Досі ми говорили тільки про візерунки у двох вимірах. Насправді ж нас цікавлять способи розміщення атомів у трьох вимірах. Насамперед очевидно, що тривимірний кристал має три основних вектори. Якщо ж ми поцікавимося можливими операціями симетрії в трьох вимірах, то виявимо, що існує 230 можливих типів симетрії! За деякими міркуваннями, ці 230 типів можна розділити на сім класів, представлених на фіг. 30.10. Ґратка з найменшою симетрією називається триклінною. Її елементарна комірка являє собою паралелепіпед. Основні вектори всі мають різну довжину і немає жодної однакової пари кутів між ними. І жодної обертальної чи дзеркальної симетрії тут немає. Однак є ще одна операція: при інверсії у вузлі елементарна комірка може змінюватися, а може й не змінюватися. [Під інверсією в трьох вимірах ми знову розуміємо, що просторове зміщення R замінюється на —R, або, іншими словами, точка з координатами (x, y, z) переходить у точку з координатами (—x, —y, —z). Тому симетрія триклінної ґратки може бути тільки двох типів — з центром інверсії і без нього.] Поки ми вважали, що всі вектори різні й розташовані під довільними кутами. Якщо ж усі вектори однакові й кути між ними рівні, то виходить тригональна ґратка, зображена на малюнку. Комірка такої ґратки може мати додаткову симетрію; вона може ще й не змінюватися при обертанні навколо найбільшої тілесної діагоналі.Якщо один з основних векторів, скажімо с, спрямований під прямим кутом до двох інших, то ми отримуємо моноклінну елементарну комірку. Тут можлива нова симетрія — обертання на 180° навколо с. Гексагональна ґратка — це окремий випадок, коли вектори а і b рівні й кут між ними становить 60°, так що обертання на 60, 120 або 180° навколо вектора с приводить до тієї самої ґратки (для певних внутрішніх типів симетрії).
Якщо всі три основних вектори перпендикулярні один одному, але не рівні за довжиною, виходить ромбічна комірка. Фігура симетрична відносно обертань на 180° навколо трьох осей. Типи симетрії вищого порядку виникають у тетрагональної комірки, всі кути якої прямі і два основних вектори рівні. Нарешті, є ще кубічна комірка, найсиметричніша з усіх.Основний сенс усієї цієї розмови про типи симетрії полягає в тому, що внутрішня симетрія кристала виявляється (іноді дуже тонким чином) у макроскопічних фізичних властивостях кристала. У розд. 31 ми побачимо, наприклад, що електрична поляризовність кристала, узагалі кажучи, являє собою тензор. Якщо описувати тензор у термінах еліпсоїда поляризовності, то ми повинні довести, що деякі типи симетрії кристала виявляться в цьому еліпсоїді. Так, кубічний кристал симетричний відносно обертання на 90° навколо будь-якого з трьох взаємно перпендикулярних напрямків. Єдиний еліпсоїд з такою властивістю — очевидно, сфера. Кубічний кристал повинен бути ізотропним діелектриком.
З іншого боку, тетрагональний кристал має обертальну симетрію четвертого порядку. Дві головні осі його еліпсоїда повинні бути рівні, а третя повинна бути паралельна осі кристала. Аналогічно, оскільки ромбічний кристал має обертальну симетрію другого порядку відносно трьох перпендикулярних осей, його осі повинні збігатися з осями еліпсоїда поляризовності. Так само одна з осей моноклінного кристала повинна бути паралельна одній з головних осей еліпсоїда, хоча про інші осі ми нічого сказати не можемо. Триклінний кристал не має обертальної симетрії, тому його еліпсоїд може мати будь-яку орієнтацію.
Як бачите, ми можемо з користю провести час, вигадуючи всілякі типи симетрії і пов'язуючи їх з усілякими фізичними тензорами. Ми розглянули тільки тензор поляризовності, тут справа була проста, а для інших тензорів, наприклад для тензора пружності, міркувати буде важче. Існує розділ математики, який називається «теорією груп», що займається такими речами, але зазвичай можна зметикувати все, що потрібно, спираючись лише на здоровий глузд.