На главную
Физика - одна из самых удивительных наук! Физика столь интенсивно развивается, что даже лучшие педагоги сталкиваются с большими трудностями, когда им надо рассказать о современной науке. Данный ресурс поможет эффективно и интересно изучать физику. Учите физику!
   

Обучение и материалы
Физический справочник
Формулы по физике
Шпаргалки по физике
Энциклопедия
Репетиторы по физике
Работа для физиков
Быстрый устный счет
Виртуальные лабораторные
Опыты по физике
ЕГЭ онлайн
Онлайн тестирование
Ученые физики
Необъяснимые явления
Ваша реклама на сайте
Разное
Контакты
Спецкурс
Фейнмановские лекции

В мире больших скоростей

Введение в теорию относительности

Лекции по биофизике
Лекции по ядерной физике
Ускорение времени...
Лазеры
Нанотехнологии
Книги
полезное
Смешные анекдоты о физике
Готовые шпоры по физике
Физика в жизни
Ученые и деньги
Нобелевские лауреаты
Фото
Видео
Карта сайта
На заметку
Если вам понравился сайт, предлагаем разместить нашу кнопку
Кнопка сайта All-fizika.com
Дополнительно
Компьютерные программы
по физике
Программы по физике


Физика и юмор
Физика и юмор


Онлайн тестирование
по физике
Онлайн тестирование по физике



-









12.1.4. Уравнение обратных часов.

а ) Уравнение обратных часов как характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора.   Развёрнутый вид уравнения обратных часов:

Маленькое изображение 

свидетельствует о том, что это - алгебраическое уравнение седьмой степени относительно Т. Для того, чтобы понять это, достаточно мысленно представить, что получится в числителе выражения  правой части уравнения после приведения его к общему знаменателю: седьмая степень уравнения становится очевидной.  А это значит, что уравнение обратных часов в самом общем случае должно иметь семь корней.

В разделе математики “Решение дифференциальных уравнений” говорится, что вид, величины и знаки корней характеристического уравнения определяют вид решения дифференциальных уравнений. В частности, если характеристическое уравнение имеет действительные корни, то решение дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) имеет экспоненциальный вид. Это побуждает нас заняться анализом корней уравнения обратных часов.

Но вначале следует уточнить одну немаловажную деталь: отыскивая с самого начала именно экспоненциальное решение для дифференциального уравнения изменения плотности нейтронов в виде одной экспоненты - n(t) = no exp (t / T), - мы невольно совершили небольшой просчёт, который следует исправить по ходу дела. Если уравнение обратных часов имеет семь корней, то общее решение системы дифференциальных уравнений кинетики реактора  будет не одной экспонентой, а будет представлять собой сумму семи экспонент, показатели которых определяются величинами этих семи корней уравнения обратных часов:

 n(t) = Aoexp(t/To) + A1exp(t/T1) + A2exp(t/T2) + A3exp(t/T3) + A4exp(t/T4) + A5exp(t/T5) +    A6exp(t/T6)

или в более краткой форме:

Маленькое изображение 

где  То, T1, T2, ... , T6 - значения семи корней уравнения обратных часов, а Ao, A1, A2, ... , A6 - величины постоянных интегрирования, находимые путём подстановки в общее решение (12.19) конкретных начальных условий.
Знаки корней уравнения обратных часов наиболее наглядно видны, если показать его решение в графическом виде (см. рис.12.3).            

Маленькое изображение 

Рис. 12.3. График  зависимости корней уравнения  обратных часов при положительных и отрицательных реактивностях разной величины.

На этом графике показано решение уравнения обратных часов в зависимости не от величины самого периода Т, а от обратной ему величины 1/Т: так удобнее выполнять решение уравнения аналитически.
 Как видим, функция ρ = f (1/T) имеет шесть точек разрыва (второго рода), и именно благодаря этой разрывности отдельные корни уравнения обратных часов отображаются на графике достаточно наглядно: области изменения каждого из семи корней по оси 1/T лежат между соответствующими точками разрыва; например, нулевой обратный корень 1/То лежит правее первой точки разрыва (- λ1), первый обратный корень 1/Т1 - между первой и второй точками разрыва (-λ1 и -λ2),  второй обратный корень 1/T2 - между второй и третьей точками разрыва (-λ2 и -λ3 ) и так далее; значения последнего, седьмого, обратного корня 1/Т7 - располагаются левее последней, шестой, точки разрыва  (-λ6).

При этом  знаки всех семи корней уравнения обратных часов определяются самым наглядным образом: в точках пересечения соответствующих участков графика с горизонтальной прямой, отсекающей на оси ординат рассматриваемое значение реактивности ρ.

Из графика видно, что, если величина сообщаемой реактору реактивности положительна, то нулевой обратный корень 1/То , а, значит, и сам корень То, - положителен (т.к. располагается в правой полуплоскости, правее оси О - ρ). Остальные шесть корней (Т1 ÷ Т6) уравнения обратных часов - отрицательны (лежат в левой полуплоскости). Если же величина сообщаемой реактору реактивности отрицательна, то все семь корней уравнения обратных часов отрицательны (лежат в левой, отрицательной, полуплоскости).Что касается величин самих корней, то они, как следует из графика, определяются только величиной сообщаемой реактору реактивности ρ.
Теперь о знаках постоянных интегрирования  (Ао ÷ А6). Здесь не приводится полный (и очень громоздкий) аналитический вывод общего выражения для любой из постоянных интегрирования, которое имеет вид:

Маленькое изображение 

Квадрат выражения в скобках под знаком суммы, независимо от знака корня Тi , всегда имеет положительный знак, и, поскольку все остальные величины знаменателя положительны, то весь знаменатель (12.20) - всегда положителен. А раз так, то знак постоянной интегрирования Аi всегда определяется знаком произведения  ρТi  в числителе правой части этого выражения. То есть, если нулевой корень То при ρ > 0, как говорилось выше, положителен (То > 0), то произведение ρТо > 0, а, следовательно, Ао > 0. При отрицательной же величине реактивности (ρ < 0) произведение отрицательного нулевого корня То  на отрицательную величину реактивности ρ  даёт положительную величину произведения ρТо, и, следовательно, величина нулевой постоянной интегрирования будет иметь положительный знак. Проделав такой микроанализ со всеми величинами постоянных интегрирования, можно прийти к общему выводу:
при ρ>0:  То > 0 и Ао > 0, а остальные корни (Т1÷Т6)<0 и (А1÷А6) < 0               (12.21)
при ρ<0:  все 7 корней (То÷Т6)<0,  а постоянные интегрирования (Ао÷А6)>0  (12.22)

б) Самостоятельное практическое значение решения уравнения обратных часов.
Анализ знаков корней уравнения обратных часов и постоянных интегрирования безусловно важен, так как он даёт возможность выявить качественную структуру и дать физическое толкование характеру переходных процессов при сообщении реактору реактивности того или иного знака.
Но значение уравнения обратных часов не исчерпывается только этим.  Забегая немного вперёд,  заметим, что из семи корней уравнения обратных часов старший корень То (старший - в математическом понимании этого слова, то есть - наибольший по величине) имеет простое физическое толкование: это - тот самый установившийся период, определяющий “чисто экспоненциальное” изменение плотности нейтронов в реакторе в развитой стадии переходного процесса n(t). (Почему это так, станет ясно немного позже).
Эту величину установившегося периода, как уже говорилось, легко измерить практически с помощью самого обычного секундомера. Вместе с тем, величина установившегося периода (То) для конкретного реактора  в рассматриваемый момент кампании определяется только величиной сообщённой реактору реактивности ρ, следовательно, уравнение обратных часов для конкретного реактора (с конкретной величиной βэ) устанавливает жёсткую однозначную взаимосвязь величин реактивности ρ и установившегося периода То (или ρ - с величиной установившегося периода удвоения мощности реактора Т2, которая, как мы знаем, пропорциональна  величине установившегося периода То).
А это значит, что по величине измеренного установившегося периода удвоения мощности можно находить величину сообщённой реактору реактивности, и, наоборот, - по величине сообщённой реактору реактивности можно предсказывать, с каким установившимся периодом удвоения будет происходить установившийся разгон (или спад) мощности ядерного реактора. Это, согласитесь, практически очень важно для оператора реакторной установки. Эту взаимосвязь можно занести в программу компьютера, можно выразить в форме таблицы или в форме графика.

Маленькое изображение 

Рис. 12.2. Две наглядные формы взаимосвязи реактивности реактора ρ и установившегося периода удвоения мощности реактора Т2 , вытекающие из решения уравнения обратных часов.

Пользуясь приведенными таблицей или графиком, оператор имеет возможность быстро оценить величину реактивности реактора по измеренному периоду удвоения мощности или предсказать величину установившегося периода разгона реактора по величине реактивности, которую он собирается сообщить реактору.



СМОТРИТЕ ТАКЖЕ:


Социальные комментарии Cackle


 
 
© All-Физика, 2009-2024
При использовании материалов сайта ссылка на www.all-fizika.com обязательна.