Главная >> Лекции по ядерной физике >> Уравнение возраста Ферми и его решение 5.4.3. Решение уравнения возраста
Уравнение возраста является дифференциальным уравнением второго порядка в частных производных, поэтому для получения конкретного его решения для условий активной зоны реактора необходимо указать пару начальных условий. В качестве последних можно использовать две упомянутых выше частности:
- при Е = Ео τ(Eo) = 0 и q*(r, 0) = qf*;
- при Е = Ес τ(Ec) = tт и q*(r,tт) = qт*.
Предположим, что решение уравнения возраста найдено в виде произведения двух функций:
q*(r,τ) = T(τ) R(r), (5.4.3)
одна из которых Т(τ) является функцией только возраста τ, а другая R(r) - функцией только координат r.
Если (5.4.3) - решение уравнения (5.4.2), то, будучи подставленным в (5.4.2), оно должно обращать последнее в тождество. Выполним эту подстановку, для чего найдём вначале выражения для dq*/dτ и ♥2q*:
dq*/dτ = R dT/dt, (5.4.4)
так как функция R переменной τ не содержит, а это значит, что при частном дифференцировании к ней можно относиться как к постоянной величине. Аналогично рассуждая,
так как функция Т не содержит координат r.
Итак, подстановка (5.4.4) и (5.4.5) в (5.4.2) даёт тождество:
Задумавшись о том, когда может быть так, что две разные функции различных аргументов всегда тождественно равны друг другу при различных значениях этих аргументов, мы должны однозначно ответить так, как ответил Э.Ферми: это может быть только в том случае, если обе эти функции - есть постоянная величина.
Более того, связывая функцию (1/Т)dT/dτ с физическим смыслом зависимости плотности замедления q* от возраста t, можно сказать, что эта постоянная величина (обозначим ее - B2) должна иметь обязательно отрицательный знак, т.к. функция плотности замедления q*(t) не может быть возрастающей функцией с увеличением возраста нейтронов (иначе это противоречило бы физическому смыслу: число нейтронов поколения в процессе их замедления может либо оставаться постоянным (в непоглощающей среде), либо убывать (за счёт поглощения и утечки), но никак не возрастать).
Поскольку B2 - присущая реактору величина, её принято называть параметром реактора.
С учётом принятого обозначения упомянутой постоянной величины тождество (5.4.6) можно переписать в виде двух отдельных равенств:
Уравнение (5.4.7) представляет собой энергетическую часть решения уравнения возраста, в то время как уравнение (5.4.8) - пространственная его часть.
Общее решение дифференциального уравнения (5.4.7) имеет вид:
T = To exp(-B2τ),
где То - некоторое значение функции Т при τ = 0.
Cледовательно, плотность замедления q* в соответствии с выражением (5.4.3) будет равна:
q* = RT = RToexp(-B2τ) (5.4.9)
Используя для (5.4.9) первое граничное условие, имеем: qf* = RTo (5.4.10)
Но величину qf* - скорости генерации нейтронов деления - можно получить и из общих рассуждений, исходя из среднего значения плотности потока тепловых нейтронов в активной зоне реактора.
Если Σa - среднее пообъёму активной зоны макросечение поглощения тепловых нейтронов, а Ф - средняя по её объёму плотность потока тепловых нейтронов, то:
- ΣaФ - это средняя по объёму активной зоны скорость поглощения тепловых нейтронов в ней, а
- ΣaФθ - это средняя по объёмуактивной зоны скорость поглощения тепловых нейтронов делящимися под действием тепловых нейтронов ядрами, а
- ΣaФθη - средняя по объёму активной зоны скорость генерации нейтронов деления, полученных в делениях ядер топлива под действием тепловых нейтронов, а
- ΣaФθηε - средняя скорость генерации всех нейтронов деления, полученных в делениях топлива нейтронами всех энергий; это и есть искомая нами величина qf* = ΣaФθηε = ΣaФk∞ / φ.
Сравнивая последнее выражение с (5.4.10), имеем: k∞ ΣaФ/φ = RTo, откуда R = k∞ ΣaФ/(T0φ) (5.4.11) Таким образом, общее решение (5.4.9) с учётом найденной величины функции R (5.4.11) будет иметь вид: q* = RToexp(-B2τ) = (1/φ) k∞ ΣaФ exp(-B2τ) (5.4.12) Выражение (5.4.12) - есть общее решение уравнения возраста Ферми, дающее величину плотности замедления q* при любом произвольном значении возрастаt. Из второго начального условия для плотности замедления тепловых нейтронов это выражение приобретает частный вид средней по объёму активной зоны скорости генерации тепловых нейтронов: qт* = (1/φ) k∞ ΣaФ exp (-B2τт) (5.4.13) Напомним, что до сих пор речь велась о плотности замедления в идеальной непоглощающей замедляющиеся нейтроны среде. Подставляя найденную величину qт* в формулу (5.4.1), имеем: qт = qт*φ = k∞ΣaФ exp (- B2τт) (5.4.14) - выражение для скорости генерации тепловых нейтронов в реальной активной зоне с резонансными поглотителями замедляющихся нейтронов.
СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:
Социальные комментарии Cackle
|