Простежимо детально за зміною кількості нейтронів одного довільного (i-го) покоління в тепловому реакторі, активна зона якого містить уран-235, уран-238, сповільнювачі, теплоносій і необхідні конструкційні матеріали (наявність плутонію, що утворюється під час роботи, на початку заради принципової простоти до розрахунку не береться).
Нехай у такому реакторі внаслідок поділів ядер урану-235 тепловими нейтронами народжується nбi швидких нейтронів поділу i-го покоління, що мають, як ми вже знаємо, середню енергію E0 = 2 МеВ.
а) Ці швидкі нейтрони починають процес сповільнення і на початку інтервалу сповільнення (2 → 1.1 МеВ), тобто вище від порога поділу ядер 238U, мають можливість взаємодіяти з ядрами 238U і спричиняти їхній поділ, унаслідок якого з'являються додаткові нейтрони поділу.
Крім того, додаткові швидкі нейтрони виходять за рахунок поділів урану-235 епітепловими нейтронами (не забуваймо, що 235U ділиться нейтронами всіх енергій). Отже, загальна кількість швидких нейтронів поділу буде більшою, ніж ті nбi нейтронів поділу, що були одержані в поділах ядер 235U лише тепловими нейтронами.
Число e, що показує, у скільки разів число нейтронів поділу, одержаних у поділах ядер палива нейтронами всіх енергій, більше за число нейтронів поділу, одержаних у поділах 235U лише тепловими нейтронами, називається коефіцієнтом розмноження на швидких нейтронах.
Таким чином, загальне число нейтронів поділу i-го покоління дорівнює не nбi, а nбi e.
б) Ці nбi e швидких нейтронів починають сповільнення в активній зоні реактора, але лише pз-а частина їх залишиться в її об'ємі наприкінці процесу сповільнення, а (1-pз)-а частина їх - зазнає витоку з активної зони під час сповільнення.
Частка нейтронів pз,, що уникли витоку з активної зони під час сповільнення, від числа нейтронів покоління, які почали сповільнення в активній зоні, називається імовірністю уникнення витоку нейтронів, що сповільнюються.
Таким чином, до кінця процесу сповільнення в активній зоні реактора залишиться nбi ε pз нейтронів i-го покоління.
в) Поглинальна здатність епітеплових (швидких і проміжних) нейтронів для переважної більшості нуклідів в активній зоні дуже низька порівняно з їхньою поглинальною здатністю в області теплових енергій. Але оскільки в епітепловій області величини мікроперерізів поглинання всіх нуклідів все-таки не нульові, деяка частина нейтронів, що сповільнюються, втрачатиметься через реакції радіаційного захоплення.
Крім того, (немає правила без винятку!) до складу активної зони реактора входить уран-238, який є сильним поглиначем нейтронів, що сповільнюються, в області енергій (6 ÷ 600) еВ, тобто майже в самому кінці інтервалу сповільнення.
На графіку залежності мікроперерізу радіаційного захоплення 238U від енергії нейтронів у цьому інтервалі виразно проглядаються кілька десятків аномальних "піків" - резонансів. Цей аномальний різновид радіаційного захоплення нейтронів, що сповільнюються, на відміну від звичайного радіаційного захоплення теплових нейтронів (або нейтронів будь-яких інших енергій, поблизу яких величини мікроперерізів радіаційного захоплення змінюються не різко), назвали резонансним захопленням.
Тому не всі nбi ε pз нейтронів i-го покоління, що сповільнюються, благополучно завершать процес сповільнення й стануть тепловими, а лише φ-а їх частина: (1-φ)-а частина нейтронів, що сповільнюються в активній зоні в процесі сповільнення, зазнають резонансного захоплення і, отже, будуть втрачені.
Частка нейтронів φ, що уникли резонансного захоплення під час сповільнення, від числа нейтронів покоління, які сповільнюються в межах активної зони реактора, називається імовірністю уникнення резонансного захоплення.
З урахуванням цієї характеристики кількість нейтронів покоління, що благополучно завершують в активній зоні процес сповільнення (= стають тепловими), очевидно дорівнює nбi ε pз φ.
г) Уже йшлося про те, що витік з активної зони властивий не тільки нейтронам, що сповільнюються, а й тепловим. Тому не всі зазначені nбiεpзj теплових нейтронів залишаться до кінця процесу дифузії в межах активної зони, а лише pт-а частина їх: (1-pт)-а частина - покине під час дифузії активну зону і буде втрачена.
Частка теплових нейтронів, що уникли витоку з активної зони під час дифузії, від числа теплових нейтронів покоління, які почали процес дифузії в активній зоні, називається імовірністю уникнення витоку теплових нейтронів (pт).
Таким чином, до кінця дифузії (тобто до моменту поглинання) в активній зоні залишиться nбi ε pз φ pт теплових нейтронів i-го покоління.
д) Кінець процесу дифузії теплових нейтронів у реакторі - це їхня загибель унаслідок їх поглинання. Оскільки різні ядра - компоненти активної зони - різною мірою поглинають теплові нейтрони, зрозуміла остання альтернатива для теплових нейтронів покоління: або бути поглинутими ядрами палива, що діляться під дією теплових нейтронів, або бути поглинутими будь-якими іншими компонентами активної зони.
Перша з цих можливостей таїть у собі щось потенційно-творче: поглинання теплового нейтрона ядром 235U може спричинити поділ цього ядра й появу нових швидких нейтронів поділу, тоді як друга можливість веде до марної втрати теплових нейтронів.
Частка теплових нейтронів, що поглинаються ядрами палива, які діляться під дією теплових нейтронів, від усіх теплових нейтронів покоління (що поглинаються всіма компонентами активної зони) називається коефіцієнтом використання теплових нейтронів (θ).
Таким чином, кількість теплових нейтронів i-го покоління, поглинутих ядрами урану-235, дорівнюватиме nбi ε pз φpт θ.
е) З цих nбi ε pз φ pт θ поглинань теплових нейтронів ядрами 235U лише f5-а частина завершиться поділами ядер, а (1-f5)-а частина закінчиться марним для справи радіаційним захопленням теплових нейтронів цими ядрами. Величина f5 - це імовірність того, що поглинання теплового нейтрона ядром урану-235 завершиться поділом останнього. У розглядуваному простому випадку однокомпонентного палива (що складається лише з одного типу ядер, які діляться тепловими нейтронами, - 235U) цю імовірність можна легко підрахувати
швидкість поділів ядер урану-235 σf5N5Ф σf5 583.5
f5 = -------------------------------------------------------- = ------------------ = ----- = ----------- ≈ 0.857 (3.2.1)
швидкість поглинань ТН ядрами урану-235 σa5N5Ф σa5 680.9
Таким чином, із зазначеного вище числа поглинань теплових нейтронів ядрами урану-235 закінчаться поділами лише nбi ε pз φ pт θ f5.
ж) Але в кожному поділі ядра урану-235 народжується в середньому ν5 нових швидких нейтронів. Константа ν5 = 2.416 - це (див. п.2.2.2) уже відоме нам середнє число нейтронів поділу, що одержуються в акті поділу ядра урану-235 під дією теплового нейтрона.
Таким чином, у зазначеній вище кількості поділів ядер урану-235 під дією теплових нейтронів i-го покоління буде народжено
nбi ε pз φ pт θ f5 ν5 = nбi+1 (3.2.2)
нових швидких нейтронів поділу, але це вже будуть швидкі нейтрони нового, (i+1)-го покоління.
Зазначимо, що два останні співмножники в записаному добутку є фізичними константами ядер урану-235, а отже, їхній добуток
η5 = ν5f5 (3.2.3)
також є фізичною константою ядер урану-235. За фізичним змістом ця константа являє собою середнє число нейтронів поділу, що припадає на кожен поглинений ядрами 235U тепловий нейтрон. Найчастіше її просто називають "константою етта" відповідно до грецької літери η, якою позначають цю величину. (У деяких підручниках і довідниках її позначають νеф, називаючи константою ефективного виходу нейтронів поділу).
У загальнішому випадку, коли паливо в реакторі складається з кількох ядер, що діляться під дією теплових нейтронів:
Константа "етта" - це середнє число нейтронів поділу, що припадає на кожен тепловий нейтрон, який поглинається ядрами палива, що діляться під дією теплових нейтронів.
З урахуванням останнього зауваження формулу (3.2.2) можна записати так:
nбi+1 = nбi ηε j θ pз pт (3.2.4)
Зазначимо, що, міркуючи про процеси й характеристики нейтронного циклу, ми виходили з чисельності швидких нейтронів i-го покоління в об'ємі всієї активної зони.
З таким самим успіхом можна було б почати міркування зі слів: "Нехай середня густина швидких нейтронів i-го покоління, одержаних у поділах ядер урану-235 тепловими нейтронами, дорівнює nбi..." - результат міркувань був би аналогічним, і ми дійшли б тієї самої формули:
nбi+1 = nбi ηε φ θ pз pт, (3.2.5)
яку, зрештою, можна одержати з формули (3.2.4) простим діленням правої й лівої її частин на величину об'єму активної зони.
Але якщо поділити обидві частини виразу (3.2.5) на величину n бi:
nбi+1
_____ = ηε φ θpз pт,
nбi
то в лівій частині виходить відношення густин нейтронів двох послідовних поколінь, що точно збігається з означенням величини ефективного коефіцієнта розмноження, тобто:
kе = ηε φ θ pз pт (3.2.6)
Формула (3.2.6) виражає характеристику ефективних розмножувальних властивостей активної зони теплового ядерного реактора (kе), яка є і мірою нейтронно-фізичного стану реактора, через характеристики окремих фізичних процесів нейтронного циклу в реакторі.
З сказаного випливає пряма логічна цілевказівка: для пізнання закономірностей розмноження нейтронів у реакторі й розуміння практичних шляхів керування потужністю реактора необхідно докладніше дослідити кожну з окремих характеристик процесів нейтронного циклу, з'ясувати, якими чинниками визначаються величини pз, pт, η, ε, φ і θ, і визначити, які з цих чинників придатні для того, щоб через них здійснювати вплив на процес розмноження нейтронів у реакторі.
Перші поверхові роздуми над співмножниками формули (3.2.6) наводять на думку, що два останні співмножники в її правій частині (pз і pт) визначаються насамперед формою та розмірами активної зони реактора, а своїм існуванням вони завдячують лише тому, що реальні активні зони мають скінченні розміри: у гіпотетичній активній зоні нескінченних розмірів обидві зазначені імовірності дорівнюють одиниці, оскільки і нейтронам, що сповільнюються, і тепловим у нескінченній активній зоні витікати, простіше кажучи, нікуди.
Це означає, що розмножувальні властивості гіпотетичної нескінченної активної зони визначаються лише сукупністю компонентів середовища цієї активної зони безвідносно до її розмірів і форми.
Ось чому величину добутку у виразі (3.2.6)
k∞ = η ε φ θ (3.2.7)
під час аналізу зазвичай виокремлюють і називають коефіцієнтом розмноження в нескінченному середовищі. Це не означає, що k∞ - нереальна, гіпотетична величина; вона цілком реальна і править за характеристику власних розмножувальних властивостей середовища активної зони певного складу, вказуючи граничну, максимально можливу, величину ефективного коефіцієнта розмноження в активній зоні цього складу за нескінченного збільшення її розмірів. Тому з урахуванням (3.2.7) вираз для ефективного коефіцієнта розмноження реальної активної зони скінченних розмірів можна записати стисло:
kе = k∞pзpт (3.2.8)
тобто:
Величина ефективного коефіцієнта розмноження реактора з певним складом активної зони скінченних розмірів є добутком коефіцієнта розмноження в нескінченному середовищі цього складу на величини імовірностей уникнення витоку нейтронів, що сповільнюються, і теплових нейтронів для цієї скінченної активної зони.
Оскільки в реальному енергетичному реакторі скінченних розмірів, що призначений працювати переважно в критичному режимі, величини обох імовірностей - менші від одиниці, то величина коефіцієнта розмноження в нескінченному середовищі для такої активної зони - величина, більша за одиницю. Тобто активну зону реального критичного реактора слід скомпонувати з таких матеріалів, сукупність яких має власні надкритичні розмножувальні властивості, але з урахуванням витоку нейтронів з її скінченного об'єму величина ефективного коефіцієнта розмноження в ній повинна бути точно рівною одиниці.
Нехай у такому реакторі внаслідок поділів ядер урану-235 тепловими нейтронами народжується nбi швидких нейтронів поділу i-го покоління, що мають, як ми вже знаємо, середню енергію E0 = 2 МеВ.
а) Ці швидкі нейтрони починають процес сповільнення і на початку інтервалу сповільнення (2 → 1.1 МеВ), тобто вище від порога поділу ядер 238U, мають можливість взаємодіяти з ядрами 238U і спричиняти їхній поділ, унаслідок якого з'являються додаткові нейтрони поділу.
Крім того, додаткові швидкі нейтрони виходять за рахунок поділів урану-235 епітепловими нейтронами (не забуваймо, що 235U ділиться нейтронами всіх енергій). Отже, загальна кількість швидких нейтронів поділу буде більшою, ніж ті nбi нейтронів поділу, що були одержані в поділах ядер 235U лише тепловими нейтронами.
Число e, що показує, у скільки разів число нейтронів поділу, одержаних у поділах ядер палива нейтронами всіх енергій, більше за число нейтронів поділу, одержаних у поділах 235U лише тепловими нейтронами, називається коефіцієнтом розмноження на швидких нейтронах.
Таким чином, загальне число нейтронів поділу i-го покоління дорівнює не nбi, а nбi e.
б) Ці nбi e швидких нейтронів починають сповільнення в активній зоні реактора, але лише pз-а частина їх залишиться в її об'ємі наприкінці процесу сповільнення, а (1-pз)-а частина їх - зазнає витоку з активної зони під час сповільнення.
Частка нейтронів pз,, що уникли витоку з активної зони під час сповільнення, від числа нейтронів покоління, які почали сповільнення в активній зоні, називається імовірністю уникнення витоку нейтронів, що сповільнюються.
Таким чином, до кінця процесу сповільнення в активній зоні реактора залишиться nбi ε pз нейтронів i-го покоління.
в) Поглинальна здатність епітеплових (швидких і проміжних) нейтронів для переважної більшості нуклідів в активній зоні дуже низька порівняно з їхньою поглинальною здатністю в області теплових енергій. Але оскільки в епітепловій області величини мікроперерізів поглинання всіх нуклідів все-таки не нульові, деяка частина нейтронів, що сповільнюються, втрачатиметься через реакції радіаційного захоплення.
Крім того, (немає правила без винятку!) до складу активної зони реактора входить уран-238, який є сильним поглиначем нейтронів, що сповільнюються, в області енергій (6 ÷ 600) еВ, тобто майже в самому кінці інтервалу сповільнення.
На графіку залежності мікроперерізу радіаційного захоплення 238U від енергії нейтронів у цьому інтервалі виразно проглядаються кілька десятків аномальних "піків" - резонансів. Цей аномальний різновид радіаційного захоплення нейтронів, що сповільнюються, на відміну від звичайного радіаційного захоплення теплових нейтронів (або нейтронів будь-яких інших енергій, поблизу яких величини мікроперерізів радіаційного захоплення змінюються не різко), назвали резонансним захопленням.
Тому не всі nбi ε pз нейтронів i-го покоління, що сповільнюються, благополучно завершать процес сповільнення й стануть тепловими, а лише φ-а їх частина: (1-φ)-а частина нейтронів, що сповільнюються в активній зоні в процесі сповільнення, зазнають резонансного захоплення і, отже, будуть втрачені.
Частка нейтронів φ, що уникли резонансного захоплення під час сповільнення, від числа нейтронів покоління, які сповільнюються в межах активної зони реактора, називається імовірністю уникнення резонансного захоплення.
З урахуванням цієї характеристики кількість нейтронів покоління, що благополучно завершують в активній зоні процес сповільнення (= стають тепловими), очевидно дорівнює nбi ε pз φ.
г) Уже йшлося про те, що витік з активної зони властивий не тільки нейтронам, що сповільнюються, а й тепловим. Тому не всі зазначені nбiεpзj теплових нейтронів залишаться до кінця процесу дифузії в межах активної зони, а лише pт-а частина їх: (1-pт)-а частина - покине під час дифузії активну зону і буде втрачена.
Частка теплових нейтронів, що уникли витоку з активної зони під час дифузії, від числа теплових нейтронів покоління, які почали процес дифузії в активній зоні, називається імовірністю уникнення витоку теплових нейтронів (pт).
Таким чином, до кінця дифузії (тобто до моменту поглинання) в активній зоні залишиться nбi ε pз φ pт теплових нейтронів i-го покоління.
д) Кінець процесу дифузії теплових нейтронів у реакторі - це їхня загибель унаслідок їх поглинання. Оскільки різні ядра - компоненти активної зони - різною мірою поглинають теплові нейтрони, зрозуміла остання альтернатива для теплових нейтронів покоління: або бути поглинутими ядрами палива, що діляться під дією теплових нейтронів, або бути поглинутими будь-якими іншими компонентами активної зони.
Перша з цих можливостей таїть у собі щось потенційно-творче: поглинання теплового нейтрона ядром 235U може спричинити поділ цього ядра й появу нових швидких нейтронів поділу, тоді як друга можливість веде до марної втрати теплових нейтронів.
Частка теплових нейтронів, що поглинаються ядрами палива, які діляться під дією теплових нейтронів, від усіх теплових нейтронів покоління (що поглинаються всіма компонентами активної зони) називається коефіцієнтом використання теплових нейтронів (θ).
Таким чином, кількість теплових нейтронів i-го покоління, поглинутих ядрами урану-235, дорівнюватиме nбi ε pз φpт θ.
е) З цих nбi ε pз φ pт θ поглинань теплових нейтронів ядрами 235U лише f5-а частина завершиться поділами ядер, а (1-f5)-а частина закінчиться марним для справи радіаційним захопленням теплових нейтронів цими ядрами. Величина f5 - це імовірність того, що поглинання теплового нейтрона ядром урану-235 завершиться поділом останнього. У розглядуваному простому випадку однокомпонентного палива (що складається лише з одного типу ядер, які діляться тепловими нейтронами, - 235U) цю імовірність можна легко підрахувати
швидкість поділів ядер урану-235 σf5N5Ф σf5 583.5
f5 = -------------------------------------------------------- = ------------------ = ----- = ----------- ≈ 0.857 (3.2.1)
швидкість поглинань ТН ядрами урану-235 σa5N5Ф σa5 680.9
Таким чином, із зазначеного вище числа поглинань теплових нейтронів ядрами урану-235 закінчаться поділами лише nбi ε pз φ pт θ f5.
ж) Але в кожному поділі ядра урану-235 народжується в середньому ν5 нових швидких нейтронів. Константа ν5 = 2.416 - це (див. п.2.2.2) уже відоме нам середнє число нейтронів поділу, що одержуються в акті поділу ядра урану-235 під дією теплового нейтрона.
Таким чином, у зазначеній вище кількості поділів ядер урану-235 під дією теплових нейтронів i-го покоління буде народжено
nбi ε pз φ pт θ f5 ν5 = nбi+1 (3.2.2)
нових швидких нейтронів поділу, але це вже будуть швидкі нейтрони нового, (i+1)-го покоління.
Зазначимо, що два останні співмножники в записаному добутку є фізичними константами ядер урану-235, а отже, їхній добуток
η5 = ν5f5 (3.2.3)
також є фізичною константою ядер урану-235. За фізичним змістом ця константа являє собою середнє число нейтронів поділу, що припадає на кожен поглинений ядрами 235U тепловий нейтрон. Найчастіше її просто називають "константою етта" відповідно до грецької літери η, якою позначають цю величину. (У деяких підручниках і довідниках її позначають νеф, називаючи константою ефективного виходу нейтронів поділу).
У загальнішому випадку, коли паливо в реакторі складається з кількох ядер, що діляться під дією теплових нейтронів:
Константа "етта" - це середнє число нейтронів поділу, що припадає на кожен тепловий нейтрон, який поглинається ядрами палива, що діляться під дією теплових нейтронів.
З урахуванням останнього зауваження формулу (3.2.2) можна записати так:
nбi+1 = nбi ηε j θ pз pт (3.2.4)
Зазначимо, що, міркуючи про процеси й характеристики нейтронного циклу, ми виходили з чисельності швидких нейтронів i-го покоління в об'ємі всієї активної зони.
З таким самим успіхом можна було б почати міркування зі слів: "Нехай середня густина швидких нейтронів i-го покоління, одержаних у поділах ядер урану-235 тепловими нейтронами, дорівнює nбi..." - результат міркувань був би аналогічним, і ми дійшли б тієї самої формули:
nбi+1 = nбi ηε φ θ pз pт, (3.2.5)
яку, зрештою, можна одержати з формули (3.2.4) простим діленням правої й лівої її частин на величину об'єму активної зони.
Але якщо поділити обидві частини виразу (3.2.5) на величину n бi:
nбi+1
_____ = ηε φ θpз pт,
nбi
то в лівій частині виходить відношення густин нейтронів двох послідовних поколінь, що точно збігається з означенням величини ефективного коефіцієнта розмноження, тобто:
kе = ηε φ θ pз pт (3.2.6)
Формула (3.2.6) виражає характеристику ефективних розмножувальних властивостей активної зони теплового ядерного реактора (kе), яка є і мірою нейтронно-фізичного стану реактора, через характеристики окремих фізичних процесів нейтронного циклу в реакторі.
З сказаного випливає пряма логічна цілевказівка: для пізнання закономірностей розмноження нейтронів у реакторі й розуміння практичних шляхів керування потужністю реактора необхідно докладніше дослідити кожну з окремих характеристик процесів нейтронного циклу, з'ясувати, якими чинниками визначаються величини pз, pт, η, ε, φ і θ, і визначити, які з цих чинників придатні для того, щоб через них здійснювати вплив на процес розмноження нейтронів у реакторі.
Перші поверхові роздуми над співмножниками формули (3.2.6) наводять на думку, що два останні співмножники в її правій частині (pз і pт) визначаються насамперед формою та розмірами активної зони реактора, а своїм існуванням вони завдячують лише тому, що реальні активні зони мають скінченні розміри: у гіпотетичній активній зоні нескінченних розмірів обидві зазначені імовірності дорівнюють одиниці, оскільки і нейтронам, що сповільнюються, і тепловим у нескінченній активній зоні витікати, простіше кажучи, нікуди.
Це означає, що розмножувальні властивості гіпотетичної нескінченної активної зони визначаються лише сукупністю компонентів середовища цієї активної зони безвідносно до її розмірів і форми.
Ось чому величину добутку у виразі (3.2.6)
k∞ = η ε φ θ (3.2.7)
під час аналізу зазвичай виокремлюють і називають коефіцієнтом розмноження в нескінченному середовищі. Це не означає, що k∞ - нереальна, гіпотетична величина; вона цілком реальна і править за характеристику власних розмножувальних властивостей середовища активної зони певного складу, вказуючи граничну, максимально можливу, величину ефективного коефіцієнта розмноження в активній зоні цього складу за нескінченного збільшення її розмірів. Тому з урахуванням (3.2.7) вираз для ефективного коефіцієнта розмноження реальної активної зони скінченних розмірів можна записати стисло:
kе = k∞pзpт (3.2.8)
тобто:
Величина ефективного коефіцієнта розмноження реактора з певним складом активної зони скінченних розмірів є добутком коефіцієнта розмноження в нескінченному середовищі цього складу на величини імовірностей уникнення витоку нейтронів, що сповільнюються, і теплових нейтронів для цієї скінченної активної зони.
Оскільки в реальному енергетичному реакторі скінченних розмірів, що призначений працювати переважно в критичному режимі, величини обох імовірностей - менші від одиниці, то величина коефіцієнта розмноження в нескінченному середовищі для такої активної зони - величина, більша за одиницю. Тобто активну зону реального критичного реактора слід скомпонувати з таких матеріалів, сукупність яких має власні надкритичні розмножувальні властивості, але з урахуванням витоку нейтронів з її скінченного об'єму величина ефективного коефіцієнта розмноження в ній повинна бути точно рівною одиниці.