Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 4 >> Глава 50. Гармоники

Теорема об энергии

Энергия  волны  пропорциональна квадрату ее  амплитуды. Для сложной волны энергия за один период пропорциональна ^T₀∫f²(t) dt. Эту энергию можно связать с коэффициентами Фурье

После раскрытия квадрата в правой части мы получим сумму всевозможных перекрестных членов типа a₅cos5ωt  b₇ cos 7ωt. Однако выше мы уже показали [уравнения (50.11) и (50.12)], что интегралы от всех таких членов по одному периоду равны нулю, гак что останутся только квадратные члены, подобные a²₅cos²5ωt. Интеграл от любого квадрата косинуса или синуса по одному периоду равен Т/2, так что получаем

Это уравнение называют «теоремой об энергии», которая говорит, что полная энергия волны равна просто сумме энергий всех ее фурье-компонент. Применяя, например, эту теорему к ряду (50.19), мы получаем

поскольку [f(t)]² = 1. Таким образом мы узнали, что сумма квадратов обратных нечетных чисел равна π²/8. Точно так же, выписав сначала ряд Фурье для функции и используя затем теорему об энергии, можно доказать  результат,  понадобившийся  нам в гл. 45, т. е. что 1 + 1/2⁴ + 1/3⁴+ ... равно π⁴/90.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: