У цьому розділі ми обговоримо ті самі питання, що й у попередньому, але з більшими математичними подробицями. Якісно ми вже показали, що поле випромінювання двох джерел має максимуми і мінімуми, і тепер наше завдання — дати математичний, а не просто якісний опис поля.
Ми цілком задовільно розібрали фізичний зміст формули (28.6), розглянемо тепер деякі її математичні риси. Перш за все поле заряду, що рухається вгору і вниз з малою амплітудою в напрямку θ від осі руху, перпендикулярне до променя зору і лежить у площині прискорення й променя зору (фіг. 29.1). Позначимо відстань через r, тоді в момент часу t величина електричного поля дорівнює
Ми цілком задовільно розібрали фізичний зміст формули (28.6), розглянемо тепер деякі її математичні риси. Перш за все поле заряду, що рухається вгору і вниз з малою амплітудою в напрямку θ від осі руху, перпендикулярне до променя зору і лежить у площині прискорення й променя зору (фіг. 29.1). Позначимо відстань через r, тоді в момент часу t величина електричного поля дорівнює
Зображення
де a(t–r/c) — прискорення в момент часу (t–r/c), або запізніле прискорення.
Цікаво намалювати картину розподілу поля в різних випадках. Найхарактерніший множник у формулі (29.1) — це a(t–r/c); щоб його зрозуміти, візьмемо найпростіший випадок θ = 90° і зобразимо поле на графіку. Раніше нас цікавило питання, як поводиться поле в даній фіксованій точці простору з плином часу. Тепер подивимось, як виглядає поле в різних точках простору в один і той самий момент часу. Іншими словами, нам потрібен «миттєвий знімок» поля, з якого буде ясно, яке воно в різних місцях. Зрозуміло, картина розподілу поля залежить від прискорення заряду. Задамо характер руху заряду: нехай спочатку він перебуває в спокої, потім раптово почне певним чином прискорюватися (як показано на фіг. 29.2) і, нарешті, зупиниться. Потім, трохи пізніше, виміряємо поле в різних точках простору.
Ми можемо стверджувати, що поле матиме вигляд, наведений на фіг. 29.3. Справді, поле в кожній точці визначається прискоренням заряду в попередній момент часу, причому під словом «попередній» розуміється r/с секунд тому. Що дальша точка, то більш раннім моментом часу визначається для неї прискорення. Тому крива на фіг. 29.3 у певному сенсі є «оберненим» у часі графіком прискорення; час і відстань відрізняються сталим множником с який часто вибирають рівним одиниці. Цей факт легко помітити і в математичному записі a(t–r/c). Ясно, що додавання інтервалу часу Δt і віднімання відрізка шляху Δr = — c Δt дають одну і ту саму величину a(t–r/c).
Іншими словами, збільшивши час на Δt, можна відновити значення a(t–r/c) додаванням відрізка Δr = c Δt т. е. поле поширюється з часом як хвиля, що йде від джерела. Ось чому іноді кажуть, що світло рухається як хвиля. Можна також сказати, що поле запізнюється в часі, або інакше, що поле поширюється вшир з плином часу.
Особливий інтерес становить випадок періодичних коливань заряду q. У досліді, розглянутому в розд. 28, зміщення зарядів х у момент t дорівнювало деякій константі х0, амплітуді коливань, помноженій на cos ωt. Прискорення в цьому випадку дорівнює
Цікаво намалювати картину розподілу поля в різних випадках. Найхарактерніший множник у формулі (29.1) — це a(t–r/c); щоб його зрозуміти, візьмемо найпростіший випадок θ = 90° і зобразимо поле на графіку. Раніше нас цікавило питання, як поводиться поле в даній фіксованій точці простору з плином часу. Тепер подивимось, як виглядає поле в різних точках простору в один і той самий момент часу. Іншими словами, нам потрібен «миттєвий знімок» поля, з якого буде ясно, яке воно в різних місцях. Зрозуміло, картина розподілу поля залежить від прискорення заряду. Задамо характер руху заряду: нехай спочатку він перебуває в спокої, потім раптово почне певним чином прискорюватися (як показано на фіг. 29.2) і, нарешті, зупиниться. Потім, трохи пізніше, виміряємо поле в різних точках простору.
Ми можемо стверджувати, що поле матиме вигляд, наведений на фіг. 29.3. Справді, поле в кожній точці визначається прискоренням заряду в попередній момент часу, причому під словом «попередній» розуміється r/с секунд тому. Що дальша точка, то більш раннім моментом часу визначається для неї прискорення. Тому крива на фіг. 29.3 у певному сенсі є «оберненим» у часі графіком прискорення; час і відстань відрізняються сталим множником с який часто вибирають рівним одиниці. Цей факт легко помітити і в математичному записі a(t–r/c). Ясно, що додавання інтервалу часу Δt і віднімання відрізка шляху Δr = — c Δt дають одну і ту саму величину a(t–r/c).
Іншими словами, збільшивши час на Δt, можна відновити значення a(t–r/c) додаванням відрізка Δr = c Δt т. е. поле поширюється з часом як хвиля, що йде від джерела. Ось чому іноді кажуть, що світло рухається як хвиля. Можна також сказати, що поле запізнюється в часі, або інакше, що поле поширюється вшир з плином часу.
Особливий інтерес становить випадок періодичних коливань заряду q. У досліді, розглянутому в розд. 28, зміщення зарядів х у момент t дорівнювало деякій константі х0, амплітуді коливань, помноженій на cos ωt. Прискорення в цьому випадку дорівнює
Зображення
де a0, що дорівнює —ω2x0, і є амплітудою прискорення. Підставляючи цю формулу в (29.1), знаходимо
Зображення
Відволічемося поки що від кута θ і сталих і подивимось, як поводиться Е (29.3) залежно від часу або координат.