Микросечение любого нуклида по отношению к любой нейтронной реакции - величина, пропорциональная вероятности этой реакции на одиночном ядре под действием одиночного нейтрона в единицу времени. Пользуясь терминологией теории вероятностей, можно утверждать, что одновременное рассеяние и поглощение нейтрона одним ядром - события несовместные. Поэтому вероятность любого из этих процессов равна сумме вероятностей каждого из них, а, следовательно:
σi = σai + σsi (2.4.6)
Величина σi называется полным микросечением i-го нуклида (часто полное микросечение нуклида обозначается как σtot; слово total почти во всех языках романской группы имеет значение полный). Итак:
Полное микросечение нуклида складывается из микросечений поглощения и рассеяния и представляет собой величину, пропорциональную вероятности того, что на рассматриваемом одиночном нуклиде при взаимодействии с одиночным нейтроном произойдет в единицу времени либо поглощение нейтрона, либо его рассеяние.
Точно так же реакции, приводящие к поглощению нейтрона одиночным ядром - радиационный захват и деление - являются одновременно несовместными событиями (поглощение нейтрона ядром завершается либо радиационным захватом нейтрона, либо делением ядра), поэтому:
σai = σci + σfi (2.4.7)
Формула (2.4.7) справедлива для любых (и делящихся, и неделящихся) нуклидов, но так как у неделящихся нуклидов σfi = 0, то у таких нуклидов σai = σci, то есть:
Иначе говоря, для неделящихся нуклидов (каковых подавляющее большинство) понятия поглощения и радиационного захвата идентичны.
Аналогично из несовместности одновременного акта упругого и неупругого рассеяния на одном ядре следует
σsi = σsei + σsii (2.4.8)
Таким образом, полное микросечение нейтронных взаимодействий нуклида в самом общем случае:
σi = σci + σfi + σsei + σsii (2.4.9)
У неделящихся нуклидов микросечения поглощения и радиационного захвата одинаковы, у делящихся нуклидов микросечение поглощения больше микросечения радиационного захвата на величину микросечения деления.
2.4.3. Макросечения сложных сред. Если гомогенная среда состоит из k сортов различных ядер, каждый из которых в этом гомогенном объёме имеет свою ядерную концентрацию (Ni), а плотность потока нейтронов в нём равна Ф нейтр/см2с, то очевидно, что суммарная скорость любой нейтронной реакции на всех ядрах единичного объёма этой среды будет равна сумме скоростей этой реакции на ядрах каждого сорта:
(Rj)ср = σj1N1Ф + σj2N2Ф + σj3N3Ф + ... + σjkNkФ = (Σj1 + Σj2 + Σj3 + ... + Σjk) Ф = Ф Σki=1 (Σji).
Отсюда следует, что среднее макросечение этой гомогенной среды:
Σjср = Σi=1k Σji = Σj1+Σj2+Σj3+ ... +Σjk = σj1N1 + σj2N2 + σj3N3 + ... + σjkNk. (2.4.10)
Таким образом, эффективные макросечения сложных гомогенных сред (химических соединений, растворов, сплавов или просто хорошо перемешанных тонкодисперсных смесей) легко вычисляются, если известны значения микросечений компонентов и их ядерные концентрации.
Характерные случаи вычисления ядерных концентраций компонентов гомогенных сред разобраны в п.1.1. Что же касается вычисления эффективных микросечений компонентов, то с этим дело обстоит немного сложнее, поскольку зависимости различных микросечений нуклидов от энергии взаимодействующих с ними нейтронов существенно различны, и единых закономерностей в этих зависимостях для диапазона "реакторных нейтронов" (0÷20) МэВ не установлено.
2.4.4. Зависимости s(E) в области медленных нейтронов. Единственной закономерностью зависимости микросечений поглощения (радиационного захвата, деления) для подавляющего большинства нуклидов от энергии нейтронов является зависимость s(E) в области медленных нейтронов:
Величины микросечений поглощения нуклидов в области медленных энергий нейтронов (0÷0.625 эВ) изменяются обратно пропорционально скорости нейтронов, т.е.
σa(v) = const / v (2.4.11)
Это предложение в виде гипотезы впервые высказано Л.Ландау и чаще всего называется законом обратной скорости или просто законом "1/v".
Обратную пропорциональность этой зависимости можно записать и так:
σa(v)/σa(v0) = v0/v, или σa(E)/σa(E0) = (E0 / E)1/2 , или
σa(E) = const1 / E1/2 (2.4.11a)
то есть в области медленных энергий нейтронов величины микросечений поглощения подчинены закономерности "1/√E"
Этот простой вид зависимости позволяет избрать некоторую "стандартную скорость" (v0) или соответствующую ей "стандартную энергию" (E0), при которой можно табулировать величины микросечений поглощения (радиационного захвата, деления), измеренные в одинаковых условиях, и, исходя впоследствии из этих табличных значений (σao), вычислять по единой зависимости величины микросечений поглощения для медленных нейтронов любых других кинетических энергий (скоростей).
В качестве такой "стандартной" энергии нейтронов, для которой табулируются сечения поглощения нуклидов для медленных нейтронов, принята наиболее вероятная энергия тепловых нейтронов при их максвелловском распределении
E0 = (Eнв)тн = kTн
при "комнатной" температуре нейтронов tн0 = 20°С или Tн0 = 293К, то есть при наиболее вероятной энергии тепловых нейтронов в среде, ра
E0 = 8.63 . 10-5 . 293 = 0.0253 эВ , или E0= 4.0536 . 10-21 Дж
Этой наиболее вероятной энергии тепловых нейтронов соответствует их скорость
v0 = (2E0/mn )½ = (2 .4.0536 .10-21/1.6749 .10-27 ) ½ = 2200 м/с
Нейтроны с v0= 2200 м/с или E0= 0.0253 эВ принято называть стандартными нейтронами, а величины микросечений поглощения (радиационного захвата, деления) для этих параметров - стандартными микросечениями.
Именно величины стандартных микросечений нуклидов приводятся в любом справочнике по ядерным константам для тепловых нейтронов.
Итак, исходя из закономерности (2.4.11а), величина эффективного микросечения поглощения при любой наиболее вероятной энергии тепловых нейтронов (Eнв), соответствующей температуре тепловых нейтронов Tн = 293 K:
σa(Eнв) = σao √(E0/Eнв) = sao √(Tнo/Tн) = sao √(293/Tн) (2.4.12)
Но вся совокупность тепловых нейтронов - это не только тепловые нейтроны с наиболее вероятной энергией Eнв, и для того, чтобы охарактеризовать способность всех тепловых нейтронов к взаимодействию с нуклидами определённого вида, надо знать их среднюю энергию, для того, чтобы относиться ко всем различным по энергиям реальным тепловым нейтронам максвелловского спектра как к такому же количеству тепловых нейтронов, но имеющих одинаковую, среднюю энергию. Иначе говоря, реальная совокупность тепловых нейтронов мысленно заменяется таким же числом "усредненных" тепловых нейтронов (то есть имеющих одинаковую энергию, равную средней энергии максвелловского спектра Eср).
В п.2.3.2 уже отмечалась "счастливая" особенность максвелловского спектра: какой бы ни была температура нейтронов Tн (и соответствующая ей наиболее вероятная энергия тепловых нейтронов Eнв), отношение средней энергии (Eср) к наиболее вероятной энергии (Eнв) - есть величина постоянная, равная
Eср/Eнв = 4/p » 1.273
Следовательно, отношение эффективных микросечений поглощения при средней и при наиболее вероятной энергиях тепловых нейтронов в силу закона "1/v"
σa(Eср)/ σa(Eнв) = √Eнв / √Eср = √Eнв/Eср = √p /4 ≈ 0.886.
Отсюда следует, что величина микросечения поглощения при средней энергии тепловых нейтронов
σa(Eср) = σa(Eнв) √p /2, а с учётом (2.4.12):
σa(Tн) = σao √p /2 √(293/Tн ) (2.4.13)
Итак, для того, чтобы найти величину среднеэффективного микросечения поглощения (радиационного захвата, деления) для ядер рассматриваемого сорта (подчиняющихся закону "1/v"), надо соответствующее стандартное микросечение умножить на коэффициент усреднения по спектру Максвелла
(√p / 2 ≈ 0.886
и результат домножить на корректирующий сомножитель √293/Tн, учитывающий подвижку максимума спектра Максвелла в область более высоких энергий с ростом температуры нейтронов Tн.
Так вычисляются среднеэффективные микросечения поглощения для подавляющего большинства известных нуклидов, которые подчиняются закону "1/v".
К сожалению, не все нуклиды подчиняются закону "1/v": зависимости большинства делящихся нуклидов (235U, 239Pu, 241Pu...) и некоторых радиоактивных нуклидов и веществ (D2O) существенно отличаются от этой удобной закономерности, и единой теоретической закономерности в отклонениях sa(v) от закона "1/v" для подобных нуклидов установить не удалось. Не подчиняются закону "1/v" и ядра углерода в графите.
Для вычислений среднеэффективных микросечений поглощения для не подчиняющихся закону "1/v" нуклидов пользуются той же формулой (2.4.13) (тем самым полагая, что микросечения подчиняются закону "1/v"), добавляя в правую ее часть ещё один корректирующий множитель gji, называемый фактором Весткотта и учитывающий отклонение величины реально измеренного микросечения от величины этого сечения, рассчитанного по формуле (2.4.13) при рассматриваемой температуре нейтронов. Иначе говоря:
Фактор Весткотта gji для i-го нуклида и j-ой реакции (поглощения, радиационного захвата или деления) - есть отношение реальной величины сечения к той его величине, которая была бы при той же температуре нейтронов, если бы зависимость σji(v) подчинялась закону "1/v".
Таким образом, расчётная формула (2.4.13) с учётом весткоттовской коррекции приобретает общий на все случаи жизни вид:
σji(Tн) = (σji)0 √(p /2 √(293/Tн)) gji(Tн), (2.4.14)
где фактор Весткотта для j-ой реакции i-го нуклида либо берётся из справочных таблиц, либо вычисляется по эмпирическим формулам, полученным на основе анализа результатов физических экспериментов.
Например, для микросечения поглощения урана-235 фактор Весткотта с относительной погрешностью не более ±1.5% описывается зависимостью
ga5(Tн) = 0.912 + 0.25 exp(-0.00475 Tн). (2.4.15)
Фактор Весткотта для микросечений деления урана-235 на графике gf5(Tн) выглядит практически эквидистантным к кривой ga5(Tн), то есть:
gf5(Tн) = ga5(Tн) - 0.004. (2.4.16)
Для другого важного топливного компонента ядерных реакторов - плутония-239 - факторы Весткотта для микросечений поглощения и деления аппроксимируются квадратными полиномами с точностью ± 3%:
ga9(Tн) = 0.9442 - 4.038 .10-4 Tн + 2.6375 .10-6 Tн2 (2.4.17)
gf9(Tн) = 0.8948 - 1.430 .10-4 Tн + 2.022 .10-6 Tн2 (2.4.18)
Указанная точность приведенных эмпирических зависимостей обеспечивается в пределах температур нейтронов до 2800°С.
Все сказанное о зависимости "1/v" и отклонений от неё касается только микросечений поглощения, радиационного захвата и деления (то есть справедливо только для реакций, приводящих к поглощению нейтронов).
Зависимости микросечений упругого и неупругого рассеяния в области медленных энергий нейтронов для подавляющего большинства нуклидов очень несущественны, что дало повод к тому, чтобы в справочные таблицы внести их уже усреднёнными по спектру Максвелла и считать, что величины микросечений рассеяния нуклидами тепловых нейтронов от величины кинетической энергии нейтронов не зависят.
σi = σai + σsi (2.4.6)
Величина σi называется полным микросечением i-го нуклида (часто полное микросечение нуклида обозначается как σtot; слово total почти во всех языках романской группы имеет значение полный). Итак:
Полное микросечение нуклида складывается из микросечений поглощения и рассеяния и представляет собой величину, пропорциональную вероятности того, что на рассматриваемом одиночном нуклиде при взаимодействии с одиночным нейтроном произойдет в единицу времени либо поглощение нейтрона, либо его рассеяние.
Точно так же реакции, приводящие к поглощению нейтрона одиночным ядром - радиационный захват и деление - являются одновременно несовместными событиями (поглощение нейтрона ядром завершается либо радиационным захватом нейтрона, либо делением ядра), поэтому:
σai = σci + σfi (2.4.7)
Формула (2.4.7) справедлива для любых (и делящихся, и неделящихся) нуклидов, но так как у неделящихся нуклидов σfi = 0, то у таких нуклидов σai = σci, то есть:
Иначе говоря, для неделящихся нуклидов (каковых подавляющее большинство) понятия поглощения и радиационного захвата идентичны.
Аналогично из несовместности одновременного акта упругого и неупругого рассеяния на одном ядре следует
σsi = σsei + σsii (2.4.8)
Таким образом, полное микросечение нейтронных взаимодействий нуклида в самом общем случае:
σi = σci + σfi + σsei + σsii (2.4.9)
У неделящихся нуклидов микросечения поглощения и радиационного захвата одинаковы, у делящихся нуклидов микросечение поглощения больше микросечения радиационного захвата на величину микросечения деления.
2.4.3. Макросечения сложных сред. Если гомогенная среда состоит из k сортов различных ядер, каждый из которых в этом гомогенном объёме имеет свою ядерную концентрацию (Ni), а плотность потока нейтронов в нём равна Ф нейтр/см2с, то очевидно, что суммарная скорость любой нейтронной реакции на всех ядрах единичного объёма этой среды будет равна сумме скоростей этой реакции на ядрах каждого сорта:
(Rj)ср = σj1N1Ф + σj2N2Ф + σj3N3Ф + ... + σjkNkФ = (Σj1 + Σj2 + Σj3 + ... + Σjk) Ф = Ф Σki=1 (Σji).
Отсюда следует, что среднее макросечение этой гомогенной среды:
Σjср = Σi=1k Σji = Σj1+Σj2+Σj3+ ... +Σjk = σj1N1 + σj2N2 + σj3N3 + ... + σjkNk. (2.4.10)
Таким образом, эффективные макросечения сложных гомогенных сред (химических соединений, растворов, сплавов или просто хорошо перемешанных тонкодисперсных смесей) легко вычисляются, если известны значения микросечений компонентов и их ядерные концентрации.
Характерные случаи вычисления ядерных концентраций компонентов гомогенных сред разобраны в п.1.1. Что же касается вычисления эффективных микросечений компонентов, то с этим дело обстоит немного сложнее, поскольку зависимости различных микросечений нуклидов от энергии взаимодействующих с ними нейтронов существенно различны, и единых закономерностей в этих зависимостях для диапазона "реакторных нейтронов" (0÷20) МэВ не установлено.
2.4.4. Зависимости s(E) в области медленных нейтронов. Единственной закономерностью зависимости микросечений поглощения (радиационного захвата, деления) для подавляющего большинства нуклидов от энергии нейтронов является зависимость s(E) в области медленных нейтронов:
Величины микросечений поглощения нуклидов в области медленных энергий нейтронов (0÷0.625 эВ) изменяются обратно пропорционально скорости нейтронов, т.е.
σa(v) = const / v (2.4.11)
Это предложение в виде гипотезы впервые высказано Л.Ландау и чаще всего называется законом обратной скорости или просто законом "1/v".
Обратную пропорциональность этой зависимости можно записать и так:
σa(v)/σa(v0) = v0/v, или σa(E)/σa(E0) = (E0 / E)1/2 , или
σa(E) = const1 / E1/2 (2.4.11a)
то есть в области медленных энергий нейтронов величины микросечений поглощения подчинены закономерности "1/√E"
Этот простой вид зависимости позволяет избрать некоторую "стандартную скорость" (v0) или соответствующую ей "стандартную энергию" (E0), при которой можно табулировать величины микросечений поглощения (радиационного захвата, деления), измеренные в одинаковых условиях, и, исходя впоследствии из этих табличных значений (σao), вычислять по единой зависимости величины микросечений поглощения для медленных нейтронов любых других кинетических энергий (скоростей).
В качестве такой "стандартной" энергии нейтронов, для которой табулируются сечения поглощения нуклидов для медленных нейтронов, принята наиболее вероятная энергия тепловых нейтронов при их максвелловском распределении
E0 = (Eнв)тн = kTн
при "комнатной" температуре нейтронов tн0 = 20°С или Tн0 = 293К, то есть при наиболее вероятной энергии тепловых нейтронов в среде, ра
E0 = 8.63 . 10-5 . 293 = 0.0253 эВ , или E0= 4.0536 . 10-21 Дж
Этой наиболее вероятной энергии тепловых нейтронов соответствует их скорость
v0 = (2E0/mn )½ = (2 .4.0536 .10-21/1.6749 .10-27 ) ½ = 2200 м/с
Нейтроны с v0= 2200 м/с или E0= 0.0253 эВ принято называть стандартными нейтронами, а величины микросечений поглощения (радиационного захвата, деления) для этих параметров - стандартными микросечениями.
Именно величины стандартных микросечений нуклидов приводятся в любом справочнике по ядерным константам для тепловых нейтронов.
Итак, исходя из закономерности (2.4.11а), величина эффективного микросечения поглощения при любой наиболее вероятной энергии тепловых нейтронов (Eнв), соответствующей температуре тепловых нейтронов Tн = 293 K:
σa(Eнв) = σao √(E0/Eнв) = sao √(Tнo/Tн) = sao √(293/Tн) (2.4.12)
Но вся совокупность тепловых нейтронов - это не только тепловые нейтроны с наиболее вероятной энергией Eнв, и для того, чтобы охарактеризовать способность всех тепловых нейтронов к взаимодействию с нуклидами определённого вида, надо знать их среднюю энергию, для того, чтобы относиться ко всем различным по энергиям реальным тепловым нейтронам максвелловского спектра как к такому же количеству тепловых нейтронов, но имеющих одинаковую, среднюю энергию. Иначе говоря, реальная совокупность тепловых нейтронов мысленно заменяется таким же числом "усредненных" тепловых нейтронов (то есть имеющих одинаковую энергию, равную средней энергии максвелловского спектра Eср).
В п.2.3.2 уже отмечалась "счастливая" особенность максвелловского спектра: какой бы ни была температура нейтронов Tн (и соответствующая ей наиболее вероятная энергия тепловых нейтронов Eнв), отношение средней энергии (Eср) к наиболее вероятной энергии (Eнв) - есть величина постоянная, равная
Eср/Eнв = 4/p » 1.273
Следовательно, отношение эффективных микросечений поглощения при средней и при наиболее вероятной энергиях тепловых нейтронов в силу закона "1/v"
σa(Eср)/ σa(Eнв) = √Eнв / √Eср = √Eнв/Eср = √p /4 ≈ 0.886.
Отсюда следует, что величина микросечения поглощения при средней энергии тепловых нейтронов
σa(Eср) = σa(Eнв) √p /2, а с учётом (2.4.12):
σa(Tн) = σao √p /2 √(293/Tн ) (2.4.13)
Итак, для того, чтобы найти величину среднеэффективного микросечения поглощения (радиационного захвата, деления) для ядер рассматриваемого сорта (подчиняющихся закону "1/v"), надо соответствующее стандартное микросечение умножить на коэффициент усреднения по спектру Максвелла
(√p / 2 ≈ 0.886
и результат домножить на корректирующий сомножитель √293/Tн, учитывающий подвижку максимума спектра Максвелла в область более высоких энергий с ростом температуры нейтронов Tн.
Так вычисляются среднеэффективные микросечения поглощения для подавляющего большинства известных нуклидов, которые подчиняются закону "1/v".
К сожалению, не все нуклиды подчиняются закону "1/v": зависимости большинства делящихся нуклидов (235U, 239Pu, 241Pu...) и некоторых радиоактивных нуклидов и веществ (D2O) существенно отличаются от этой удобной закономерности, и единой теоретической закономерности в отклонениях sa(v) от закона "1/v" для подобных нуклидов установить не удалось. Не подчиняются закону "1/v" и ядра углерода в графите.
Для вычислений среднеэффективных микросечений поглощения для не подчиняющихся закону "1/v" нуклидов пользуются той же формулой (2.4.13) (тем самым полагая, что микросечения подчиняются закону "1/v"), добавляя в правую ее часть ещё один корректирующий множитель gji, называемый фактором Весткотта и учитывающий отклонение величины реально измеренного микросечения от величины этого сечения, рассчитанного по формуле (2.4.13) при рассматриваемой температуре нейтронов. Иначе говоря:
Фактор Весткотта gji для i-го нуклида и j-ой реакции (поглощения, радиационного захвата или деления) - есть отношение реальной величины сечения к той его величине, которая была бы при той же температуре нейтронов, если бы зависимость σji(v) подчинялась закону "1/v".
Таким образом, расчётная формула (2.4.13) с учётом весткоттовской коррекции приобретает общий на все случаи жизни вид:
σji(Tн) = (σji)0 √(p /2 √(293/Tн)) gji(Tн), (2.4.14)
где фактор Весткотта для j-ой реакции i-го нуклида либо берётся из справочных таблиц, либо вычисляется по эмпирическим формулам, полученным на основе анализа результатов физических экспериментов.
Например, для микросечения поглощения урана-235 фактор Весткотта с относительной погрешностью не более ±1.5% описывается зависимостью
ga5(Tн) = 0.912 + 0.25 exp(-0.00475 Tн). (2.4.15)
Фактор Весткотта для микросечений деления урана-235 на графике gf5(Tн) выглядит практически эквидистантным к кривой ga5(Tн), то есть:
gf5(Tн) = ga5(Tн) - 0.004. (2.4.16)
Для другого важного топливного компонента ядерных реакторов - плутония-239 - факторы Весткотта для микросечений поглощения и деления аппроксимируются квадратными полиномами с точностью ± 3%:
ga9(Tн) = 0.9442 - 4.038 .10-4 Tн + 2.6375 .10-6 Tн2 (2.4.17)
gf9(Tн) = 0.8948 - 1.430 .10-4 Tн + 2.022 .10-6 Tн2 (2.4.18)
Указанная точность приведенных эмпирических зависимостей обеспечивается в пределах температур нейтронов до 2800°С.
Все сказанное о зависимости "1/v" и отклонений от неё касается только микросечений поглощения, радиационного захвата и деления (то есть справедливо только для реакций, приводящих к поглощению нейтронов).
Зависимости микросечений упругого и неупругого рассеяния в области медленных энергий нейтронов для подавляющего большинства нуклидов очень несущественны, что дало повод к тому, чтобы в справочные таблицы внести их уже усреднёнными по спектру Максвелла и считать, что величины микросечений рассеяния нуклидами тепловых нейтронов от величины кинетической энергии нейтронов не зависят.