Тепер мені хотілося б обговорити деякі властивості кристалів з погляду їхніх внутрішніх симетрій. Основна властивість кристала полягає в тому, що якщо ви зсунетеся від одного атома на один період ґратки до відповідного атома, то потрапите в точно таке саме оточення. Це фундаментальне твердження. Але якби ви самі були атомом, то могли б помітити інше переміщення, яке привело б вас у точно таке саме оточення, тобто в іншу можливу «симетрію». На фіг. 30.7, а показано ще один можливий візерунок шпалер (хоча ви, напевно, такого ніколи не бачили). Припустімо, що ми порівнюємо оточення в точках A і B. Ви могли б спершу подумати, що вони однакові. Не зовсім. Точки C і D еквівалентні A, але оточення B подібне до A, тільки якщо все поруч обернути наче в дзеркалі.У цьому візерунку є ще й інші види «еквівалентних» точок. Так, точки E і F мають «однакові» оточення, за тим винятком, що одне повернуто на 90° стосовно іншого. Візерунок особливий. Обертання на 90°, проведене скільки завгодно разів навколо такої вершини, як A, знову дає той самий візерунок. Кристал з такою структурою мав би на поверхні прямі кути, але всередині він влаштований складніше, ніж простий куб. Тепер, коли ми описали низку окремих випадків, спробуємо вивести всі можливі типи симетрії, які може мати кристал. Насамперед подивимося, що виходить у площині. Плоска ґратка може бути визначена за допомогою двох так званих основних векторів, які йдуть від однієї точки ґратки до двох найближчих еквівалентних точок. Два вектори 1 і 2 суть основні вектори ґратки на фіг. 30.1. Два вектори а і b на фіг. 30.7, а — основні вектори для зображеного там візерунка. Ми могли б, звісно, з тим самим успіхом замінити а на –а або b на –b. Оскільки а і b однакові за величиною і перпендикулярні одне одному, то обертання на 90° переводить а в b і b в а і знову дає ту саму ґратку.
Отже, ми бачимо, що існують ґратки, які мають «чотиристоронню» симетрію. А раніше ми описали щільну упаковку, засновану на шестикутнику і таку, що має шестисторонню симетрію. Обертання набору кружків на фіг. 30.5, а на кут 60° навколо центра будь-якої кульки переводить малюнок сам у себе.
Які види обертальної симетрії існують ще? Чи може бути, наприклад, обертальна симетрія п'ятого або восьмого порядку? Легко зрозуміти, що вони неможливі. Єдина симетрія, пов'язана з фігурою, що має більш ніж чотири сторони, є симетрія шостого порядку. Насамперед покажемо, що симетрія більш ніж шостого порядку неможлива. Спробуймо уявити ґратку з двома рівними основними векторами, що утворюють кут менш ніж 60° (фіг. 30.8, а). Ми повинні припустити, що точки B і C еквівалентні A і що а і b — найкоротші вектори, проведені з A до еквівалентних сусідів. Але це, безумовно, невірно, тому що відстань між B і C коротша, ніж від будь-якого з них до A. Повинна існувати сусідня точка D, еквівалентна A, яка ближча до A, ніж до B або C. Ми повинні були б обрати b′ як один з основних векторів. Тому кут між основними векторами повинен дорівнювати 60° або ще більше. Октагональна симетрія неможлива.
А як бути з п'ятикратною симетрією? Якщо ми припустимо, що основні вектори а і b мають однакову довжину й утворюють кут 2π/5=72° (фіг. 30.8, б), то повинна існувати еквівалентна точка ґратки в D під 72° до лінії АС. Але вектор b′ від E до D тоді коротший за b, і b вже не основний вектор. П'ятикратної симетрії бути не може. Єдині можливості, що не призводять до подібних труднощів, — це θ = 60, 90 або 120°. Очевидно, допустимі також нуль і 180°. Можна ще так висловити отриманий нами результат: малюнок може не змінюватися при повороті на повний оберт (нічого не змінюється), пів-оберту, одну третину, одну чверть або одну шосту оберту. І цим вичерпуються всі можливі обертальні симетрії на площині — всього їх п'ять. Якщо θ=2π/n, то ми говоримо про «n-кратну» симетрію, або симетрію n-го порядку. Ми говоримо, що візерунок, для якого n дорівнює 4 або 6, має «вищу симетрію», ніж візерунок з n, що дорівнює 1 або 2.Повернімося до фіг. 30.7, а. Ми бачимо, що візерунок там має чотирикратну обертальну симетрію. На фіг. 30.7, б ми намалювали інше розташування, яке має ті самі властивості симетрії, що й фіг. 30.7, а. Маленькі фігурки, схожі на коми,— це асиметричні об'єкти, які слугують для визначення симетрії зображення всередині кожного квадратика. Зауважте, що коми в сусідніх квадратиках перевернуті почергово, так що елементарна комірка більша за один квадратик. Якби ком не було, малюнок як і раніше мав би чотирикратну симетрію, але елементарна комірка була б меншою. Подивімося уважно на фіг. 30.7; ми виявимо, що вони мають ще й інші типи симетрії. Так, відбиття відносно кожної пунктирної лінії R—R відтворює малюнок без змін. Але це ще не все. У них є ще один тип симетрії. Якщо відбити малюнок відносно лінії у—у, а потім зсунути на один квадратик вправо (або вліво), то знову вийде первісний малюнок. Лінія у—у називається лінією ковзання.
Цим вичерпуються всі типи симетрії в просторі двох вимірів. Є ще одна просторова операція симетрії, яка на площині еквівалентна обертанню на 180°, проте в тривимірному просторі вона не зводиться до цього обертання, а є зовсім іншою операцією. Я говорю про інверсію. Під інверсією ми розуміємо таку операцію, коли будь-яка точка, що відповідає вектору зміщення з початку координат R (наприклад, точка A на фіг. 30.9, б), переноситься в точку —R.Інверсія малюнка а на фіг. 30.9 дає новий малюнок, а інверсія малюнка б приводить до такого самого малюнка. На двовимірному візерунку (ви можете це бачити) інверсія малюнка б у точці A еквівалентна повороту на 180° навколо тієї самої точки. Припустімо, однак, що ми зробили візерунок на фіг. 30.9, б тривимірним, уявивши на маленьких шістках і дев'ятках «стрілочки», що дивляться зі сторінки догори. Унаслідок інверсії в тривимірному просторі всі стрілочки перевернуться і спрямуються вниз, так що візерунок не відтвориться. Якщо ми позначимо вістря і хвости стрілок точками й хрестиками, то зможемо утворити тривимірний малюнок (фіг. 30.9, в), який несиметричний відносно інверсії, або ж ми можемо отримати малюнок, який такою симетрією володіє (фіг. 30.9, г). Зауважте, що тривимірну інверсію не можна отримати жодною комбінацією обертань.
Якщо ми будемо характеризувати «симетрію» малюнка (або ґратки) різного роду операціями симетрії, які ми щойно описали, то виявиться, що у двовимірному випадку існує 17 різних форм візерунків. Візерунок з найнижчою можливою симетрією ми зобразили на фіг. 30.1, а візерунок з однією з найвищих симетрій — на фіг. 30.7. Відшукайте самі всі 17 можливих форм малюнків.
Дивно, як мало типів з цих 17 використовується при виготовленні шпалер і тканин! Завжди бачиш одні й ті самі три або чотири основних типи. У чому тут річ? Невже така вбога фантазія художників, чи, може, багато з можливих типів малюнків не тішитимуть око?