Главная >> Фейнмановские лекции по физике >> Том 1 >> Глава 11. Векторы

Векторная алгебра

Теперь мы должны описать законы, или правила, регулирующие возможные сочетания различных векторов. Прежде всего мы изучим сумму двух векторов. Пусть векторы а и b задаются в какой-нибудь системе координат составляющими а_х, a_y, a_z и b_x, b_y, b_z. Предположим, что кому-то пришло в голову составить три числа а_х + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z. Получим ли мы в результате вектор? Вы можете сказать: «Разумеется, ведь это три числа, а три числа образуют вектор». Нет, вектор образуют не любые три числа! Чтобы задать вектор, мы должны связать заданные нам три числа с координатной системой так, чтобы при повороте координатных осей эти числа «поворачивались» относительно друг друга и «перемешивались» по описанным ранее правилам. Таким образом, мы должны выяснить, во что превращаются числа а_х + b_x, a_y + b_y, a_z + b_z, если известно, что при изменении системы координат числа а_х, a_y, a_z переходят в а_{х`</sub>, a<sub>y`}, a_{z`</sub>, a b<sub>x</sub>, b<sub>y</sub>, b<sub>z</sub> переходят в b<sub>x`}, b_{y`</sub>, b<sub>z`}. Получим ли мы после поворота координатных осей числа а_{х`</sub> + b<sub>x`}, a_{y`</sub> + b<sub>y`}, a_{z`</sub> + b<sub>z`}? Ответ, конечно, будет утвердительным, потому что наше основное уравнение (11.5) определяет так называемое линейное преобразование. Если мы применим это преобразование к а_х + b_x и вычислим а_{х`</sub> + b<sub>x`}, то окажется, что преобразованное а_х + b_x есть то же самое, что и а_{х`</sub> + b<sub>x`}. «Складывая» векторы а и b по только что описанному правилу, мы получаем новый вектор с. Мы запишем это так:
с = а + b.

Вектор с обладает интересным свойством:
c = b+ a;
это легко проверить, написав составляющие вектора с. Кроме того,
а +(b+ с) = (а +b) + с.
Векторы можно складывать в любом порядке.

Каков геометрический смысл а + b? Как будет выглядеть вектор с, если мы, скажем, изобразим а и b с помощью стрелок? Ответ на этот вопрос дает фиг. 11.4. Мы видим, что прибавить составляющие вектора b к составляющим вектора а проще всего, приложив соответствующим образом прямоугольник, определяемый составляющими b, к такому же прямоугольнику, определяемому составляющими а. Поскольку а и b хорошо подогнаны к своим прямоугольникам, то это все равно, что поставить вектор b «ногами» на «голову» вектору а. Стрелка, соединяющая «ноги» вектора а и «голову» вектора Ь, и будет вектором с. Можно поступить иначе: поставить «ноги» а на «голову» Ь. Вспомнив геометрические свойства параллелограмма, можно убедиться в том, что мы снова получим тот же вектор с. Заметим, что, ставя векторы друг на друга, мы складываем их без помощи координатных осей.

Предположим, что мы умножили вектор а на число α. Что нужно понимать под таким произведением? Договоримся понимать под этим вектор с компонентами αа_х, αа_у, αа_z. Докажите сами, что это действительно вектор.

Рассмотрим теперь вычитание векторов. Можно определить вычитание тем же способом, что и сложение, но вместо того, чтобы складывать, будем вычитать составляющие. Можно также определить вычитание как сложение с отрицательным вектором — Ь = (—1)Ь. Результат будет тот же.

Вычитание векторов показано на фиг. 11.5. На этом чертеже изображено d = а—b = а + (—Ь); заметим также, что, зная векторы а и Ь, разность а—Ь можно легко найти из эквивалентного соотношения а = b + d. Таким образом найти разность векторов даже легче, чем сумму: просто нужно провести вектор, соединяющий b и а, и вы получите а—Ь!

Перейдем теперь к скорости. Почему скорость есть вектор? Если координаты точки равны х, г/, z, то скорость ее равна dx/dt, dy/dt, dz/dt. Вектор это или не вектор? Дифференцируя выражение (11.5), можно найти закон преобразования dx`/dt. Видно, что величины dx/dt, dy/dt преобразуются по тому же закону, что и х и у. Таким образом, скорость есть вектор. Выражение для скорости можно записать очень интересно:
v = dr/dt.

Постараемся нагляднее представить себе, что такое скорость и почему она вектор. Далеко ли продвинется частица за малое время Δt? Ответ: на Δr, т. е. если частица находится «здесь» в первое мгновение, а «там» — во второе, то векторная разность положений частицы равна вектору Δr=r₂—r₁? расположенному вдоль направления движения. Как это выглядит, показано на фиг. 11.6. Если разделить этот вектор на промежуток времени Δt = t₂—t₁, то мы получим вектор «средней скорости».

Иначе говоря, под вектором скорости мы понимаем предел разности радиус-векторов, соответствующих моментам t + Δt и t, деленной на Δt при Δt, стремящемся к нулю:

Скорость есть вектор постольку, поскольку она равна разности двух векторов. Это верно также и потому, что составляющие этого вектора равны dx/dt, dy/dt, dz/dt. Подумав над тем, что сейчас было проделано, мы придем к выводу, что, продифференцировав любой вектор по времени, мы снова получим какой-то новый вектор. Таким образом, имеется несколько способов получать новые векторы: 1) умножая вектор на постоянное число; 2) дифференцируя вектор по времени; 3) складывая два вектора или вычитая.

СМОТРИТЕ ТАКЖЕ: