Мікропереріз будь-якого нукліда щодо будь-якої нейтронної реакції - величина, пропорційна ймовірності цієї реакції на одиночному ядрі під дією одиночного нейтрона за одиницю часу. Користуючись термінологією теорії ймовірностей, можна стверджувати, що одночасне розсіяння й поглинання нейтрона одним ядром - події несумісні. Тому ймовірність будь-якого з цих процесів дорівнює сумі ймовірностей кожного з них, а отже:
σi = σai + σsi (2.4.6)
Величина σi називається повним мікроперерізом i-го нукліда (часто повний мікропереріз нукліда позначається як σtot; слово total майже в усіх мовах романської групи має значення повний). Отже:
Повний мікропереріз нукліда складається з мікроперерізів поглинання й розсіяння та є величиною, пропорційною ймовірності того, що на розглядуваному одиночному нукліді при взаємодії з одиночним нейтроном відбудеться за одиницю часу або поглинання нейтрона, або його розсіяння.
Так само реакції, що призводять до поглинання нейтрона одиночним ядром - радіаційне захоплення й поділ - є одночасно несумісними подіями (поглинання нейтрона ядром завершується або радіаційним захопленням нейтрона, або поділом ядра), тому:
σai = σci + σfi (2.4.7)
Формула (2.4.7) справедлива для будь-яких (і подільних, і неподільних) нуклідів, але оскільки в неподільних нуклідів σfi = 0, то в таких нуклідів σai = σci, тобто:
Інакше кажучи, для неподільних нуклідів (яких переважна більшість) поняття поглинання й радіаційного захоплення ідентичні.
Аналогічно з несумісності одночасного акту пружного й непружного розсіяння на одному ядрі випливає
σsi = σsei + σsii (2.4.8)
Таким чином, повний мікропереріз нейтронних взаємодій нукліда в найзагальнішому випадку:
σi = σci + σfi + σsei + σsii (2.4.9)
У неподільних нуклідів мікроперерізи поглинання й радіаційного захоплення однакові, у подільних нуклідів мікропереріз поглинання більший за мікропереріз радіаційного захоплення на величину мікроперерізу поділу.
2.4.3. Макроперерізи складних середовищ. Якщо гомогенне середовище складається з k сортів різних ядер, кожен з яких у цьому гомогенному об'ємі має свою ядерну концентрацію (Ni), а густина потоку нейтронів у ньому дорівнює Ф нейтр/см2с, то очевидно, що сумарна швидкість будь-якої нейтронної реакції на всіх ядрах одиничного об'єму цього середовища дорівнюватиме сумі швидкостей цієї реакції на ядрах кожного сорту:
(Rj)сер = σj1N1Ф + σj2N2Ф + σj3N3Ф + ... + σjkNkФ = (Σj1 + Σj2 + Σj3 + ... + Σjk) Ф = Ф Σki=1 (Σji).
Звідси випливає, що середній макропереріз цього гомогенного середовища:
Σjсер = Σi=1k Σji = Σj1+Σj2+Σj3+ ... +Σjk = σj1N1 + σj2N2 + σj3N3 + ... + σjkNk. (2.4.10)
Таким чином, ефективні макроперерізи складних гомогенних середовищ (хімічних сполук, розчинів, стопів або просто добре перемішаних тонкодисперсних сумішей) легко обчислюються, якщо відомі значення мікроперерізів компонентів і їхні ядерні концентрації.
Характерні випадки обчислення ядерних концентрацій компонентів гомогенних середовищ розібрано в п.1.1. Що ж до обчислення ефективних мікроперерізів компонентів, то тут справа стоїть трохи складніше, оскільки залежності різних мікроперерізів нуклідів від енергії нейтронів, що взаємодіють з ними, істотно різні, і єдиних закономірностей у цих залежностях для діапазону "реакторних нейтронів" (0÷20) МеВ не встановлено.
2.4.4. Залежності s(E) в області повільних нейтронів. Єдиною закономірністю залежності мікроперерізів поглинання (радіаційного захоплення, поділу) для переважної більшості нуклідів від енергії нейтронів є залежність s(E) в області повільних нейтронів:
Величини мікроперерізів поглинання нуклідів в області повільних енергій нейтронів (0÷0.625 еВ) змінюються обернено пропорційно швидкості нейтронів, тобто
σa(v) = const / v (2.4.11)
Це припущення у вигляді гіпотези вперше висловив Л.Ландау, і найчастіше воно називається законом оберненої швидкості або просто законом "1/v".
Обернену пропорційність цієї залежності можна записати й так:
σa(v)/σa(v0) = v0/v, або σa(E)/σa(E0) = (E0 / E)1/2 , або
σa(E) = const1 / E1/2 (2.4.11a)
тобто в області повільних енергій нейтронів величини мікроперерізів поглинання підпорядковані закономірності "1/√E"
Цей простий вигляд залежності дає змогу вибрати певну "стандартну швидкість" (v0) або відповідну їй "стандартну енергію" (E0), за якої можна табулювати величини мікроперерізів поглинання (радіаційного захоплення, поділу), виміряні в однакових умовах, і, виходячи надалі з цих табличних значень (σao), обчислювати за єдиною залежністю величини мікроперерізів поглинання для повільних нейтронів будь-яких інших кінетичних енергій (швидкостей).
Як таку "стандартну" енергію нейтронів, для якої табулюються перерізи поглинання нуклідів для повільних нейтронів, прийнято найімовірнішу енергію теплових нейтронів за їхнього максвеллівського розподілу
E0 = (Eнім)тн = kTн
за "кімнатної" температури нейтронів tн0 = 20°С або Tн0 = 293К, тобто за найімовірнішої енергії теплових нейтронів у середовищі, ра
E0 = 8.63 . 10-5 . 293 = 0.0253 еВ , або E0= 4.0536 . 10-21 Дж
Цій найімовірнішій енергії теплових нейтронів відповідає їхня швидкість
v0 = (2E0/mn )½ = (2 .4.0536 .10-21/1.6749 .10-27 ) ½ = 2200 м/с
Нейтрони з v0= 2200 м/с або E0= 0.0253 еВ прийнято називати стандартними нейтронами, а величини мікроперерізів поглинання (радіаційного захоплення, поділу) для цих параметрів - стандартними мікроперерізами.
Саме величини стандартних мікроперерізів нуклідів наводяться в будь-якому довіднику з ядерних констант для теплових нейтронів.
Отже, виходячи із закономірності (2.4.11а), величина ефективного мікроперерізу поглинання за будь-якої найімовірнішої енергії теплових нейтронів (Eнім), що відповідає температурі теплових нейтронів Tн = 293 K:
σa(Eнім) = σao √(E0/Eнім) = sao √(Tнo/Tн) = sao √(293/Tн) (2.4.12)
Але уся сукупність теплових нейтронів - це не лише теплові нейтрони з найімовірнішою енергією Eнім, і для того, щоб схарактеризувати здатність усіх теплових нейтронів до взаємодії з нуклідами певного виду, треба знати їхню середню енергію, для того, щоб ставитися до всіх різних за енергіями реальних теплових нейтронів максвеллівського спектра як до такої самої кількості теплових нейтронів, але таких, що мають однакову, середню енергію. Інакше кажучи, реальна сукупність теплових нейтронів подумки замінюється таким самим числом "усереднених" теплових нейтронів (тобто таких, що мають однакову енергію, яка дорівнює середній енергії максвеллівського спектра Eсер).
У п.2.3.2 уже зазначалася "щаслива" особливість максвеллівського спектра: якою б не була температура нейтронів Tн (і відповідна їй найімовірніша енергія теплових нейтронів Eнім), відношення середньої енергії (Eсер) до найімовірнішої енергії (Eнім) - є величина стала, що дорівнює
Eсер/Eнім = 4/p » 1.273
Отже, відношення ефективних мікроперерізів поглинання за середньої й за найімовірнішої енергій теплових нейтронів згідно із законом "1/v"
σa(Eсер)/ σa(Eнім) = √Eнім / √Eсер = √Eнім/Eсер = √p /4 ≈ 0.886.
Звідси випливає, що величина мікроперерізу поглинання за середньої енергії теплових нейтронів
σa(Eсер) = σa(Eнім) √p /2, а з урахуванням (2.4.12):
σa(Tн) = σao √p /2 √(293/Tн ) (2.4.13)
Отже, для того, щоб знайти величину середньоефективного мікроперерізу поглинання (радіаційного захоплення, поділу) для ядер розглядуваного сорту (що підпорядковуються закону "1/v"), треба відповідний стандартний мікропереріз помножити на коефіцієнт усереднення за спектром Максвелла
(√p / 2 ≈ 0.886
і результат помножити на коригувальний множник √293/Tн, що враховує зсув максимуму спектра Максвелла в область вищих енергій зі зростанням температури нейтронів Tн.
Так обчислюються середньоефективні мікроперерізи поглинання для переважної більшості відомих нуклідів, які підпорядковуються закону "1/v".
На жаль, не всі нукліди підпорядковуються закону "1/v": залежності більшості подільних нуклідів (235U, 239Pu, 241Pu...) і деяких радіоактивних нуклідів та речовин (D2O) істотно відрізняються від цієї зручної закономірності, і єдиної теоретичної закономірності у відхиленнях sa(v) від закону "1/v" для подібних нуклідів встановити не вдалося. Не підпорядковуються закону "1/v" і ядра вуглецю в графіті.
Для обчислень середньоефективних мікроперерізів поглинання для нуклідів, що не підпорядковуються закону "1/v", користуються тією самою формулою (2.4.13) (тим самим вважаючи, що мікроперерізи підпорядковуються закону "1/v"), додаючи до її правої частини ще один коригувальний множник gji, що називається фактором Весткотта і враховує відхилення величини реально виміряного мікроперерізу від величини цього перерізу, розрахованої за формулою (2.4.13) за розглядуваної температури нейтронів. Інакше кажучи:
Фактор Весткотта gji для i-го нукліда та j-ї реакції (поглинання, радіаційного захоплення або поділу) - є відношення реальної величини перерізу до тієї його величини, яка була б за тієї самої температури нейтронів, якби залежність σji(v) підпорядковувалася закону "1/v".
Таким чином, розрахункова формула (2.4.13) з урахуванням весткоттівської корекції набуває загального на всі випадки життя вигляду:
σji(Tн) = (σji)0 √(p /2 √(293/Tн)) gji(Tн), (2.4.14)
де фактор Весткотта для j-ї реакції i-го нукліда або береться з довідкових таблиць, або обчислюється за емпіричними формулами, одержаними на основі аналізу результатів фізичних експериментів.
Наприклад, для мікроперерізу поглинання урану-235 фактор Весткотта з відносною похибкою не більш як ±1.5% описується залежністю
ga5(Tн) = 0.912 + 0.25 exp(-0.00475 Tн). (2.4.15)
Фактор Весткотта для мікроперерізів поділу урану-235 на графіку gf5(Tн) виглядає практично еквідистантним до кривої ga5(Tн), тобто:
gf5(Tн) = ga5(Tн) - 0.004. (2.4.16)
Для іншого важливого паливного компонента ядерних реакторів - плутонію-239 - фактори Весткотта для мікроперерізів поглинання й поділу апроксимуються квадратними поліномами з точністю ± 3%:
ga9(Tн) = 0.9442 - 4.038 .10-4 Tн + 2.6375 .10-6 Tн2 (2.4.17)
gf9(Tн) = 0.8948 - 1.430 .10-4 Tн + 2.022 .10-6 Tн2 (2.4.18)
Зазначена точність наведених емпіричних залежностей забезпечується в межах температур нейтронів до 2800°С.
Усе сказане про залежність "1/v" і відхилення від неї стосується лише мікроперерізів поглинання, радіаційного захоплення й поділу (тобто справедливе лише для реакцій, що призводять до поглинання нейтронів).
Залежності мікроперерізів пружного й непружного розсіяння в області повільних енергій нейтронів для переважної більшості нуклідів дуже несуттєві, що дало привід унести їх до довідкових таблиць уже усередненими за спектром Максвелла і вважати, що величини мікроперерізів розсіяння нуклідами теплових нейтронів від величини кінетичної енергії нейтронів не залежать.
σi = σai + σsi (2.4.6)
Величина σi називається повним мікроперерізом i-го нукліда (часто повний мікропереріз нукліда позначається як σtot; слово total майже в усіх мовах романської групи має значення повний). Отже:
Повний мікропереріз нукліда складається з мікроперерізів поглинання й розсіяння та є величиною, пропорційною ймовірності того, що на розглядуваному одиночному нукліді при взаємодії з одиночним нейтроном відбудеться за одиницю часу або поглинання нейтрона, або його розсіяння.
Так само реакції, що призводять до поглинання нейтрона одиночним ядром - радіаційне захоплення й поділ - є одночасно несумісними подіями (поглинання нейтрона ядром завершується або радіаційним захопленням нейтрона, або поділом ядра), тому:
σai = σci + σfi (2.4.7)
Формула (2.4.7) справедлива для будь-яких (і подільних, і неподільних) нуклідів, але оскільки в неподільних нуклідів σfi = 0, то в таких нуклідів σai = σci, тобто:
Інакше кажучи, для неподільних нуклідів (яких переважна більшість) поняття поглинання й радіаційного захоплення ідентичні.
Аналогічно з несумісності одночасного акту пружного й непружного розсіяння на одному ядрі випливає
σsi = σsei + σsii (2.4.8)
Таким чином, повний мікропереріз нейтронних взаємодій нукліда в найзагальнішому випадку:
σi = σci + σfi + σsei + σsii (2.4.9)
У неподільних нуклідів мікроперерізи поглинання й радіаційного захоплення однакові, у подільних нуклідів мікропереріз поглинання більший за мікропереріз радіаційного захоплення на величину мікроперерізу поділу.
2.4.3. Макроперерізи складних середовищ. Якщо гомогенне середовище складається з k сортів різних ядер, кожен з яких у цьому гомогенному об'ємі має свою ядерну концентрацію (Ni), а густина потоку нейтронів у ньому дорівнює Ф нейтр/см2с, то очевидно, що сумарна швидкість будь-якої нейтронної реакції на всіх ядрах одиничного об'єму цього середовища дорівнюватиме сумі швидкостей цієї реакції на ядрах кожного сорту:
(Rj)сер = σj1N1Ф + σj2N2Ф + σj3N3Ф + ... + σjkNkФ = (Σj1 + Σj2 + Σj3 + ... + Σjk) Ф = Ф Σki=1 (Σji).
Звідси випливає, що середній макропереріз цього гомогенного середовища:
Σjсер = Σi=1k Σji = Σj1+Σj2+Σj3+ ... +Σjk = σj1N1 + σj2N2 + σj3N3 + ... + σjkNk. (2.4.10)
Таким чином, ефективні макроперерізи складних гомогенних середовищ (хімічних сполук, розчинів, стопів або просто добре перемішаних тонкодисперсних сумішей) легко обчислюються, якщо відомі значення мікроперерізів компонентів і їхні ядерні концентрації.
Характерні випадки обчислення ядерних концентрацій компонентів гомогенних середовищ розібрано в п.1.1. Що ж до обчислення ефективних мікроперерізів компонентів, то тут справа стоїть трохи складніше, оскільки залежності різних мікроперерізів нуклідів від енергії нейтронів, що взаємодіють з ними, істотно різні, і єдиних закономірностей у цих залежностях для діапазону "реакторних нейтронів" (0÷20) МеВ не встановлено.
2.4.4. Залежності s(E) в області повільних нейтронів. Єдиною закономірністю залежності мікроперерізів поглинання (радіаційного захоплення, поділу) для переважної більшості нуклідів від енергії нейтронів є залежність s(E) в області повільних нейтронів:
Величини мікроперерізів поглинання нуклідів в області повільних енергій нейтронів (0÷0.625 еВ) змінюються обернено пропорційно швидкості нейтронів, тобто
σa(v) = const / v (2.4.11)
Це припущення у вигляді гіпотези вперше висловив Л.Ландау, і найчастіше воно називається законом оберненої швидкості або просто законом "1/v".
Обернену пропорційність цієї залежності можна записати й так:
σa(v)/σa(v0) = v0/v, або σa(E)/σa(E0) = (E0 / E)1/2 , або
σa(E) = const1 / E1/2 (2.4.11a)
тобто в області повільних енергій нейтронів величини мікроперерізів поглинання підпорядковані закономірності "1/√E"
Цей простий вигляд залежності дає змогу вибрати певну "стандартну швидкість" (v0) або відповідну їй "стандартну енергію" (E0), за якої можна табулювати величини мікроперерізів поглинання (радіаційного захоплення, поділу), виміряні в однакових умовах, і, виходячи надалі з цих табличних значень (σao), обчислювати за єдиною залежністю величини мікроперерізів поглинання для повільних нейтронів будь-яких інших кінетичних енергій (швидкостей).
Як таку "стандартну" енергію нейтронів, для якої табулюються перерізи поглинання нуклідів для повільних нейтронів, прийнято найімовірнішу енергію теплових нейтронів за їхнього максвеллівського розподілу
E0 = (Eнім)тн = kTн
за "кімнатної" температури нейтронів tн0 = 20°С або Tн0 = 293К, тобто за найімовірнішої енергії теплових нейтронів у середовищі, ра
E0 = 8.63 . 10-5 . 293 = 0.0253 еВ , або E0= 4.0536 . 10-21 Дж
Цій найімовірнішій енергії теплових нейтронів відповідає їхня швидкість
v0 = (2E0/mn )½ = (2 .4.0536 .10-21/1.6749 .10-27 ) ½ = 2200 м/с
Нейтрони з v0= 2200 м/с або E0= 0.0253 еВ прийнято називати стандартними нейтронами, а величини мікроперерізів поглинання (радіаційного захоплення, поділу) для цих параметрів - стандартними мікроперерізами.
Саме величини стандартних мікроперерізів нуклідів наводяться в будь-якому довіднику з ядерних констант для теплових нейтронів.
Отже, виходячи із закономірності (2.4.11а), величина ефективного мікроперерізу поглинання за будь-якої найімовірнішої енергії теплових нейтронів (Eнім), що відповідає температурі теплових нейтронів Tн = 293 K:
σa(Eнім) = σao √(E0/Eнім) = sao √(Tнo/Tн) = sao √(293/Tн) (2.4.12)
Але уся сукупність теплових нейтронів - це не лише теплові нейтрони з найімовірнішою енергією Eнім, і для того, щоб схарактеризувати здатність усіх теплових нейтронів до взаємодії з нуклідами певного виду, треба знати їхню середню енергію, для того, щоб ставитися до всіх різних за енергіями реальних теплових нейтронів максвеллівського спектра як до такої самої кількості теплових нейтронів, але таких, що мають однакову, середню енергію. Інакше кажучи, реальна сукупність теплових нейтронів подумки замінюється таким самим числом "усереднених" теплових нейтронів (тобто таких, що мають однакову енергію, яка дорівнює середній енергії максвеллівського спектра Eсер).
У п.2.3.2 уже зазначалася "щаслива" особливість максвеллівського спектра: якою б не була температура нейтронів Tн (і відповідна їй найімовірніша енергія теплових нейтронів Eнім), відношення середньої енергії (Eсер) до найімовірнішої енергії (Eнім) - є величина стала, що дорівнює
Eсер/Eнім = 4/p » 1.273
Отже, відношення ефективних мікроперерізів поглинання за середньої й за найімовірнішої енергій теплових нейтронів згідно із законом "1/v"
σa(Eсер)/ σa(Eнім) = √Eнім / √Eсер = √Eнім/Eсер = √p /4 ≈ 0.886.
Звідси випливає, що величина мікроперерізу поглинання за середньої енергії теплових нейтронів
σa(Eсер) = σa(Eнім) √p /2, а з урахуванням (2.4.12):
σa(Tн) = σao √p /2 √(293/Tн ) (2.4.13)
Отже, для того, щоб знайти величину середньоефективного мікроперерізу поглинання (радіаційного захоплення, поділу) для ядер розглядуваного сорту (що підпорядковуються закону "1/v"), треба відповідний стандартний мікропереріз помножити на коефіцієнт усереднення за спектром Максвелла
(√p / 2 ≈ 0.886
і результат помножити на коригувальний множник √293/Tн, що враховує зсув максимуму спектра Максвелла в область вищих енергій зі зростанням температури нейтронів Tн.
Так обчислюються середньоефективні мікроперерізи поглинання для переважної більшості відомих нуклідів, які підпорядковуються закону "1/v".
На жаль, не всі нукліди підпорядковуються закону "1/v": залежності більшості подільних нуклідів (235U, 239Pu, 241Pu...) і деяких радіоактивних нуклідів та речовин (D2O) істотно відрізняються від цієї зручної закономірності, і єдиної теоретичної закономірності у відхиленнях sa(v) від закону "1/v" для подібних нуклідів встановити не вдалося. Не підпорядковуються закону "1/v" і ядра вуглецю в графіті.
Для обчислень середньоефективних мікроперерізів поглинання для нуклідів, що не підпорядковуються закону "1/v", користуються тією самою формулою (2.4.13) (тим самим вважаючи, що мікроперерізи підпорядковуються закону "1/v"), додаючи до її правої частини ще один коригувальний множник gji, що називається фактором Весткотта і враховує відхилення величини реально виміряного мікроперерізу від величини цього перерізу, розрахованої за формулою (2.4.13) за розглядуваної температури нейтронів. Інакше кажучи:
Фактор Весткотта gji для i-го нукліда та j-ї реакції (поглинання, радіаційного захоплення або поділу) - є відношення реальної величини перерізу до тієї його величини, яка була б за тієї самої температури нейтронів, якби залежність σji(v) підпорядковувалася закону "1/v".
Таким чином, розрахункова формула (2.4.13) з урахуванням весткоттівської корекції набуває загального на всі випадки життя вигляду:
σji(Tн) = (σji)0 √(p /2 √(293/Tн)) gji(Tн), (2.4.14)
де фактор Весткотта для j-ї реакції i-го нукліда або береться з довідкових таблиць, або обчислюється за емпіричними формулами, одержаними на основі аналізу результатів фізичних експериментів.
Наприклад, для мікроперерізу поглинання урану-235 фактор Весткотта з відносною похибкою не більш як ±1.5% описується залежністю
ga5(Tн) = 0.912 + 0.25 exp(-0.00475 Tн). (2.4.15)
Фактор Весткотта для мікроперерізів поділу урану-235 на графіку gf5(Tн) виглядає практично еквідистантним до кривої ga5(Tн), тобто:
gf5(Tн) = ga5(Tн) - 0.004. (2.4.16)
Для іншого важливого паливного компонента ядерних реакторів - плутонію-239 - фактори Весткотта для мікроперерізів поглинання й поділу апроксимуються квадратними поліномами з точністю ± 3%:
ga9(Tн) = 0.9442 - 4.038 .10-4 Tн + 2.6375 .10-6 Tн2 (2.4.17)
gf9(Tн) = 0.8948 - 1.430 .10-4 Tн + 2.022 .10-6 Tн2 (2.4.18)
Зазначена точність наведених емпіричних залежностей забезпечується в межах температур нейтронів до 2800°С.
Усе сказане про залежність "1/v" і відхилення від неї стосується лише мікроперерізів поглинання, радіаційного захоплення й поділу (тобто справедливе лише для реакцій, що призводять до поглинання нейтронів).
Залежності мікроперерізів пружного й непружного розсіяння в області повільних енергій нейтронів для переважної більшості нуклідів дуже несуттєві, що дало привід унести їх до довідкових таблиць уже усередненими за спектром Максвелла і вважати, що величини мікроперерізів розсіяння нуклідами теплових нейтронів від величини кінетичної енергії нейтронів не залежать.