Релятивістська маса

З попереднього розділу ми засвоїли, що маса тіла зростає зі збільшенням її швидкості. Але жодних доказів цього, схожих на ті міркування з годинниками, якими ми обґрунтували сповільнення часу, ми не навели. Зараз, однак, ми можемо довести, що (як наслідок принципу відносності та інших розумних міркувань) маса має змінюватися саме таким чином. (Ми повинні говорити про «інші міркування» з тієї причини, що не можна нічого довести, не можна сподіватися на осмислені висновки, не спираючись на якісь закони, які припускаються правильними.) Щоб не вивчати закони перетворення сили, звернімося до зіткнень частинок. Тут нам не знадобиться закон дії сили, а вистачить тільки припущення про збереження енергії та імпульсу. Крім того, ми припустимо, що імпульс рухомої частинки — це вектор, завжди спрямований уздовж її руху. Але ми не вважатимемо імпульс пропорційним швидкості, як це робив Ньютон. Для нас він буде просто якоюсь функцією швидкості. Ми писатимемо вектор імпульсу у вигляді вектора швидкості, помноженого на якийсь коефіцієнт

Індекс v біля коефіцієнта нагадуватиме нам, що це функція швидкості v. Називатимемо цей коефіцієнт «масою». Зрозуміло, що за невеликих швидкостей це якраз та сама маса, яку ми звикли вимірювати. Тепер, виходячи з того принципу, що закони фізики в усіх системах координат однакові, спробуємо показати, що формула для mv повинна
мати вигляд m₀√(1 - v²/c²). Нехай у нас є дві частинки (наприклад, два протони), які між собою цілком однакові й рухаються назустріч одна одній з однаковими швидкостями. Їхній сумарний імпульс дорівнює нулю. Що з ними станеться? Після зіткнення їхні напрямки руху все одно повинні залишитися протилежними, тому що якщо це не так, то їхній сумарний вектор імпульсу буде відмінний від нуля, тобто не збережеться. Оскільки частинки однакові, то і швидкості їхні мають бути однакові; більше того, вони просто мають залишитися тими самими, інакше енергія при зіткненні зміниться. Отже, схема такого пружного оборотного зіткнення виглядатиме, як на фіг. 16.2,а: усі стрілки однакові, усі швидкості рівні. Припустімо, що такі зіткнення завжди можна підготувати, що в них допустимі будь-які кути 0 і що початкові швидкості частинок можуть бути будь-якими. Далі, нагадаємо, що те саме зіткнення виглядає по-різному, залежно від того, як повернуті осі. Для зручності ми так повернемо осі, щоб горизонталь ділила навпіл кут між напрямками частинок до і після зіткнення (фіг. 16.2,б). Це те саме зіткнення, що і на фіг. 16.2,а, але з повернутими осями.

Тепер починається найголовніше: погляньмо на це зіткнення з позицій спостерігача, що рухається на автомобілі зі швидкістю, яка збігається з горизонтальною компонентою швидкості однієї з частинок. Як воно виглядатиме? Спостерігачеві здасться, що частинка 1 підіймається прямо вгору (горизонтальна компонента в неї пропала), а після зіткнення падає прямо вниз з тієї самої причини (фіг. 16.3, а). Натомість частинка 2 рухається зовсім інакше, вона проноситься мимо з колосальною швидкістю і під малим кутом (але цей кут і до, і після зіткнення однаковий). Позначимо горизонтальну компоненту швидкості частинки 2 через и, а вертикальну швидкість частинки 1 — через w. Чому ж дорівнює вертикальна швидкість u tg α частинки 2? Знаючи це, можна отримати правильний вираз для імпульсу, користуючись збереженням імпульсу у вертикальному напрямку. (Збереження горизонтальної компоненти імпульсу й так забезпечене: в обох частинок до і після зіткнення ця компонента однакова, а в частинки 1 вона взагалі дорівнює нулю. Тож слід вимагати тільки збереження вертикальної швидкості u tg α.) Але вертикальну швидкість можна отримати, просто поглянувши на це зіткнення з іншої точки зору! Погляньте на зіткнення, зображене на фіг. 16.3, а з автомобіля, який рухається тепер ліворуч зі швидкістю и. Ви побачите те саме зіткнення, але перевернуте «догори ногами» (фіг. 16.3, б). Тепер уже частинка 2 впаде і підскочить зі швидкістю w, а горизонтальну швидкість u здобуде частинка 1. Ви вже, звісно, здогадуєтеся, чому дорівнює горизонтальна швидкість u tg α; вона дорівнює ω√(1 — u²/с²) [див. рівняння (16.7)]. Крім того, нам відомо, що зміна вертикального імпульсу вертикально рухомої частинки дорівнює
Δp = 2m_ωω
(двійка тут тому, що рух угору перейшов у рух униз). У частинки, що рухається косо, швидкість дорівнює v, її компоненти дорівнюють u і ω√(1 — u²/с²), а маса її m_v. Зміна вертикального імпульсу цієї частинки Δp = 2m_ωω√(1 — u²/с²), оскільки відповідно до нашого припущення (16.8) будь-яка компонента імпульсу дорівнює добутку однойменної компоненти швидкості на масу, що відповідає цій швидкості. Але сумарний імпульс дорівнює нулю. Значить, і вертикальні імпульси мають взаємно скоротитися, а відношення маси, що рухається зі швидкістю ω, до маси, що рухається зі швидкістю v, має виявитися рівним

Перейдімо до граничного випадку, коли ω прямує до нуля. За дуже малих ω величини v і u практично збіжаться, m_ω → m₀, а m_v → m_u. Остаточний результат такий:

Проробіть тепер таку цікаву вправу: перевірте, чи буде виконана умова (16.9) за довільних ω, коли маса підпорядковується формулі (16.10). При цьому швидкість v, що стоїть у рівнянні (16.9), можна знайти з прямокутного трикутника

Ви побачите, що (16.9) виконується тотожно, хоча вище нам знадобилася тільки границя цієї рівності при ω→0. Тепер перейдімо до подальших наслідків, вважаючи вже, що, згідно з (16.10), маса залежить від швидкості. Розглянемо так зване непружне зіткнення. Для простоти припустімо, що з двох однакових тіл, які стикаються з однаковими швидкостями ω, утворюється нове тіло, яке більше не розпадається (фіг. 16.4,а). Маси тіл до зіткнення дорівнюють, як ми знаємо, m₀/√(1 - ω²/c²). Припустивши збереження імпульсу і прийнявши принцип відносності, можна продемонструвати цікаву властивість маси щойно утвореного тіла. Уявімо собі нескінченно малу швидкість u, поперечну до швидкостей ω (можна було б працювати і зі скінченною швидкістю и, але з нескінченно малим значенням и легше в усьому розібратися), і погляньмо на це зіткнення, рухаючись у ліфті зі швидкістю —u. Перед нами постане картина, зображена на фіг. 16.4, а. Складене тіло має невідому масу М. У тіла 1, як і в тіла 2, є компонента швидкості и, спрямована вгору, і горизонтальна компонента, практично рівна ω. Після зіткнення залишається маса М, що рухається вгору зі швидкістю u, набагато меншою і за швидкість світла, і за швидкість ω. Імпульс має залишитися тим самим; погляньмо тому, яким він був до зіткнення і яким став потім. До зіткнення він дорівнював p≈2m_wu, а потім став р`=М_uu. Але М_u через малість u, по суті, збігається з М₀. Завдяки збереженню імпульсу

Отже, маса тіла, що утворюється при зіткненні двох однакових тіл, дорівнює їхній подвоєній масі. Ви, правда, можете сказати: «Ну то й що, це просто збереження маси». Але не поспішайте вигукувати: «Ну то й що!», бо самі-то маси тіл були більшими, ніж коли тіла нерухомі. Вони вносять у сумарну масу М не масу спокою, а більше. Чи не дивовижно! Виявляється, збереження імпульсу при зіткненні двох тіл вимагає, щоб утворювана ними маса була більшою за їхні маси спокою, хоча після зіткнення ці тіла самі перейдуть у стан спокою!