Главная >> Лекции по ядерной физике

17.2. Система дифференциальных уравнений воспроизводства плутония-239

На основании такой упрощённой схемы собственно уравнение скорости изменения концентрации ²³⁹Pu составить несложно:

Первое слагаемое в правой части - скорость образования ²³⁹Pu (равная  скорости распада ²³⁹Np), а второе - скорость убыли ²³⁹Pu за счёт поглощения его ядрами нейтронов.
В этом уравнении две неизвестных функции - N₉(t) и N_Np(t), благодаря чему оно неопределённо, и для получения интересующего нас конкретного решения необходимо дополнить его другим уравнением, в котором функция N_Np(t) фигурировала бы независимым от (17.2.1) образом.
Скорость изменения концентрации нептуния-239 в соответствии со схемой:

- есть разница скоростей образования нептуния (за счёт β-распада возбуждённых ядер урана-239, параметры которого обозначены символом (_*)), и убыли его за счёт радиоактивного распада. В этом уравнении та же «беда», что и в предыдущем: появилась ещё одна неизвестная функция - N_9*(t), поэтому и его требуется дополнять ещё одним уравнением с N_9*(t), - уравнением скорости изменения концентрации урана-239.
Уран-239 образуется в двумя путями: за счёт поглощения ядрами ²³⁸U тепловых и резонансных нейтронов. И если скорость поглощения ядрами урана-238 тепловых нейтронов записывается как обычная скорость реакции поглощения (σ_a⁸N₈(t)Ф(t)), то для того, чтобы записать скорость поглощения ядрами урана-238 резонансных нейтронов, не вводя новых переменных, а исходя только из плотности потока тепловых нейтронов, необходимо немного порассуждать. 

Если Ф(t) - средняя по объёму топлива в активной зоне реактора плотность потока тепловых нейтронов, то скорость образования быстрых нейтронов деления за счёт делений ядер ²³⁵U тепловыми равна σ_a⁵N₅(t)Ф(t)η₅; аналогично скорость генерации нейтронов деления за счёт делений второго делящегося тепловыми нейтронами компонента топлива - ²³⁹Pu - равна σ_a⁹N₉(t)Ф(t)η₉, то есть суммарная скорость генерации нейтронов деления в делениях  ²³⁵U и ²³⁹Pu, полученных в делениях под действием только тепловых нейтронов, составит величину [σ_a⁵N₅(t)η₅ + σ_a⁹N₉(t)η₉]Ф(t). При замедлении эта величина увеличится за счёт делений ядер урана-238 быстрыми надпороговыми нейтронами в e раз (e - коэффициент размножения на быстрых нейтронах), а при дальнейшем замедлении до резонансного интервала от этих нейтронов останется лишь р_з-ая часть (р_з - вероятность избежания утечки при замедлении). Таким образом, суммарная скорость генерации резонансных нейтронов составит [σ_a⁵N₅(t)η₅ +σ_a⁹N₉(t)η₉]Ф(t)εp_з, а скорость поглощения резонансных нейтронов ядрами ²³⁸U - [σ_a⁵N₅(t)η₅ +σ_a⁹N₉(t)η₉] Ф(t) ε p_з(1-j) (где j - вероятность избежания резонансного захвата).
Поэтому дифференциальное уравнение скорости изменения концентрации ядер ²³⁹U* будет иметь следующий вид:

И в этом уравнении мы сталкиваемся с тем же затруднением, что и в предыдущих: в нём появилась новая неизвестная величина - N₈(t), из-за чего систему предыдущих  уравнений для замыкания необходимо дополнять ещё уравнением выгорания ²³⁸U:

Поскольку в этом уравнении появилась новая неизвестная функция - N₅(t), - систему всех предыдущих дифференциальных уравнений необходимо (для замыкания) дополнить уже известным нам уравнением выгорания урана-235:
                                     dN₅/dt = - σ_a⁵N₅(t) Ф(t)                                                (17.2.5) 
Полученная система пяти уравнений с пятью неизвестными функциями (N₉, N_9*, N_Np, N₈ и N₅) является замкнутой, а это значит, что она принципиально позволяет найти единственное решение для любого конкретного случая закономерного изменения величины плотности потока тепловых нейтронов в реакторе во времени Ф(t).
К сожалению, результат аналитического решения этой системы даже для простейших случаев - Ф(t) = idem и N_p(t) = idem - выглядит очень громоздко. Обычно решение выполняется на ЭВМ. Поэтому ограничимся рассмотрением его качественной закономерности в графическом виде.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: