Главная

2.4.2. Соотношения микросечений одного нуклида

Микросечение лю­бого нуклида по отношению к любой нейтронной реакции - величина, про­порциональная вероятности этой реакции на одиночном ядре под действием одиночного нейтрона в единицу времени. Пользуясь терминологией теории вероятностей, можно утверждать, что одновременное рассеяние и поглоще­ние нейтрона одним ядром - события несовместные. Поэтому вероятность любого из этих процессов равна сумме вероятностей каждого из них, а, следовательно:
σⁱ = σ_aⁱ + σ_sⁱ                                       (2.4.6)

Величина σⁱ называется полным микросечением i-го нуклида (часто полное микросечение нуклида обозначается как σ_tot; слово  total почти во всех языках  романской группы имеет значение полный). Итак:
Полное микросечение нуклида складывается из микросечений поглощения и рассеяния и представляет собой  величину,  пропорциональную вероятности того,  что  на  рассматриваемом одиночном нуклиде при взаимодействии с одиночным нейтроном произойдет в единицу времени  либо поглощение нейтрона, либо его рассеяние.
Точно так же реакции, приводящие к поглощению нейтрона одиночным ядром - радиационный захват и деление - являются одновременно несов­местными событиями (поглощение нейтрона ядром завершается либо радиа­ционным захватом нейтрона, либо делением ядра), поэтому:
σ_aⁱ = σ_cⁱ + σ_fⁱ                               (2.4.7)

Формула (2.4.7) справедлива для любых (и делящихся, и неделящихся) нуклидов, но так как у неделящихся нуклидов σ_fⁱ = 0, то у таких нукли­дов σ_aⁱ = σ_cⁱ, то есть:
Иначе говоря, для неделящихся нуклидов (каковых подавляющее боль­шинство) понятия поглощения и радиационного захвата идентичны.
Аналогично из несовместности одновременного акта упругого и неуп­ругого рассеяния на одном ядре следует
σ_sⁱ = σ_seⁱ + σ_siⁱ               (2.4.8)
Таким образом, полное микросечение нейтронных взаимодействий нук­лида в самом общем случае:
σⁱ = σ_cⁱ + σ_fⁱ + σ_seⁱ + σ_siⁱ                     (2.4.9)
 У неделящихся  нуклидов  микросечения  поглощения и радиационного  захвата одинаковы,  у делящихся нуклидов микросечение  поглощения  больше микросечения  радиационного захвата на величину микросечения деления.

2.4.3. Макросечения сложных сред. Если гомогенная среда состоит из k сортов различных ядер, каждый из которых в этом гомогенном объёме имеет свою ядерную концентрацию (N_i), а плотность потока нейтронов  в нём равна Ф нейтр/см²с, то очевидно, что суммарная  скорость любой нейтронной  реакции на всех ядрах единичного объёма этой среды будет равна сумме скоростей этой реакции на ядрах каждого сорта:
(R_j)^ср = σ_j¹N₁Ф + σ_j²N₂Ф + σj³N₃Ф + ... + σ_j^kN_kФ = (Σ_j¹ + Σ_j² + Σ_j³ + ... + Σ_j^k) Ф = Ф Σ^k_i=1 (Σ_jⁱ).                                                             
Отсюда следует, что среднее макросечение этой гомогенной среды:
Σ_j^ср = Σ_i=1^k Σ_jⁱ = Σ_j¹+Σ_j²+Σ_j³+ ... +Σ_j^k = σ_j¹N₁ + σ_j²N₂ + σ_j³N₃ + ... + σ_j^kN_k.             (2.4.10)
Таким образом, эффективные макросечения сложных гомогенных сред (химических соединений,  растворов,  сплавов или просто хорошо переме­шанных тонкодисперсных смесей) легко вычисляются, если известны значе­ния микросечений компонентов и их ядерные концентрации.
Характерные случаи вычисления ядерных концентраций компонентов гомогенных сред разобраны в п.1.1. Что же касается вычисления эффек­тивных микросечений компонентов, то с этим дело обстоит немного слож­нее, поскольку зависимости различных микросечений нуклидов от энергии взаимодействующих с ними нейтронов существенно различны, и единых за­кономерностей в этих зависимостях для диапазона "реакторных нейтронов" (0÷20) МэВ не установлено.

2.4.4. Зависимости s(E) в области медленных нейтронов. Единствен­ной закономерностью зависимости микросечений поглощения (радиационного захвата, деления) для подавляющего большинства нуклидов от энергии нейтронов является зависимость s(E) в области медленных нейтронов:
Величины микросечений поглощения нуклидов в области медленных энергий нейтронов  (0÷0.625 эВ) изменяются обратно пропор­ционально скорости нейтронов, т.е.
 σ_a(v) = const /  v                                             (2.4.11)
Это предложение в виде гипотезы впервые высказано Л.Ландау и чаще всего называется законом обратной скорости или просто законом "1/v".
Обратную пропорциональность этой зависимости можно записать и так:
σ_a(v)/σ_a(v_o) = v_o/v,    или        σ_a(E)/σ_a(E_o) =  (E_o / E)^1/2 ,        или
 
σ_a(E) = const₁ / E^1/2                                    (2.4.11a)
то есть в области медленных энергий нейтронов величины микросече­ний поглощения подчинены закономерности "1/√E"
Этот простой вид зависимости позволяет избрать некоторую "стандартную скорость" (v_o) или соответствующую ей "стандартную энер­гию" (Е_о), при которой можно табулировать величины микросечений погло­щения (радиационного захвата, деления), измеренные в одинаковых усло­виях, и, исходя  впоследствии из этих табличных значений (σ_ao),  вычислять по единой зависимости величины микросечений погло­щения для медленных нейтронов любых других кинетических энергий (скоростей).
В качестве такой "стандартной" энергии нейтронов, для которой та­булируются сечения поглощения нуклидов для медленных нейтронов, принята наиболее вероятная энергия тепловых нейтронов при их максвелловском распределени
Е_о = (Е_нв)_тн = kT_н
при "комнатной" температуре нейтронов t_н0 = 20^оС или Т_н0 = 293К, то есть при наиболее вероятной энергии тепловых нейтронов в среде, ра
E_o = 8.63 ^. 10^{-5 .} 293 = 0.0253 эВ ,  или  Е_о = 4.0536 ^. 10^-21 Дж
Этой наиболее вероятной энергии тепловых нейтронов соответствует их скорость
v_o = (2E_o/m_n )^½ = (2 ^.4.0536 ^.10^-21/1.6749 ^.10^-27 ) ^½ = 2200 м/с
Нейтроны с v_o= 2200 м/с или Е_о= 0.0253 эВ принято называть стан­дартными нейтронами, а величины микросечений поглощения (радиаци­онного захвата, деления) для этих параметров - стандартными мик­росечениями.
Именно величины стандартных микросечений нуклидов приводятся в лю­бом справочнике по ядерным константам для тепловых нейтронов.
Итак, исходя из закономерности (2.4.11а), величина эффективного ми­кросечения поглощения при любой наиболее вероятной тепловых нейтронов (Е_нв), соответствующей температуре тепловых нейтронов Т_н = 293 K:                            
σ_a(E_нв) = σ_ao √(E_о/Е_нв)  =  s_ao √(T_нo/T_н)  = s_ao √(293/T_н)                               (2.4.12)

Но вся совокупность тепловых нейтронов - это не только тепловые нейтроны с наиболее вероятной энергией Е_нв, и для того, чтобы  охарак­теризовать способность всех тепловых нейтронов к взаимодействию с нук­лидами определённого вида, надо знать их среднюю энергию, для того, чтобы относиться ко всем различным по энергиям реальным тепловым нейт­ронам максвелловского спектра как к такому же количеству тепловых нейт­ронов, но имеющих одинаковую, среднюю энергию.  Иначе говоря,, реальная совокупность тепловых нейтронов мысленно заменяется таким же числом "усредненных" тепловых нейтронов (то есть имеющих одинаковую энергию, равную средней энергии максвелловского спектра Е_ср).
В п.2.3.2 уже отмечалась "счастливая" особенность максвелловского спектра: какой бы ни была температура нейтронов Т_н (и соответствующая ей наиболее вероятная энергия тепловых нейтронов  Е_нв), отношение сред­ней энергии (Е_ср) к наиболее вероятной энергии (Е_нв) - есть величина постоянная, равная
Е_ср/Е_нв = 4/p » 1.273
Следовательно, отношение эффективных микросечений поглощения при средней и при наиболее вероятной энергиях тепловых нейтронов в силу закона "1/v"

σ_a(Е_ср)/ σ_a(E_нв) = √Е_нв / √Е_ср = √Е_нв/Е_ср = √p /4 ≈ 0.886.
Отсюда следует, что величина микросечения поглощения при средней энергии тепловых нейтронов
σ_a(E_ср) = σ_a(E_нв) √p /2, а с учётом (2.4.12):                                             
σ_a(Т_н) = σ_ao √p /2  √(293/T_н )                        (2.4.13)
Итак, для того, чтобы найти величину среднеэффективного микросе­чения поглощения (радиационного захвата, деления) для ядер рассматри­ваемого сорта (подчиняющихся закону "1/v"), надо соответствующее стан­дартное микросечение умножить на коэффициент усреднения по спектру Максвелла
(√p / 2 ≈ 0.886                                                      
и результат домножить на корректирующий сомножитель √293/Т_н, учи­тывающий подвижку максимума спектра Максвелла в область более высоких энергий с ростом температуры нейтронов Т_н.
Так вычисляются среднеэффективные микросечения поглощения для по­давляющего большинства известных нуклидов, которые подчиняются закону "1/v".
К сожалению, не все нуклиды подчиняются закону "1/v": зависимости большинства делящихся нуклидов (²³⁵U, ²³⁹Pu, ²⁴¹Pu...) и некоторых радиоактивных нуклидов и веществ (D₂O) существенно отличаются от этой удобной закономерности, и единой теоретической закономерности в отклонениях s_a(v) от закона "1/v" для подобных нуклидов установить не удалось. Не подчиня­ются закону "1/v" и ядра углерода в графите.
Для вычислений среднеэффективных микросечений поглощения для не подчиняющихся закону "1/v" нуклидов пользуются той же формулой (2.4.13) (тем самым полагая, что микросечения подчиняются закону "1/v"), добав­ляя в правую ее часть ещё один корректирующий множитель g_jⁱ, называе­мый фактором Весткотта и учитывающий отклонение величины реально изме­ренного микросечения от величины этого сечения, рассчитанного по фор­муле (2.4.13) при рассматриваемой температуре нейтронов. Иначе говоря:
Фактор Весткотта g_jⁱ для i-го нуклида и j-ой реакции (поглощения, радиационного захвата или деления) - есть отношение реальной ве­личины сечения к той его величине, которая была бы при той же температуре нейтронов, если бы зависимость σ_jⁱ(v) подчинялась за­кону "1/v".
Таким образом, расчётная формула (2.4.13) с учётом весткоттовской коррекции приобретает общий на все случаи жизни вид:         
σ_jⁱ(T_н) = (σ_jⁱ)_o √(p /2 √(293/Т_н)) g_jⁱ(T_н),                                  (2.4.14)
где фактор  Весткотта  для  j-ой  реакции i-го нуклида либо берётся из справочных таблиц, либо вычисляется по эмпирическим формулам, получен­ным на основе анализа результатов физических экспериментов.
Например, для микросечения поглощения урана-235 фактор Весткотта с относительной погрешностью не более ±1.5% описывается зависимостью

g_a⁵(T_н) = 0.912 + 0.25 exp(-0.00475 T_н).                              (2.4.15)
Фактор Весткотта для микросечений деления урана-235 на графике g_f⁵(Т_н) выглядит практически эквидистантным к кривой g_a⁵(Т_н), то есть:
g_f⁵(T_н) = g_a⁵(T_н) - 0.004.                                             (2.4.16)
Для другого важного топливного компонента ядерных реакторов - плу­тония-239 - факторы Весткотта для микросечений поглощения и деления аппроксимируются квадратными полиномами с точностью ± 3%:
g_a⁹(Т_н) = 0.9442 - 4.038 ^.10^-4 Т_н + 2.6375 ^.10^-6 Т_н²                (2.4.17)
g_f⁹(Т_н) = 0.8948 - 1.430 ^.10^-4 Т_н + 2.022 ^.10^-6 Т_н²                   (2.4.18)
Указанная точность приведенных эмпирических зависимостей обеспе­чивается в пределах температур нейтронов до 2800^оС.
Все сказанное о зависимости "1/v" и отклонений от неё касается только микросечений поглощения, радиационного захвата и деления (то есть справедливо только для реакций, приводящих к поглощению нейтронов).
Зависимости микросечений упругого и неупругого рассеяния в облас­ти медленных энергий нейтронов для подавляющего большинства нуклидов очень несущественны, что дало повод к тому, чтобы в справочные таблицы внести их уже усреднёнными по спектру Максвелла и считать, что величи­ны микросечений рассеяния нуклидами тепловых нейтронов от величины ки­нетической энергии нейтронов не зависят.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: