Ми розглядали випромінювання диполів з якісного погляду, тепер розглянемо кількісну картину. Знайдемо перш за все сумарне поле від двох джерел у найзагальнішому випадку, коли різниця фаз α і сили осциляторів A1 і A2 довільні; для цього необхідно скласти два косинуси з однаковою частотою, але різними фазами. Різниця фаз знаходиться дуже просто: вона складається з різниці, що виникає через неоднакове віддалення точки спостереження від обох джерел, і внутрішньої, заданої різниці фаз коливань. Виражаючись математично, нам необхідно скласти дві хвилі: R =A1 cos (ωt + φ1) + A2 cos (ωt + φ2). Як це зробити?
Кожен, ймовірно, зуміє провести це додавання, але тим не менше простежимо за ходом обчислень. Перш за все, якщо ми розбираємося в математиці і достатньо вправно управляємося із синусами й косинусами, цю задачу легко розв'язати. Найпростіший випадок, коли амплітуда А1 дорівнює A2, і нехай обидві вони позначаються через А. За цих умов (назвемо це тригонометричним методом розв'язання задачі) ми маємо
Зображення
На уроках тригонометрії ви, ймовірно, доводили рівність
Зображення
Якщо це нам відомо, то ми негайно отримуємо R:
Зображення
Отже, ми знову отримали синусоїдальну хвилю, але з новою фазою і новою амплітудою. Взагалі результат додавання двох синусоїдальних хвиль є синусоїдальна хвиля з новою амплітудою AR, яку називають результуючою амплітудою, і новою фазою φR, яку називають результуючою фазою. У нашому окремому випадку результуюча амплітуда дорівнює
Зображення
а результуюча фаза є арифметичним середнім обох фаз. Таким чином, поставлена задача повністю розв'язана.
Припустимо тепер, що ми забули формулу додавання косинусів. Тоді можна застосувати інший метод розв'язання — геометричний. Косинус, що залежить від ωt, можна подати у вигляді горизонтальної проекції деякого вектора, що обертається. Нехай є вектор A1, що обертається з плином часу; довжина його дорівнює A1, а кут з віссю абсцис дорівнює ωt +φ1.(Ми поки що опустимо доданок ωt; як ми побачимо, при виведенні це не відіграє ролі.) Зробимо миттєвий знімок векторів у момент часу t = 0, пам'ятаючи, що насправді вся схема обертається з кутовою швидкістю ω (фіг. 29.9). Проекція А1 на вісь абсцис у точності дорівнює А1 cos (ωt +φ1). У момент часу t = 0 друга хвиля представляється вектором А2, довжина якого дорівнює А2, а його кут з віссю абсцис дорівнює φ2, причому він теж обертається з плином часу. Обидва вектори обертаються з однаковою кутовою швидкістю ω, і їхнє відносне розташування незмінне. Вся система обертається жорстко, подібно до твердого тіла.
Горизонтальна проекція А2 дорівнює A2 cos(ωt + φ2). З векторного аналізу відомо, що при додаванні двох векторів за правилом паралелограма утворюється новий, результуючий вектор AR, причому х-компонента його є сума х-компонент векторів-доданків. Звідси отримуємо розв'язок нашої задачі. Легко перевірити, що виходить правильна відповідь у нашому окремому випадку А1 = А2 = А. Справді, з фіг. 29.9 очевидно, що AR лежить посередині між А1 і А2 і становить кут ½ (φ2 — φ1) з кожним з них. Отже, AR = 2A cos ½ (φ2 — φ1), що збігається з попереднім результатом. Крім того, у випадку A1 = А2 фаза AR є середнім від фаз А1 і A2. Для нерівних A1 і А2 задача розв'язується так само просто. Ми можемо назвати це геометричним розв'язанням задачі.
Існує ще один метод розв'язання задачі, його можна було б назвати аналітичним. Замість того щоб малювати схему, подібну до наведеної на фіг. 29.9, напишемо вирази, які мають той самий сенс, що й креслення, і зіставимо кожному вектору комплексне число. Дійсні частини цих комплексних чисел відповідають реальним фізичним величинам. У нашому конкретному випадку хвилі записуються таким чином: A1exp[i (ωt+φ1)] [дійсна частина цього дорівнює A1 cos (ωt+φ1)] і A2exp[i (ωt+φ2)]. Складемо обидві хвилі:
Горизонтальна проекція А2 дорівнює A2 cos(ωt + φ2). З векторного аналізу відомо, що при додаванні двох векторів за правилом паралелограма утворюється новий, результуючий вектор AR, причому х-компонента його є сума х-компонент векторів-доданків. Звідси отримуємо розв'язок нашої задачі. Легко перевірити, що виходить правильна відповідь у нашому окремому випадку А1 = А2 = А. Справді, з фіг. 29.9 очевидно, що AR лежить посередині між А1 і А2 і становить кут ½ (φ2 — φ1) з кожним з них. Отже, AR = 2A cos ½ (φ2 — φ1), що збігається з попереднім результатом. Крім того, у випадку A1 = А2 фаза AR є середнім від фаз А1 і A2. Для нерівних A1 і А2 задача розв'язується так само просто. Ми можемо назвати це геометричним розв'язанням задачі.
Існує ще один метод розв'язання задачі, його можна було б назвати аналітичним. Замість того щоб малювати схему, подібну до наведеної на фіг. 29.9, напишемо вирази, які мають той самий сенс, що й креслення, і зіставимо кожному вектору комплексне число. Дійсні частини цих комплексних чисел відповідають реальним фізичним величинам. У нашому конкретному випадку хвилі записуються таким чином: A1exp[i (ωt+φ1)] [дійсна частина цього дорівнює A1 cos (ωt+φ1)] і A2exp[i (ωt+φ2)]. Складемо обидві хвилі:
Зображення
або
Зображення
Задача, таким чином, розв'язана, оскільки ми маємо остаточний результат у вигляді комплексного числа з модулем AR і фазою φR.
Для ілюстрації аналітичного методу знайдемо амплітуду AR, тобто «довжину» R. «Довжина» комплексного числа в квадраті є саме комплексне число, помножене на спряжене йому. Комплексне спряження полягає у зміні знака i. Звідси отримуємо
Зображення
Перемножуючи, отримуємо А12 + А22 і перехресні доданки
Зображення
тобто eiθ +e-iθ = 2 cos θ. Отже, остаточний результат є
Зображення
(За допомогою формул тригонометрії легко встановити збіг отримуваного результату з довжиною AR на фіг. 29.9.)
Отже, сумарна інтенсивність складається з доданка А12, що виникає від дії тільки першого джерела, інтенсивності А22, що дорівнює інтенсивності другого джерела, і ще додаткового доданка. Цей додатковий доданок ми назвемо ефектом інтерференції. Він являє собою різницю між істинним результатом додавання і сумою інтенсивностей. Інтерференційний доданок може бути як додатним, так і від'ємним. [Інтерференція (interference) в англійській розмовній мові означає заперечення, перешкоду, але у фізиці слова часто втрачають первісний сенс і вживаються зовсім в іншому значенні!] Якщо інтерференційний доданок додатний, ми будемо говорити про конструктивну інтерференцію (буквальний сенс цього виразу здасться жахливим усім, крім фізиків!). У протилежному випадку ми говоримо про деструктивну інтерференцію.
Подивімося тепер, як застосувати нашу загальну формулу (29.16) для додавання полів випромінювання двох осциляторів до тих окремих випадків, які ми вже якісно обговорювали. Для цього необхідно лише обчислити різницю фаз φ1 – φ2 двох сигналів, що приходять у дану точку простору. (Ефект, звичайно, пов'язаний з різницею фаз, а не з їхніми абсолютними значеннями.) Розглянемо випадок, коли два осцилятори з рівними амплітудами і з відносною фазою коливань α (коли коливання одного мають фазу нуль, фаза іншого дорівнює α) розташовані на відстані d один від одного. Будемо шукати інтенсивність під кутом θ до лінії захід — схід. [Зауважте, що цей кут не має нічого спільного з кутом θ у формулі (29.1).] Різниця відстаней від точки Р до осциляторів дорівнює d sin θ (фіг. 29.10), тому різниця фаз, що виникає з цієї причини, дорівнює числу довжин хвиль, укладених на відрізку d sin θ, помноженому на 2 π. (Більш підготовлений читач, ймовірно, помножив би хвильове число k, тобто швидкість зміни фази з відстанню, на d sin θ, результат вийде той самий.) Різниця фаз, що виникає через різницю ходу променів, є, таким чином, (2π d sin θ) /λ, але через відносне запізнення осциляторів виникає додаткова різниця фаз α. Звідси повна різниця фаз двох хвиль у точці спостереження дорівнює
Подивімося тепер, як застосувати нашу загальну формулу (29.16) для додавання полів випромінювання двох осциляторів до тих окремих випадків, які ми вже якісно обговорювали. Для цього необхідно лише обчислити різницю фаз φ1 – φ2 двох сигналів, що приходять у дану точку простору. (Ефект, звичайно, пов'язаний з різницею фаз, а не з їхніми абсолютними значеннями.) Розглянемо випадок, коли два осцилятори з рівними амплітудами і з відносною фазою коливань α (коли коливання одного мають фазу нуль, фаза іншого дорівнює α) розташовані на відстані d один від одного. Будемо шукати інтенсивність під кутом θ до лінії захід — схід. [Зауважте, що цей кут не має нічого спільного з кутом θ у формулі (29.1).] Різниця відстаней від точки Р до осциляторів дорівнює d sin θ (фіг. 29.10), тому різниця фаз, що виникає з цієї причини, дорівнює числу довжин хвиль, укладених на відрізку d sin θ, помноженому на 2 π. (Більш підготовлений читач, ймовірно, помножив би хвильове число k, тобто швидкість зміни фази з відстанню, на d sin θ, результат вийде той самий.) Різниця фаз, що виникає через різницю ходу променів, є, таким чином, (2π d sin θ) /λ, але через відносне запізнення осциляторів виникає додаткова різниця фаз α. Звідси повна різниця фаз двох хвиль у точці спостереження дорівнює
Зображення
Цей вираз охоплює всі випадки. Тепер залишається тільки підставити його в (29.16) і покласти А1 = A2; вийде формула, за допомогою якої можна вивести всі результати для двох антен однакової інтенсивності.
Розглянемо окремі випадки. Наприклад, на фіг. 29.5 ми вважали, що інтенсивність під кутом 30° дорівнює 2. Звідки це виходить? Осцилятори перебувають на відстані λ/2, отже, для кута 30° d sin θ = λ/4, звідси φ2 — φ1 = 2πλ/4λ = π/2 і інтерференційний доданок дорівнює нулю. (Відбувається додавання двох векторів, спрямованих під кутом 90° один до одного.) Сума векторів є гіпотенузою прямокутного рівнобедреного трикутника, вона в √2 раза більша за кожну амплітуду. Отже, інтенсивність у 2 рази більша за інтенсивність кожного джерела окремо. Усі інші приклади досліджуються точно таким же способом.