Главная >> Лекции по ядерной физике >> Система дифференциальных уравнений кинетики реактора с учётом шести групп запаздывающих нейтронов.

12.1.1. Дифференциальное уравнение скорости изменения плотности нейтронов.

12.1.1. Используя один из простейших приёмов математической физики, величину эффективного коэффициента размножения нейтронов в реакторе можно представить как сумму двух слагаемых, каждое из которых словно бы отдельно ответственно за размножение мгновенных и запаздывающих  нейтронов:
                 k_э = k_э - k_э β_э + k_эβ_э = k_э (1 - β_э)  +  k_эβ_э  =  k_эм  + k_эз ,         (12.2)
где  k_эм = k_э ( 1 - β_э ) - произведение эффективного коэффициента размножения на долю выхода мгновенных нейтронов, называемое коэффициентом размножения на мгновенных нейтронах, а
k_эз = k_э β_э - произведение эффективного коэффициента размножения на эффективную долю выхода запаздывающих нейтронов, называемое коэффициентом размножения на запаздывающих нейтронах.
Величина  β_э - в обоих случаях - это суммарная эффективная доля выхода запаздывающих нейтронов всех групп (мы рассматриваем приближение с шестью группами запаздывающих нейтронов).
Аналогично понятию избыточного коэффициента размножения  (δk_э = k_э -1) вводится понятие избыточного коэффициента размножения на мгновенных нейтронах,  величина которого будет равна:
        δk_эм = k_эм - 1 = k_э (1 - β_э) - 1 = k_э - 1 - k_эβ_э  = δk_э - k_эβ_э ≈ ρ - β_э ,          (12.3)
так как при k_э ≈ 1  величина  δk_э ≈ ρ ,  а  k_эβ_э ≈ β_э .

Обособленное рассмотрение размножения на мгновенных нейтронах даёт возможность первое слагаемое правой части (12.1) записать сразу, без вывода, используя известное нам элементарное уравнение кинетики реактора, в котором следует произвести лишь формальную замену: вместо δk_э - подставить величину δk_эм ≈ ρ - β_э , а вместо среднего времени жизни поколения нейтронов  - подставить l - время жизни мгновенных нейтронов, то есть 
                     dn_м/dt = [(ρ - β_э) / l] n(t)                                          (12.4)

Примечание. Из (12.3), строго говоря, следует, что
δk_эм =  δk_э - k_эβ_э = k_э [(δk_э / k_э) - β_э] = k_э (ρ  -  β_э) ,
но, как уже неоднократно отмечалось, величина  k_э в практике управления реальными энергетическими реакторами мало когда отличается от единицы более чем на 0.002, поэтому величина k_э без заметного ущерба для  точности может быть принята равной единице

Второе слагаемое в правой части (12.1.1) - скорость изменения плотности тепловых нейтронов, полученных в результате замедления запаздывающих нейтронов dn_з /dt. Эта величина находится из простых рассуждений.
Предположим, что реальная концентрация ядер-предшественников запаздывающих нейтронов  i-ой группы в рассматриваемый момент времени равна С_i. Это означает, что в единичном объёме активной зоны будет происходить β-распад этих предшественников со скоростью λ_iC_i ( где λ_i - постоянная β-распада предшественников i-ой группы. Это, в свою очередь, означает, что в этом единичном объёме ежесекундно будут образовываться λ_iC_i  ядер-излучателей запаздывающих нейтронов этой группы, а, поскольку каждое ядро-излучатель практически без запаздывания испускает один запаздывающий нейтрон,  величина λ_iC_i является ещё и мгновенным значением скорости образования быстрых запаздывающих нейтронов i-ой группы.
Если бы эти быстрые запаздывающие нейтроны со стопроцентной достоверностью избегали утечки  и резонансного захвата при замедлении, то в каждом единичном объёме активной зоны в среднем  из них рождалось бы столько же тепловых нейтронов за 1 с, но если учесть, что из всех их только (р_з φ)-ая часть остаётся в активной зоне, то фактически в каждом единичном объёме активной зоны ежесекундно будет рождаться λ_iC_i p_з φ тепловых нейтронов, получаемых из запаздывающих нейтронов  i-ой группы. Общая же скорость генерации тепловых нейтронов из запаздывающих нейтронов всех шести групп будет равна

где обозначенная малым символом (с_i) величина   c_i = C_i p_зφ ,         (12.6)
называется  эффективной концентрацией предшественников i-ой группы. Эта величина, введенная в обиход из соображений чистого удобства (компактности записи), имеет смысл некоторой условной эквивалентной концентрации тех же предшественников, из которых ежесекундно получалось бы реальное количество тепловых запаздывающих нейтронов i-ой группы в случае, когда утечка и резонансный захват замедляющихся нейтронов в реакторе отсутствовали бы.
Таким образом, с учётом выражений (12.5) и (12.4)  исходное уравнение для скорости изменения плотности нейтронов в реакторе (12.1) приобретает вид:

Это уравнение является неопределённым, так как, кроме основной неизвестной функции n(t) оно содержит ещё шесть неизвестных функций - временных зависимостей эффективных концентраций предшественников запаздывающих нейтронов всех шести групп. Поэтому для того, чтобы получить конкретное решение, необходимо замкнуть систему, то есть присоединить к (12.7) ещё, как минимум, шесть дифференциальных уравнений, в которых функции с_i(t) фигурировали бы независимым от уравнения (12.7) образом.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: