену C1(t)e¡ωt/2b1(t), C2(t) = e–¡ωt/2b2(t), так что коэффициенты в уравнениях не будут зависеть от времени:

Маленькое изображение
 

Эта система алгебраических уравнений имеет нетривиальные решения лишь при

Маленькое изображение
 

где знак  плюс  относится  к  ¡ = 1, а знак минус —к  ¡= 2. Вместе с начальным условием это дает

Маленькое изображение
 

откуда получаем вероятности для направления спина «вверх» и «вниз» в произвольный момент времени:

Маленькое изображение
 

Это означает, что спин периодически переворачивается вверх и вниз.
 
К главе 8. Другие системы с двумя состояниями
 
8.1. Направим ось z противоположно магнитному полю В0, а ось х — вдоль поля Вn, т.е. Вx = 2Вncos ωt, Вz = —В0, Ву = 0. Тогда уравнения для спиновых состояний [см. «Лекции», вып. 8, стр. 199, уравнения (8.23)] примут вид

Маленькое изображение
 

Начальное условие: С1 (0) = 1, С2(0) = 0. Эти уравнения такие же, как уравнения (7.38) и (7.39) «Лекций» (вып. 8, гл. 7, стр. 164) для молекулы аммиака. Будем решать их аналогично. Полагая

Маленькое изображение
 

в которых ω02μВ0/h.
Частоту ω считаем близкой к ω0 и по тем же соображениям, что и в гл. 7 (вып. 8), оставляем в уравнениях только члены с ехр [¡(ω —ω0)t ]. Наша система приобретает вид

Маленькое изображение
 

Дифференцируя уравнение (2) по t и выражая   1/dt  и γ1 соответственно из уравнений (1) и (2), получаем

Маленькое изображение
 

Это дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Такие уравнения мы научились решать, изучая колебания. Ищем решение в виде γ2= aeiαt. Тогда для определения α получаем квадратное уравнение

Маленькое изображение
 

Для определения постоянных а и b нужно иметь два начальных условия. Одно из них γ2 (0) = 0 следует из условия С2(0) = 0 и приводит к соотношению и = —а. Тогда

Маленькое изображение
 

Из условия C1 (0) = 1 следует γ1(0) =1. Учитывая уравнение (2), при t = 0 имеем (2/dt) (t = 0) = i (μBn/h). Подставляя сюда явное выражение для Υ2, находим

Маленькое изображение
 

Окончательно, вероятность того, что в момент времени Т спин частицы будет направлен против оси z, т. е. вдоль вектора В0, равна

Маленькое изображение
 

Маленькое изображение
 

Обратим внимание на сходство этих результатов  с формулами (7.50) и (7.52) (вып. 8, стр. 167 и 170),

К главе 9. Еще системы с двумя состояниями
 
9.1. Пусть в некоторой системе координат гамильтониан записан в виде (9.4) (вып. 8, стр. 206), т. е.

Маленькое изображение
 

причем величины σ¡jx, σ¡jy, σ¡jz в соответствии с § 1 гл. 9 образуют матрицы Паули. Иначе говоря, это означает, что в качестве базисных состояний выбраны состояния со спином по и против оси z. Перейдем теперь к другой системе координат, оставив неизменными базисные состояния |i >, |j >. При этом матричные элементы гамильтониана не изменятся (ср. «Лекции», § 6 гл. 8, вып. 8, стр. 196, где меняются как раз базисные состояния),  и  в новой системе координат

Маленькое изображение
 

находим связь между σ¡jα и σ¡jα′, т. е. закон преобразования элементов матриц Паули при поворотах  системы координат:

Маленькое изображение
 

Учитывая, что величины   Сα′α образуют ортогональную матрицу, т. е.

Маленькое изображение
 

Но это как раз закон преобразования вектора. Переходя от матричных элементов к матрицам Паули, т. е. опуская индексы ¡ и j, приходим к выводу, что матрицы σх, σу , σz преобразуются друг через друга при поворотах системы координат как компоненты вектора.
Соотношения

Маленькое изображение
 

легко  проверить  непосредственным   перемножением  матриц  Паули. Например,

Маленькое изображение
 

9.2. а) Для нахождения уровней энергии электрона, присоединенного к молекуле СО2, воспользуемся уравнением (9.62) («Лекции», вып. 8, стр. 239): Det (H¡j —δ¡jE) = 0 и будем считать, что в качестве состояний |1 >, |2>, |3> выбраны состояния, описывающие электрон, принадлежащий соответственно первому атому кислорода, атому углерода и второму атому кислорода. Энергии електрова в этих состояниях H11 = H33 = EO, H22 = EC. Поскольку прямые переходы электрона от одного атома кислорода к другому не учитываются, то H13 = H31 = 0. Из соображений симметрии матричные элементы Н12 и Н32, учитывающие переходы электроиа от атома углерода к атомам кислорода, равны. Обозначим их через v=H12 = H32. Далее, Н21 = H*12 = v*, H23 = H*32 = v*. Таким образом, нахождение уровней энергии рассматриваемой системы сводится к решению уравнения

Маленькое изображение
 

Расписывая  детерминант,   нетрудно   найти   корни  этого уравнения:

Маленькое изображение
 

   б) Коэффициенты a¡ разложения

Маленькое изображение
 

стационарного состояния по базисным состояниям определяются системой уравнений

Маленькое изображение
 

Эти решения показывают, что в первом и втором состояниях электрон с вероятностью 1/2 «принадлежит» атому углерода, и с вероятностью по 1/4 —каждому из атомов кислорода, тогда как в третьем состоянии он с равными вероятностями (по 1/2) находится возле атомов кислорода, а вероятность «принадлежать» атому углерода равна нулю.
Следует иметь в виду, что полная система уровней молекулы СО2 гораздо сложнее полученной здесь. Это и понятно, так как при решении задачи не учитывались внутренние и вращательные степени свободы молекулы СО2.
 
9.3. Поскольку молекула СН4 образует правильный тетраэдр, любой атом водорода расположен одинаковым образом по отношению ко всем остальным атомам водорода. Поэтому значения амплитуды перехода «дырки» от каждого атома водорода к любому другому одинаковы, так что все недиагональные матричные элементы гамильтониана совпадают:

Маленькое изображение
 

Проще всего решить это уравнение, воспользовавшись общими свойствами определителей. Значение определителя не меняется, если любую строку (столбец) определителя, умноженную на произвольное постоянное число, прибавить к любой другой строке (столбцу). Прибавим к первому столбцу все остальные, а затем вычтем первую строку из всех остальных. Тогда получим

Маленькое изображение
 

и отделен интервалом 4 | v | от первых трех.
 
9.4. Матрица H¡j в рассматриваемом случае имеет вид

Маленькое изображение
 

Она записана с  учетом того, что все диагональные матричные элементы в силу симметрии системы равны между собой:

Маленькое изображение
 

а среди недиагональных матричных элементов отличны от нуля лишь соответствующие переходам между соседними атомами, причем все эти ненулевые матричные элементы совпадают (из соображений симметрии) и равны –А.
Система уравнений

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениесоставленная с помощью этой матрицы, очевидно, удовлетворяется при одинаковых коэффициентах а¡¡¡ехр (—iEt/h)], если Е = Е02А. Прежде чем находить значения энергий остальных пяти состояний, определим величину δ. Как видно из условия, при переходе к соседнему атому (по часовой стрелке) амплитуда пребывания электрона на соответствующем атоме умножается на е¡δ. Используя симметрию системы, можно в дополнение к соотношениям, приведенным в условии, написать С16е¡δ , или а1 = а6е¡δ. С другой стороны, из условия имеем a6 = a1е¡5δ. Следовательно, е6¡δ=1 и допустимые значения

Маленькое изображение
 

Из условия нормировки ¡¡|2 = 1 можно определить величину a1 = 1/√6. Значения энергии, соответствующие найденным коэффициентам aj(k) можно получить, подставляя aj(k) = (1/√6) exp [k (j— 1)] в систему (1). Из первого уравнения этой системы найдем

Маленькое изображение
 

или Е1 = Е0—2А,  Е2 = Е6= Е0—А, E3= E5 =Е0+А, E4Е0+2А. Все  остальные уравнения системы (1) при этом удовлетворяются тождественно, в чем можно  убедиться непосредственной подстановкой.
Коэффициенты Сj получаются из a¡ умножением на временной множитель

Маленькое изображение
 

Диаграмма   уровней рассматриваемой   системы изображена на рисунке.

9.5. а) Уровни энергии определяются уравнением

Маленькое изображение
 

так что два уровня рассматриваемого молекулярного иона имеют равную энергию, а третий отделен от них интервалом

Маленькое изображение
 

   б) Пусть энергия двух базисных состояний изменилась на величину Δ, а третьего —на величину (Δ+εА). Тогда уровни энергии системы определятся уравнением

Маленькое изображение
 

Остальные два значения энергии найдем, приравняв нулю квадратную скобку в написанном выше выражении. Решая получающееся  квадратное  уравнение и пренебрегая членами второго порядка по ε, получаем

Маленькое изображение
 

Таким образом, если до наложения электрического поля два уровня иона имели одинаковую энергию, то теперь они расщепились на величину 1/3 | εA | = A/300, а интервал между первым и третьим уровнями изменился незначительно и стал равным | ЗA—2/3εA | ≈ 2,993 | А |.
 
К главе 10. Сверхтонкое расщепление в водороде
 
10.1. Энергии уровней сверхтонкой структуры атома водорода в основном состоянии при наличии магнитного поля выражаются формулами (см. «Лекции», вып. 8, гл. 10):

Маленькое изображение
 

Если магнитное поле мало (μB«2A), то первые три из этих значений энергии относятся к состояниям с полным cпином j=1 и его проекцией соответственно m =+1, 0, — 1, а четвертое значение энергии —к состоянию с полным спином j = 0. Пренебрегая квадратичными по В членами, запишем частоты переходов из первых трех состояний в низшее, четвертое состояние

Маленькое изображение
 

где f0 —частота излучения при переходе между уровнями сверхтонкой структуры свободного атома водорода в основном  состоянии (–1420  Мгц).   Расщепление линии

Маленькое изображение
 

оказывается равным в межзвездном пространстве ~14,0 гц, в магнитном поле Земли ~0,70 Мгц. (При В=1 гс μВ/2πh = 1,397048013·107 гц). Изменения длины волны соответственно равны ~2·10–7 и 1·102 см.
При больших полях, когда выполнено условие μ′В » А, уровни сверхтонкой структуры уже нельзя характеризовать значением полного спина, а энергии уровней можно записать в виде

Маленькое изображение
 

Тогда  частоты  переходов  из  состояний I, II, III в низшее состояние IV запишутся следующим образом:

Маленькое изображение
 

9
КВАНТОВАЯ МЕХАНИКА
 
К главе 11. Распространение  в  кристаллической решетке
 
11.1. Обозначим амплитуду пребывания электрона у n-го атома в состоянии i через Сn¡, а в состоянии j —через Сnj. Они удовлетворяют следующей системе уравнений:

Маленькое изображение
 

Для стационарных состояний зависимость  амплитуд от времени известна

Маленькое изображение
 

Подставляя эти  выражения  в  (1), получаем  систему уравнений для коэффициентов аn:

Маленькое изображение
 

условием разрешимости которой является обращение в нуль определителя:

Маленькое изображение
 

Решая это квадратное уравнение относительно  E, получаем две полосы допустимых значений энергии:

Маленькое изображение
 

В предельном случае |EiEj|»2B получаем просто две независимые полосы, лежащие вокруг энергий E¡ и Еj:

Маленькое изображение
 

Этот результат совершенно аналогичен полученному в § 1 гл. 11 «Лекций» (вып. 9), когда учитывается лишь одно состояние электрона в атоме. Это и понятно: ведь условие |EiЕj|»2В фактически означает, что полосы можно рассматривать независимо друг от друга.
В другом случае |EiЕj|«получаем

Маленькое изображение
 

Здесь обе полосы расположены вокруг общего «центра тяжести» (Е¡+Ej)/2, причем одна полоса лежит внутри другой.
 
11.2. Записываем систему уравнений для амплитуд

Маленькое изображение
 

Координата n-го атома типа а равна хan = 2nс; типа b соответственно равна хbn=(2n+1) с. Тогда для величин α и β получаем систему алгебраических уравнений:

Маленькое изображение
 

Требование обращения в нуль определителя этой системы дает

Маленькое изображение
 

Примерная  зависимость  энергии   Е   от   волнового числа k показана на рисунке.
Из рисунка, как и из формулы для Е, видно, что если k меняется от нуля до π/2с, то энергия принимает все свои
допустимые значения: в верхней полосе от E0 +√(ΔE)2+4A2  до Е0+ΔЕ, а в нижней полосе от E0—ΔE до E0—√(ΔE)2+4A2

Маленькое изображение
 

11.3. Будем исходить из уравнений для не зависящих от времени амплитуд аn  [таких,   что  Сn(t) =аnехр (— iEt/h)].   Имеем

Маленькое изображение
 

причем хn = bn.
Из   уравнений   для   n ≥2   можно   сразу  же получить допустимые значения энергии

Маленькое изображение
 

Из  первого  и третьего  уравнений с  учетом соотношения Е0Е = А (е¡kb¡кb) получим соответственно

Маленькое изображение
 

Подставив  теперь  эти  выражения во второе  уравнение, найдем

Маленькое изображение
 

Как и должно быть, найденные величины, «амплитуда прохождения» γ и «амплитуда отражения» β, удовлетворяют условию |β|2 + |γ|2 = 1.
 
11.4. а) Из соотношения | β |2 + | 1 + β |2 = 1 следует

Маленькое изображение
 

   б) Представим β в виде |β | е¡ (η+π/2) и воспользуемся  соотношением |β |2 + Reβ=0. Тогда |β |2 + | β | cos (η+π/2) = 0, откуда | β I = sin η. Следовательно, β = ie¡η sin η.
 
11.5. Если крайний атом  левого кристалла  считать  нулевым, то система уравнений для амплитуд аn имеет вид

Маленькое изображение
 

Решение для области 1 ищем в виде суммы падающей и отраженной волн

Маленькое изображение
 

Тогда   из уравнений  для n≤—1  получим допустимые значения энергии

Маленькое изображение
 

С другой  стороны,  та же  энергия  Е  (из   уравнений  для n ≥ 2) равна

Маленькое изображение
 

Это означает,  что  волновые числа  в  областях / и // связаны соотношением

Маленькое изображение
 

   а) Обратимся теперь к оставшимся второму и третьему уравнениям. Подставим в них явный вид амплитуд a_1, a0, a1, а2 и воспользуемся соотношениями

Маленькое изображение
 

   б)  Подставив это выражение для γ в предыдущее уравнение, находим

Маленькое изображение
 

Если k′—мнимое, k = ix, то e¡k′bxb. Поскольку А, А и В —вещественные числа (как и kb, то числитель и знаменатель являются комплексно-сопряженными друг по отношению к другу. Следовательно, |β | = 1. Но величина | β |2 есть доля отраженных частиц. Следовательно, все частицы, доходящие до поверхности раздела, должны отражаться от нее. Этот результат легко понять: мнимость волнового числа k′ означает отсутствие потока частиц в области //, или, проще говоря, означает, что частица не может свободно распространяться в этой области (хотя и может «забежать» в нее с краю). Это случится, если енергия частицы, налетающей слева на границу раздела, не попадает в область  энергий, допустимых для свободного распространения в правом кристалле, т. е.

Маленькое изображение
 

   в) Для  проверки  закона  сохранения   числа частиц найдем прежде всего групповые скорости

Маленькое изображение
 

Дальше,   используя   связь   между β и γ, а также явный вид β, найдем

Маленькое изображение
 

В числителе этого выражения добавим и вычтем величину 2AAB2cos(kb + kb′). Тогда

Маленькое изображение
 

Появление множителя при | γ|2 можно пояснить следующим образом. Закон сохранения числа частиц означает физически, что поток  частиц, приходящих   слева, равен сумме потоков частиц, прошедших границу и отраженных от нее. Величины Iβ I2 и I γ I2 пропорциональны вероятности для частицы находиться вблизи данного атома, т. е. плотности числа частиц в том или другом потоке. А для того, чтобы получить величину потока, нужно умножить плотность частиц на их скорость. При этом нужна скорость, измеряемая количеством атомов, проходимых частицей в единицу времени, для этого и приходится поделить vg на b.
Полезно заметить, что полученное выше соотношение несправедливо при мнимом k′. Для этого случая поток в области // отсутствует, и закон сохранения числа частиц принимает вид Iβ I2=1.
 
К главе 12. Полупроводники
 
12.1. Распишем уравнения движения электрона в полупроводнике по компонентам:

Маленькое изображение
 

Уравнение для z-компоненты скорости решается элементарно (vz=v0zet/τ), и для наших целей не представляет интереса. Для решения первых двух уравнений удобно заменить

Маленькое изображение
 

комплексной величиной Ех= Е0е¡ωt.
Решение уравнений ищем в виде

Маленькое изображение
 

где а и b —комплексные постоянные величины, для которых получаем систему алгебраических уравнений

Маленькое изображение
 

Следовательно, искомое соотношение

Маленькое изображение
 

получено.
Мощность, поглощаемая электроном от поля, находится по формуле

Маленькое изображение
 

Но Re Ex = E0 cos ωt, а величину Re vx запишем следующим образом:

Маленькое изображение
 

При усреднении по периоду   T = 2π/ω второе слагаемое обратится в нуль,  поскольку   отношение  vx/Ex не зависит от времени, а интеграл 0T cos ωt sin ωt dt равен нулю. Таким образом, средняя за период поглощенная мощность будет пропорциональна Re (vхх):

Маленькое изображение
 

Проанализируем  частотную  зависимость поглощаемой мощности. Имеем

Маленькое изображение
 

При ωсτ »1 это выражение существенно упрощается. Введем обозначение Δω = ωωс и будем считать, что | Δω | « ωс. Тогда получим

Маленькое изображение
 

Это означает, что поглощаемая мощность максимальна при ω = ωc (Δω = 0), причем ширина максимума (определяемая по частоте, при которой поглощаемая мощность вдвое меньше максимальной) равна 1/т. Измеряя частоту, отвечающую максимуму поглощения, и ширину этого максимума, можно получить m*   и т.
Предположим теперь, что ωcт уменьшается. Когда эта величина приближается к единице, полученная выше упрощенная формула становится неприменимой. Чтобы понять, что   происходит с  зависимостью  поглощенной  мощности от частоты,   исследуем случай ωcτ«1, иначе говоря, положим ωc = 0. Тогда

Маленькое изображение
 

т. е. частотная зависимость этой величины не содержит максимума при отличных от нуля частотах, т. е. резонанс не наблюдается. Переход между двумя предельными формами частотной зависимости происходит где-то в области ωсτ ~1. Условие ωсτ  > 1 означает, что время между столкновениями т больше, чем период обращения электрона. Ясно, что только в этом случае движение электрона будет периодическим (по крайней мере между столкновениями) и, стало быть, наблюдение резонанса будет возможно.
 
12.2. «Ток тепловых дырок» Ir, текущий из области р в область n, будет пропорционален концентрации таких дырок в р-области, анергия которых достаточна для преодоления барьера:

Маленькое изображение
 

Здесь через Vo обозначена разность потенциалов между n- и р-областями в условиях равновесия; V —дополнительная разность потенциалов, приложенная извне; Np (р)—полная концентрация дырок в р-области.
Если же дырки переходят из n- в р-область, то им не нужно преодолевать барьер, так что создаваемый ими ток Ig будет пропорционален всей концентрации дырок в n-области:

Маленькое изображение
 

Результирующий дырочный ток Iр равен разности этих двух токов:

Маленькое изображение
 

В условиях равновесия (при V = 0) результирующий ток должен быть равен нулю. Из этого условия получаем отношение концентраций дырок в n- и р-областях:

Маленькое изображение
 

Тогда  при  отличном от нуля внешнем  потенциале V имеем

Маленькое изображение
 

Точно такой же вид будет иметь ток отрицательных носителей (электронов), поэтому полный ток в р —n-переходе равен

Маленькое изображение
 

Здесь  Iе—ток  электронов  из  области  n  в область р при равновесных условиях.
Величину (/r + /e) можно интерпретировать как максимальный ток, который может течь при отрицательной внешней разности потенциалов.
 
К главе 13. Приближение независимых частиц
 
13.1. В приближении независимых частиц энергия рассматриваемой системы равна сумме энергий каждого из электронов, осуществляющих двойные связи. Такой электрон может «принадлежать» одному из четырех атомов углерода и иметь энергию Е0. Однако наличие переходов электрона от одного атома к соседнему делает такие состояния нестационарными. Матричный элемент перехода равен —А, так что, согласно § 5 гл. 13 «Лекций» (вып. 9, стр. 69), энергия стационарного состояния влектрона может принимать значения

Маленькое изображение
 

Тот же результат можно получить, приравнивая нулю детерминант, составленный с помощью энергетической матрицы Н¡j. Тогда значения энергии определяются корнями уравнения:

Маленькое изображение
 

Любопытно, что, сравнив эти выражения с написанным выше ES, мы можем получить

Маленькое изображение
 

хотя не занимались здесь никакой тригонометрией.
В основном состоянии молекулы бутадиена два электрона из двойных связей имеют энергию E1 (один со спином «вверх», другой со спином «вниз»), а два других электрона — энергию E2.  Если же молекула бутадиена находится на первом возбужденном уровне, то один из электронов, имевших энергию Е2 в основном состоянии, будет иметь энергию Е3. Таким образом, энергия излучения, испускаемого молекулой бутадиена при переходе с первого возбужденного на основной уровень, равна

Маленькое изображение
 

Найти длину волны этого излучения теперь не представляет труда:

Маленькое изображение
 

При A = 1 эв получаем λ= 1,00·10–4 см.
Займемся теперь вопросом распределения электронов в молекуле. Если электрон имеет энергию ES, то, как следует из § 5 гл. 13 «Лекций» (вып. 9), амплитуда вероятности нахождения этого электрона возле n-го атома равна

Маленькое изображение
 

В однократно ионизованной молекуле бутадиена два электрона находятся в состоянии с энергией Е1 и один электрон — в состоянии с энергией Е2. Тогда вероятность обнаружить какой-либо электрон возле n-го атома можно записать следующим образом:

Маленькое изображение
 

Этот результат позволяет сказать, что возле крайних атомов углерода находится примерно по 0,64 электрона, а возле средних — по 0,86 электрона.
 
13.2. Чтобы найти энергию, необходимую для разрыва бензольного кольца, необходимо знать энергии конфигураций а и б, показанных на рисунке в условии задачи. В §4 гл. 13 «Лекций» (вып. 9, стр. 62) энергия основного состояния конфигурации а в приближении независимых частиц была найдена:

Маленькое изображение
 

Энергию конфигурации б найдем по методу, изложенному в той же главе в § 5. Конфигурация б представляет собой линию из шести атомов углерода, причем энергия электрона из двойной связи, принадлежащего какому-либо из этих атомов, равна E0, а матричный элемент перехода электрона к соседнему атому равен — А. Тогда одночастичная энергия электрона в стационарном состоянии равна E =E0cos kb. Величина kb определяется условием, что амплитуда вероятности пребывания электрона у n-го атома, равная sin kbn, обращается  в  нуль  при   n =7,  т. е.   для отсутствующего седьмого (как и нулевого) атома. Следовательно, kb=/7)s, где s=1, 2,........ 6.
В основном состоянии конфигурации б на низших одночастичных уровнях

Маленькое изображение
 

будет находиться по два электрона. Поэтому полная энергия основного состояния конфигурации б равна

Маленькое изображение
 

Таким образом, необходимая для разрыва бензольного кольца энергия равна

Маленькое изображение
 

Величину А найдем по известной длине волны излучения, которое испускается при переходе молекулы бензола из первого возбужденного состояния в основное. Для этого замечаем, что изменение энергии молекулы при таком переходе равно 2А, и, с другой стороны, эта же величина равна hω = 2πhс/λ,. Тогда можно записать

Маленькое изображение
 

Подставляя сюда λ = 2000 Å, значения косинусов и другие известные константы, получаем

Маленькое изображение
 

13.3. Будем рассматривать спиновую волну как «частицу» с массой mэфф и энергией EK. Наличие в системе такой частицы, магнона, означает, что спин одного из атомов направлен вниз, тогда как спины всех других атомов смотрят вверх. Поэтому спин всей системы при наличии магнона отличается от спина основного состояния (когда нет магнонов) на единицу, Следовательно, магноны имеют целый спин и подчиняются статистике Бозе—Эйнштейна, Тогда среднее число магнонов в состоянии с энергией ЕK при температуре системы Т равно

Маленькое изображение
 

Эта формула была получена в § 5 гл. 2 (вып. 8, стр. 44) для фотонов, но из ее вывода ясно, что она применима и для других бозонов. Но число магнонов в системе как раз и равно числу атомов, спин которых «перевернут» по сравнению с его направлением в основном состоянии.
Подсчитаем теперь полное число магнонов в системе. Для этого вспомним (см. указанный параграф «Лекций»), что в ящике объемом V число типов колебаний, приходящееся на интервал волновых чисел от К до K+dK, равно

Маленькое изображение
 

Следовательно, полное число магнонов в системе равно

Маленькое изображение
 

Тогда  число  атомов  со спином  «вниз» в единице  объема равно

Маленькое изображение
 

Намагниченность материала определяется как магнитный момент, приходящийся на единицу объема. Обозначим магнитный момент атома через μ. Магнитный момент атома направлен в ту же сторону, что и его спин (или в противоположную, если μ отрицателен), поэтому магнитный момент единицы объема можно выразить через число атомов со спином «вверх» N↑/V  и «вниз» N↓/V:

Маленькое изображение
 

Вспоминая, что расстояние между атомами решетки равно b, получаем полное число атомов в единице объема:

Маленькое изображение
 

Следовательно, намагниченность равна

Маленькое изображение
 

Основной вклад в интеграл, очевидно, дадут энергии ЕK, удовлетворяющие условию ЕK < kT. При низких температурах этому условию удовлетворяют лишь самые малые значения ЕK, Для которых можно приближенно записать ЕKАb2К2. При этом формально интеграл по К можно вычислять от нуля до бесконечности, поскольку большие значения К все равно не дадут существенного вклада. Выполняя интегрирование по угловым переменным (∫dΩ = 4π) и  переходя  к  безразмерной   переменной   x=(A/kT)1/2bК, получаем

Маленькое изображение
 

Здесь Mнасыщ = μ/b3 —предельное значение намагниченности при T→0.
Стоящий в квадратных скобках интеграл можно вычислить следующим образом:

Маленькое изображение
 

Меняя  порядок  суммирования  и интегрирования, получаем

Маленькое изображение
 

После  замены  переменных   х = t/√n   и интегрирования по частям получим интеграл ошибок, так что

Маленькое изображение
 

К главе 14. Зависимость амплитуд от места
 
14.1. а)  В стационарном состоянии с энергией Е волновая функция одномерного движения записывается в виде

Маленькое изображение
 

причем  и (х) удовлетворяет  стационарному уравнению Шредингера

Маленькое изображение
 

Маленькое изображениеДля   прямоугольной потенциальной ямы с бесконечными стенками граничные условия можно получить из самого уравнения Шредингера. Действительно, пусть V (х) → ∞ во внешней области < 0 и х > а). Чтобы при этом уравнение Шредингера удовлетворялось, нужно положить либо и (х) = 0, либо d2u/dx2∞ всюду во внешней области. Но в последнем случае и сама функция и (х) должна обращаться в бесконечность во всей внешней области, что не имеет физического смысла. Таким образом, остается принять и(х)=0 при х < 0 и х > а. Физически это означает, что частица не может находиться в области, где потенциальная энергия бесконечно велика.
   б) Во внутренней области V (х)=0, так что уравнение принимает вид

Маленькое изображение
 

где k2 = 2mE/h2.   В общем случае решение этого уравнения хорошо известно:


   и (х) = A sin kx + В cos kx.
 
Из граничного  условия   u(0)=0  получаем   В = 0. Тогда другое граничное условие u(a)=0 дает
 
   A sin ka = 0.
 
Поскольку А не может равняться нулю (иначе волновая функция  всюду обратится  в  нуль),  получаем  условие
 
   ka = π(n +1),         n = 0, 1, 2, ... ,
так что допустимые значения энергии равны

Маленькое изображение
 

Наименьшее значение энергии получается при   n=0

Маленькое изображение
 

Ее график показан на фиг. 1.
     в) Первому  возбужденному  состоянию  отвечает n = 1,  так что

Маленькое изображение
 

   г) Попытаемся сначала качественно рассмотреть распределение частицы по импульсам. Из соображений симметрии ясно, что частица с равной вероятностью может иметь импульсы р и —р, так что среднее значение импульса равно нулю, Далее, неопределенность координаты частицы Δx = a, поэтому неопределенность локализации импульса Δр≥h/2а. Эти качественные выводы можно сравнить с точной функцией распределения по импульсам

Маленькое изображение
 

Примерный  график  этой  функции  показан  на фиг. 2. Масштаб по оси ординат произвольный.

Маленькое изображение
 

14.2. а)  Решим уравнение Шредингера

Маленькое изображение
 

для различных  областей  потенциала V (х).   При  x ≤0, как и в предыдущей задаче, и (х) = 0. В области 0 < х < а получаем  и (х) = A sin kx,   где  k=2mE/h2.   В области x > а общее решение имеет вид

Маленькое изображение
 

Маленькое изображение
 

В основном состоянии энергия частицы Е < V0, поэтому постоянную D следует положить равной нулю, иначе волновая функция будет возрастать до бесконечности при x→ ∞. Теперь следует потребовать, чтобы волновая функция и ее первая производная были непрерывны в точке х = а, где потенциал меняется скачком. Эти два условия приводят к непрерывности логарифмической производной волновой функции, т. е. величины (du/dx)/u (x). Вычисляя это выражение с волновой функцией в областях  0 <х < а   и  x > а и полагая  х=а, получаем

Маленькое изображение
 

Это трансцендентное уравнение определяет допустимые значения энергии частицы в рассматриваемой потенциальной яме. Если энергия известна, то это уравнение позволяет определить глубину потенциальной ямы:

Маленькое изображение
 

Если энергия частицы в основном состоянии отличается на 10% от энергии основного состояния при Vо →∞, то  E0 = (π2h2/2mа2) (1+0,1).  Тогда

Маленькое изображение
 

   б) В первом возбужденном состоянии волновая функция должна иметь один нуль внутри ямы. Поскольку яма симметрична относительно точки х=0, то нуль волновой функции должен приходиться как раз на эту точку. При х > 0 волновая функция нашей задачи удовлетворяет такому же уравнению, как и в задаче пункта (а). Граничное условие предыдущей задачи и (0) =0 также выполнено, поэтому энергия первого возбужденного состояния частицы в потенциале, изображенном на фиг. 2, совпадает с энергией основного состояния частицы в потенциале, изображенном на фиг. 1, т. е.

Маленькое изображение
 

14.3. Потенциал V (х) обладает симметрией относительно замены x на —х, поэтому существуют два типа решений уравнения Шредингера; четные, т. е. такие, что u(— х) = и(х), и нечетные, и (—х) = и (х). Для первого типа решений во внутренней области | х | < а имеем и (х) = В cos αх (α= √ 2mE/h2), а во внешней области и (x) = Ceβlx| (β = √2m(V0Е)/h2). Условие непрерывности логарифмической производной функции и (х) при х=±а дает трансцендентное уравнение для определения уровней энергии четных состояний

Маленькое изображение
 

Решения второго типа во внутренней области имеют вид и (х) = А sin αx, во внешней области и (x) = De–βx при х > а и и (х) = — Deβx при х<—а. Приравнивая при х=±а логарифмические   производные   решений   во   внутренней  и внешней областях, получаем   αctgαa = — β.
Полученные уравнения можно решить графическим методом. Введем для этого величины х = αа и у=βа и нарисуем окружность  x2+y2 = ρ2= 2mV0a2/h2.
Тогда энергии четных состояний определятся пересечением этой окружности с кривой y=x tgx, а энергия нечетных состояний — пересечением с кривой у= –x ctg x при положительных значениях х и у в обоих случаях.
При V0a2 = 4h2/2m радиус окружности ρ = 2. Из фиг. 1 видно, что в этом случае имеется по одному пересечению окружности с каждой из кривых, соответственно в точках х0 ≈ π/3 и х1 ≈ 1,9. Тогда энергия основного состояния E0 = (π/3)2 (h2/2ma2), а первого возбужденного Е1  = 3,6 (h2/2mа2). На фиг. 2 показана качественно зависимость волновых функций этих состояний от координаты.

Маленькое изображение
 

Если  V0a2 < π2h2/8m,  то  ρ < π/2, так что будет существовать лишь одно связанное состояние.

Маленькое изображение
 

14.4. Волновая функция φ (х, t) = K ехр {[а (t) х2(t)]} должна удовлетворять уравнению Шредингера для свободной частицы

Маленькое изображение
 

Выполняя дифференцирование и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и правой частях уравнения, получаем

Маленькое изображение
 

Интегрирование первого уравнения дает искомое выражение

Маленькое изображение
 

Если подставить теперь значение  a(t)   во второе уравнение и проинтегрировать  его с начальным условием  с(0) = 0, то

Маленькое изображение
 

Постоянный множитель const = K(2π/4a0)1/4 удобно выбирать равным единице. Отметим, что нормировка найденной волновой функции не зависит от времени. Ширина «области локализации» частицы меняется с течением времени и характеризуется величиной

Маленькое изображение
 

Если волновая функция описывает электрон, находившийся в начальный момент времени внутри области шириной 1Å, т. е. 2σ0=1Å, то а0 = (2σ0)-2 = 1016 см2. Через 1 сек волновой пакет «расползется» по области шириной 2σ = 2,3·108 см = 2300 км (!)
Преобразуем волновую функцию в импульсное представление

Маленькое изображение
 

Если подставить сюда явный вид 1/a (t) и c(t) и проделать несложные преобразования с комплексными числами, то можно привести волновую функцию к виду

Маленькое изображение
 

Как видно отсюда, «разброс по импульсам» остается постоянным во все моменты времени.
Чтобы оценить разброс по скоростям, запишем полуширину  «области  локализации»,  частицы  следующим образом:

Маленькое изображение
 

где величина u = ha0/m характеризует скорость расплывания пакета. Эту скорость можно принять в качестве меры «разброса по скоростям», причем u=η/m.
Более строго этот вопрос можно проанализировать, используя введенное в гл. 18, вып. 9 «Лекций» понятие оператора скорости:

Маленькое изображение
 

С помощью волновой функции в координатном представлении можно найти среднеквадратичное отклонение скорости частицы от среднего значения, т. е. величину

Маленькое изображение
 

Вычислив соответствующие интегралы, найдем, что среднее значение скорости оказывается равным нулю, <v>=0, а среднее значение квадрата скорости в точности соответствует ширине «разброса по импульсам:

Маленькое изображение
 

К главе 16. Момент количества движения
 
16.1. В начальном состоянии атома со спином 1 и равной нулю проекцией спина на ось z содержатся состояния со всеми тремя возможными проекциями спина (m = 0, ± 1) на ось z′, амплитудой испускания вдоль которой мы интересуемся. Однако из этих трех состояний в силу закона сохранения проекции момента количества движения лишь состояние m = +1 может испустить правополяризованный фотон. Поэтому интересующая нас величина А (θ) будет пропорциональна амплитуде того, что в состоянии атома со спином 1 и проекцией спина на ось z, равной нулю, содержится состояние с проекцией спина +1 на ось z′, направление которой задано полярными углами θ, φ. Тогда

16.2. а) Перенумеруем изображенные на рисунке, приведенном в условии, стр. 547, конечные состояния цифрами от единицы до восьми слева направо.
В начальном состоянии проекция спина на ось z равна +1/2, поэтому в результате распада могут реализоваться лишь такие конечные состояния, в которых проекция полного момента количества движения на ось z равна +1/2. Этому условию удовлетворяют лишь состояния 2 и 8. Амплитуды всех остальных состояний должны быть равны нулю.
   б) Пусть поляризованная вдоль оси z частица X распадается, а частица Y движется вдоль оси z′, заданной полярными углами (θ, φ). Относительно этой оси проекция спина частицы X могла быть равна +1/2 с амплитудой

Маленькое изображение
 

В первом случае сохранение проекции момента количества движения приводит к тому, что фотон, движущийся против оси z′, будет левополяризованным, а проекция спина частицы Y будет равна —1/2. Во втором случае фотон оказывается правополяризованным, а проекция спина частицы Y равна +1/2. Обозначим амплитуду первого процесса через а, второго—через b. Тогда угловое распределение частиц Υ, поляризованных вдоль направления своего движения, определяется формулой

Маленькое изображение
 

Для частиц, поляризованных против  направления своего движения,  имеем

Маленькое изображение
 

   в) Угловое распределение всех частиц   получается  суммированием по поляризации:

Маленькое изображение
 

   г) Если угловое распределение изотропно, то |а| = |b|. Процессы, описывающиеся амплитудами а и b, получаются один из другого зеркальным отражением в плоскости ху и поворотом вокруг оси у на 180°. Поэтому изотропное угловое распределение, т. е. равенство |а| = |b|, означает сохранение четности при испускании фотона.
 
16.3. Проекция момента количества движения на ось z у правополяризованного фотона равна + 1, а у протона — либо + 1/2, либо —1/2, так что проекция полного момента количества движения системы р* может принимать значения m=+3/2 и +1/2. В конечном состоянии проекция момента количества движения на ось z′, направленную вдоль импульса протона отдачи, обусловлена только спином протона, поэтому m′=± 1/2.
Пусть протон до столкновения был поляризован вдоль оси z. Тогда система р* может образоваться лишь в состоянии |j = 3/2, m =+3/2> с амплитудой а. Распад на π0-мезон и протон, движущийся в направлении оси z′ с полярными углами (θ, φ), может произойти из состояний |j = 3/2, m′=+ 1/2> и |j = 3/2,  m′= – 1/2>. Амплитуды вероятности того, что эти состояния имеются в состоянии |j = 3/2, m =+3/2>. определяются матрицей поворота для спина 3/2. С помощью формулы (16.25) и табл.  16.2 «Лекций» (вып. 9, стр. 148 и 152) получаем

Маленькое изображение
 

Если состояние |j = 3/2, m′=+1/2> распадется и протон полетит вдоль оси z′, а мезон —в противоположном направлении, то спин протона обязательно должен быть Направлен вдоль оси z′. Если m′=–1/2>, то спин протона после распада направлен против оси z′. Амплитуды распадов в этих двух случаях равны соответственно f и g. Теперь мы можем записать полные амплитуды процесса фоторождения π-мезона на протоне:

Маленькое изображение
 

Индекс μ означает проекцию спина протона на ось z до столкновения, а индекс μ′ — проекцию спина протона на направление его импульса после столкновения. Другие квантовые числа опущены. Совершенно аналогично можно получить амплитуды для случая μ=1/2:

Маленькое изображение
 

Возводя найденные амплитуды по модулю в квадрат, усредняя по начальным значениям проекций спина протона и суммируя по конечным, получаем угловое распределение протонов:

Маленькое изображение
 

При вычислении этого выражения учтем равенство f=g, следующее из закона сохранения четности. В результата получим

Маленькое изображение
 

Угловое распределение мезонов получится отсюда заменой θ → π—θ, ибо мезон и протон движутся в противоположных направлениях. Это не  меняет полученного выражения.
 
16.4. Пусть π-мезон падает на мишень вдоль оси z, а проекция спина протона на эту ось равна μ. Рассмотрим такой процесс, когда после рассеяния π-мезон движется вдоль оси zс полярными углами (θ, φ), а проекция спина протона на ось z равна μ′. При образовании промежуточного состояния |j = 3/2, m> проекция момента количества движения системы должна сохраниться, так что m = μ. Точно так же при распаде состояния | 3/2, m′> с испусканием мезона вдоль оси z должно выполняться равенство m = μ. Тогда амплитуду рассматриваемого процесса можно записать как произведение амплитуды fμ образования состояния | 3/2, μ>, амплитуды обнаружения в этом состоянии другого состояния | 3/2, μ′> с проекцией спина μ′ на новую ось z′, и амплитуды gμ распада такого состояния с испусканием мезона вдоль оси z′. Вторая из этих амплитуд равна матрице поворота  для спина 3/2

Маленькое изображение
 

Допустимые значения μ и μ′ в нашем случае   равны   ± 1/2.
Из табл. 16.2 «Лекций» (вып. 9, стр.  152) получаем

Маленькое изображение
 

Угловое распределение π-мезонов при рассеянии на неполяризованных протонах получается с помощью введенных амплитуд усреднением по начальным и суммированием по конечным поляризациям протона:

Маленькое изображение
 

Сравним теперь образование промежуточного состояния  с j = 3/2, когда протон поляризован по оси z и против оси z. Если повернуть систему координат на 180° вокруг оси у и затем выполнить операцию зеркального отражения относительно плоскости ху, то направление спина изменится на противоположное, а импульсы сталкивающихся частиц не изменятся. Поэтому в силу сохранения четности амплитуды f+ 1/2  и f_ 1/2  могут отличаться  самое большее  несущественным   фазовым   множителем,  так  что  | f+ 1/2|  =| f_ 1/2 |= f. Подобное соотношение   справедливо и для амплитуд распада

Маленькое изображение
 

Тогда угловое распределение   π-мезонов   при   рассеянии  на неполяризованных протонах принимает простой вид

Маленькое изображение
 

16.5. Определим угловую зависимость амплитуд испускания  право- и левополяризоваиного фотонов:

Маленькое изображение
 

Здесь индекс π указывает четность возбужденного состояния и принимает значение + или —, так что 1 + , например, означает, что полный спин системы равен единице, а четность положительна; величины аπR и аπL представляют собой амплитуды испускания вдоль оси z′ фотона с правой и левой круговыми поляризациями, если возбужденный атом находится соответственно в состояниях |1π, m′=+1> и |1π, m′=—1>. Для данного значения четности возбужденного состояния π эти амплитуды равны по абсолютной величине, но их относительный знак (см. § 1 гл. 16 «Лекций», вып. 9, стр. 131) зависит от значения π: аπR = πаπL. Если поляризация фотонов не регистрируется, то угловое распределение не зависит от четности возбужденного состояния:

Маленькое изображение
 

Угловое  распределение  фотонов  с  круговой   поляризацией тоже, очевидно, не зависит от  π:

Маленькое изображение
 

Найдем теперь угловые распределения линейно поляризованных фотонов. Амплитуда испускания фотона с поляризацией вдоль оси х′ или у′ выражается через амплитуды испускания фотонов с круговой поляризацией

Маленькое изображение
 

Тогда амплитуды испускания линейно  поляризованных фотонов равны

Маленькое изображение
 

Квадраты модулей этих амплитуд дают угловые распределения фотонов, поляризованных соответственно вдоль осей х′ и у′. В случае положительной четности возбужденного состояния получаем

Маленькое изображение
 

Если же четность отрицательна, то угловые распределения оказываются иными:

Маленькое изображение
 

Если вспомнить, каким образом мы переходили от оси z к оси z′, то легко убедиться, что ось х′ лежит в плоскости, проведенной через направление ориентации спина возбужденного состояния и направление излучения фотона, а ось у′ перпендикулярна к этой плоскости.
Таким образом, по угловому распределению линейно поляризованных фотонов можно определить четность возбужденного состояния.



ЧИТАЙТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2016
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.