Перетворення швидкостей

Головна відмінність принципу відносності Ейнштейна від принципу відносності Ньютона полягає в тому, що закони перетворень, які пов'язують координати й часи в системах, що рухаються одна відносно одної, різні. Правильний закон перетворень (Лоренца) такий:

Ці рівняння відповідають порівняно простому випадку, коли спостерігачі рухаються один відносно одного вздовж спільної осі х. Звісно, мислимі й інші напрямки руху, але найзагальніше перетворення Лоренца виглядає доволі складно: у ньому перемішані всі чотири числа. Ми і надалі користуватимемося цією простою формулою, оскільки вона містить у собі всі суттєві риси теорії відносності. Розглянемо тепер подальші наслідки цього перетворення. Насамперед цікаво розв'язати ці рівняння відносно х, у, z, t. Це система чотирьох лінійних рівнянь для чотирьох невідомих, і їх можна розв'язати — виразити х, у, z, t через х`, у`, z`, t`. Цей результат цікавий тим, що він говорить нам, як «нерухома» система координат виглядає з погляду «рухомої». Зрозуміло, що через відносність руху і сталість швидкості той, хто «рухається», може, якщо забажає, вважати себе нерухомим, а іншого — рухомим. А оскільки він рухається у зворотний бік, то отримає те саме перетворення, але з протилежним знаком у швидкості. Це точнісінько те, що дає і пряме розв'язання системи, так що все сходиться. От якби не зійшлося, було б через що стривожитися!

Тепер займемося цікавим питанням про додавання швидкостей у теорії відносності. Нагадаємо, що первісно загадка полягала в тому, що світло проходить 300 000 км/с у всіх системах, навіть якщо вони рухаються одна відносно одної. Це — частковий випадок загальнішої задачі. Наведімо приклад. Нехай предмет усередині космічного корабля рухається вперед зі швидкістю 200 000 км/с; швидкість самого корабля теж 200 000 км/с. З якою швидкістю переміщується предмет з погляду зовнішнього спостерігача? Хочеться сказати: 400 000 км/с, але ця цифра надто вже підозріла: виходить швидкість, більша за швидкість світла! Хіба можна собі це уявити? Загальна постановка задачі така. Нехай швидкість тіла всередині корабля дорівнює v (з погляду спостерігача на кораблі), а сам корабель має швидкість u відносно Землі. Ми хочемо знати, з якою швидкістю v_x це тіло рухається з погляду земного спостерігача. Утім, це теж не найзагальніший випадок, тому що рух відбувається в напрямку х. Можуть бути формули для перетворення швидкостей у напрямку у чи в будь-якому іншому; якщо вони знадобляться, їх завжди можна вивести. Усередині корабля швидкість тіла дорівнює v<sub>x`</sub>. Це означає, що переміщення х` дорівнює швидкості, помноженій на час:

Залишається тільки підрахувати, які в тіла значення х і t з погляду зовнішнього спостерігача, якщо х` і t` пов'язані співвідношенням (16.3). Підставимо (16.3) в (16.2) і отримаємо Але тут х виражено через t`. А швидкість з погляду зовнішнього спостерігача — це «його» відстань, поділена на «його» час, а не на час іншого спостерігача. Отже, треба й час підрахувати з його позицій

А тепер поділимо х на t. Квадратні корені скоротяться, залишиться ж

Це і є шуканий закон: сумарна швидкість не дорівнює сумі швидкостей (це призвело б до всіляких безглуздостей), але «підправлена» знаменником 1 + uv/c². Що ж тепер вийде? Нехай ваша швидкість усередині корабля дорівнює половині швидкості світла, а швидкість корабля теж дорівнює половині швидкості світла. Отже, і u дорівнює 1/2c, і v дорівнює 1/2с, але в знаменнику uv дорівнює 1/4, так що

Виходить за теорією відносності, що 1/2 і 1/2 дають не 1 а 4/5. Невеликі швидкості, звісно, можна додавати, як зазвичай, тому що, поки швидкості порівняно зі швидкістю світла малі, про знаменник (1 + uv/c²) можна забути, але на великих швидкостях становище змінюється. Візьмемо граничний випадок. Припустімо, що людина на борту корабля спостерігає, як поширюється світло. Тоді v=c. Що виявить земний спостерігач? Відповідь буде така:

Отже, якщо щось рухається зі швидкістю світла всередині корабля, то, з погляду стороннього спостерігача, швидкість не зміниться, вона й надалі дорівнюватиме швидкості світла! Це саме те, заради чого в першу чергу призначав Ейнштейн свою теорію відносності. Звісно, буває, що рух тіла не збігається за напрямком із рівномірним рухом корабля. Наприклад, тіло рухається «вгору» зі швидкістю v<sub>y`</sub> відносно корабля, а корабель рухається «горизонтально». Проробляючи такі самі маніпуляції (тільки х треба замінити на у), отримуємо
y = y` = v<sup>y`</sup>t`,
так що при v_x`=0

Отже, бокова швидкість тіла вже не v_{y`</sub>, a v<sub>y`}√(1-u²/c²). Цей результат ми отримали, користуючись формулами перетворень. Але він випливає й прямо з принципу відносності з такої причини (завжди буває корисно докопатися до первісної причини). Ми вже раніше міркували (див. фіг. 15.3) про те, як можуть працювати рухомі годинники; світло здається таким, що поширюється навскіс зі швидкістю с у нерухомій системі, тоді як у рухомій системі воно просто рухається вертикально з тією самою швидкістю. Ми знайшли, що вертикальна компонента швидкості в нерухомій системі менша за швидкість світла на множник √(1-u²/c²) [див. рівняння (15.3)]. Нехай тепер матеріальна частинка рухається в тому самому «годиннику» туди-сюди зі швидкістю, що дорівнює 1/n швидкості світла (фіг. 16.1). Поки частинка пройде туди й назад, світло пройде цей шлях рівно n разів (n — ціле число). Значить, кожне цокання «годинника з частинкою» збіжиться з n-м цоканням «світлового годинника». Цей факт має залишитися правильним і тоді, коли тіло рухається, тому що фізичне явище збігу залишається збігом у будь-якій системі. Ну а оскільки швидкість c_y менша за швидкість світла, то швидкість v_y частинки має бути меншою за відповідну швидкість у тому самому відношенні (з квадратним коренем)! Ось чому в будь-якій вертикальній швидкості з'являється корінь.