Главная >> В мире больших скоростей >> Специальная теория относительности

9. Теория относительности и геометрия

Классическая механика считала относительной (т. е. зависящей от выбора системы отсчета) скорость. Специальная теория относительности добавила сюда еще промежуток времени и расстояние в пространстве. Вследствие этого ряд понятий, которые мы привыкли считать абсолютными, при ближайшем рассмотрении оказывается относительным. Это относится, в частности, к форме тела. Проиллюстрируем сказанное некоторыми примерами.

Рис. 34.  Куб

Изготовим куб, длина ребра которого равна 1 м, и поставим его на землю (рис. 34). Предположим, что над кубом в направлении ребра АВ с большой скоростью проносится самолет. Если летчик измерит размеры куба, то он обнаружит,   что   ребра   куба   АВ, EF,  DC и EG короче остальных восьми. Таким образом, по мнению летчика, на земле будет стоять не куб, а прямоугольный параллелепипед. Тело, которое в инерциальной системе Земли представляет собой куб, в системе самолета будет прямоугольным параллелепипедом, причем размеры последнего будут зависеть от скорости самолета относительно Земли.
 
Увидеть вместо куба прямоугольный параллелепипед не единственная возможность. Для летчика, пролетающего над кубом в направлении, отличном от направления АВ, расположенный на земле куб может по форме отличаться и от прямоугольного параллелепипеда. Таким образом, форма шестигранника (который по отношению к Земле является кубом) зависит от инерциальной системы, в которой мы его описываем. Несколько примеров того, как форма шестигранника зависит от инерциальной системы, приведены в табл. 5.

Рис. 35. Если неподвижная фигура является окружностью, то движущаяся будет эллипсом

Сказанное выше имеет место не только для шестигранника, но и для тела любой формы. Форма тела всегда зависит от направления и скорости движения. Например, в одной инерциальной системе тело может иметь форму шара, в другой же — форму эллипсоида; в одной системе тело может быть цилиндром вращения, в другой — эллиптическим цилиндром. Форма тела относительна. Только число граней не относительно. Шестигранник всегда останется шестигранником, в какой бы инерциальной системе мы его ни рассматривали.

Если относительны размеры и форма тела, то, естественно, относительным будет и его объем. Объем тела, движущегося со скоростью v, будет в  √(1 - v²/c²) раз меньше объема точно такого же покоящегося тела
V = V_o  √(1 - v²/c²)  (a)
где  V_o — объем неподвижного  тела;   V — объем этого  же  тела  в случае, когда оно движется со скоростью v.

Аналогично, если плоская фигура движется в своей плоскости со скоростью v, то ее площадь будет в √(1 - v²/c²) paз меньше площади другой, точно такой же, но покоящейся плоской фигуры. В виде формулы это выразится так:

S = S_o  √(1 - v²/c²)    (б)
где So — площадь неподвижной фигуры; S — площадь этой же фигуры в случае ее движения в своей плоскости со скоростью v. Теория относительности позволяет легко найти различные формулы для определения геометрических размеров различных фигур. Приведем пример.

Пусть дан круг, радиус которого равен а. Площадь круга равна, как известно, πа². Представим теперь, что круг начинает двигаться в направлении, указапном на рисунке 35. Тогда, согласно формуле (б), площадь круга станет равной
 
S = πа² √(1 - v²/c²)       (в)

Мы знаем также, что радиус в направлении движения будет отличаться от а, его длина выразится формулой b = a√(1 - v²/c²). Фактически это означает, что вместо круга мы имеем эллипс. Заменяя в выражении площади S величину a√(1 - v²/c²)    на его значение b, получим формулу для площади эллипса: S = πab, где а и b — полуоси эллипса.
 
Аналогично можно вывести формулы площади и объема для многих других геометрических фигур, причем всегда можно исходить из более простых фигур. Так, например, формулу площади ромба можно найти из формулы площади квадрата, а объем эллипсоида, исходя из выражения для объема шара.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: