Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 3 >> Глава 31. Как возникает показатель преломления

Поле, излучаемое средой

Мы должны теперь выяснить, имеет ли поле осциллирующих зарядов в пластинке тот же вид, что и поле Е_а во втором члене (31.8). Если это так, то тем самым мы найдем и показатель преломления n [поскольку n — единственный фактор в (31.8), не выражающийся через фундаментальные величины]. Вернемся теперь к вычислению поля Е_а , создаваемого зарядами пластинки. (Для удобства мы выписали в табл. 31.1 обозначения, которыми мы уже пользовались, и те, которые нам понадобятся в дальнейшем.)

Если источник S (на фиг. 31.1) находится слева на достаточно большом расстоянии, то поле E_s имеет одинаковую фазу по всей длине пластинки, и вблизи пластинки его можно записать в виде

На самой пластинке в точке z = 0 мы имеем

Это электрическое поле воздействует на каждый электрон в атоме, и они под действием электрической силы qE будут колебаться вверх и вниз (если Е₀ направлено вертикально). Чтобы найти характер движения электронов, представим атомы в виде маленьких осцилляторов, т.е. пусть электроны упруго соединены с атомом; это значит, что смещение электронов из нормального положения под действием силы пропорционально величине силы.

Если вы слышали о модели атома, в которой электроны вращаются по орбите вокруг ядра, то эта модель атома вам покажется просто смешной. Но это лишь упрощенная модель. Точная теория атома, основанная на квантовой механике, утверждает, что в процессах с участием света электроны ведут себя так, как будто они закреплены на пружинах. Итак, предположим, что на электроны действует линейная возвращающая сила, и поэтому они ведут себя как осцилляторы с массой m и резонансной частотой ω₀. Мы уже занимались изучением таких осцилляторов и знаем уравнение движения, которому они подчиняются:

(здесь F — внешняя сила).

В нашем случае внешняя сила создается электрическим полем волны источника, поэтому можно написать

где q_e—заряд электрона, а в качестве E_s мы взяли значение E_s = E₀e^iω из уравнения (31.10). Уравнение движения электрона приобретает вид

Решение этого уравнения, найденное нами раньше, выглядит следующим образом:

подставляя его в (31.13), получаем

откуда

Мы нашли то, что хотели,— движение электронов в пластинке. Оно одинаково для всех электронов, и только среднее положение («нуль» движения) у каждого электрона свое.

Теперь мы в состоянии определить поле Е_а, создаваемое атомами в точке Р, поскольку поле заряженной плоскости было найдено еще раньше (в конце гл. 30). Обращаясь к уравнению (30.19), мы видим, что поле Е_а в точке Р есть скорость заряда, запаздывающая по времени на величину z/с, умноженная на отрицательную константу. Дифференцируя х из (31.16), получаем скорость и, введя запаздывание [или же просто подставляя х₀ из (31.15) в (30.18)], приходим к формуле

Как и следовало ожидать, вынужденное колебание электронов привело к новой волне, распространяющейся вправо (на это указывает множитель exp [iω(t—z/c)]); амплитуда волны пропорциональна числу атомов на единице площади пластинки (множитель η), а также амплитуде поля источника (Е₀). Кроме того, возникают и другие величины, зависящие от свойств атомов (q_e, m , ω₀).

Самый важный момент, однако, заключается в том, что формула (31.17) для Е_а очень похожа на выражение Е_а в (31.8), полученное нами с помощью введения запаздывания в среде с показателем преломления n. Оба выражения совпадают, если положить

Заметьте, что обе стороны этого равенства пропорциональны Δz, поскольку η — число атомов на единицу площади — равно NΔz, где N — число атомов на единицу объема пластинки. Подставляя NΔz вместо η и сокращая на Δz получаем наш основной результат — формулу для показателя преломления, выраженную через константы, зависящие от свойств атомов, и частоту света:

Эта формула «объясняет» показатель преломления, к чему мы и стремились.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: