6.4.2. Результат решения волнового уравнения для цилиндрической гомогенной активной зоны

Если записать волновое уравнение в цилиндри­ческой системе координат,  начало которой совпадает с центром активной зоны, и решить его при обозначенных выше граничных условиях, то интег­рал этого уравнения будет иметь вид произведения:

Выражение (6.4.7) означает, что:
- распределение величины плотности потока тепловых нейтронов по высоте цилиндрической гомогенной активной зоны (в точках равно­удаленных от оси симметрии на расстояние r) подчиняется закону косинуса:

где Ф_оr = Ф(z=0, r) - значение плотности потока тепловых нейтронов на цилиндрической поверхности радиуса r  на середине высоты активной зоны (рис.6.8):

Рис.6.8. Эпюры распределения плотности потока тепловых нейтронов по высоте
цилиндрической гомогенной активной зоны. 

-       распределение плотности потока тепловых нейтронов по радиусу активной зоны (в плоских круговых поверхностях на любой фиксиро­ванной высоте z над (или под) центром активной зоны) подчиняется закону функции Бесселя первого рода нулевого порядка:

где Ф_оz = Ф(z,r=0) - значение плотности потока тепловых нейтронов на оси симметрии активной зоны на высоте z (рис.6.9).

Рис.6.9. Эпюры распределения плотности потока тепловых нейтронов по радиусу
цилиндрической гомогенной активной зоны.

Функция Бесселя первого рода нулевого порядка I₀(x) для действи­тельного аргумента x появляется при решении волнового уравнения в ци­линдрической системе координат. Начальный участок графика этой функции (при изменении x в пределах от 0 до 2.405) напоминает график функ­ции косинуса в пределах от 0 до p/2: при x = 0 I₀ = 1, а при x = 2.405 I₀ = 0 (рис.6.10). Более того, значения этих функций при значениях ар­гумента x в указанных интервалах их с точностью до + 2% совпадают.

Рис.6.10. График функции Бесселя первого рода нулевого порядка I₀(x) для действительного аргумента x.

В связи с тем, что график I₀(x) пересекает ось абсцисс при x₀ = 2.405, это значение аргумента называют первым корнем (или первым нулём) функ­ции Бесселя первого рода нулевого порядка.
Функция I₀(x), наряду с другими бесселевыми функциями, приводится в графическом и табличном виде в справочниках по специальным функциям.

Характер косинусоидально-бесселевского распределения плотности по­тока тепловых нейтронов в цилиндрической гомогенной активной зоне действителен (совпадает с реальным) для любых точек активной зоны, исклю­чая точки, лежащие в пределах относительно тонкого приграничного слоя толщиной ~ 2λ_tr среды активной зоны, где действительный характер рас­пределения Ф(z,r) несколько отклоняется от аналитического в сторону уве­личения.

Учитывая, что транспортные макросечения сред активных зон ВВЭР не превышают нескольких см^-1, соответствующие им величины длины линейной экстраполяции d оказываются не выше 1 см. Поэтому распределение Ф(z,r) в цилиндрических гомогенных активных зонах с размерами более 1 м фак­тически определяется не столько величиной d, сколько действительными размерами активной зоны.
Этот вывод справедлив и для гетерогенных тепловых реакторов.