Принцип відносності виявляється добрим помічником і під час розв'язання багатьох теоретичних питань. Наведімо кілька простих прикладів.
Ще раз про Ахіллеса і черепаху. Повернімося до апорії Зенона, у якій він намагався довести, що бистроногий Ахіллес не здатен наздогнати черепаху. Цього разу для розв'язання апорії скористаймося принципом відносності.
Раніше ми вивчали рух Ахіллеса і черепахи відносно Землі, тобто в системі відліку, пов'язаній із Землею. Розглянемо тепер цю задачу в системі відліку, пов'язаній із черепахою. Класичний принцип відносності стверджує, що обидві системи відліку рівноправні. Отже, результат не повинен залежати від системи відліку.
Користування системою відліку, пов'язаною з черепахою, означає, що тепер ми всі швидкості вимірюємо відносно черепахи. Швидкість Ахіллеса відносно Землі — V, швидкість черепахи — v. Швидкість Ахіллеса відносно черепахи, отже, V—v. Швидкість же черепахи відносно неї самої, звісно, дорівнює нулю, тобто в новій системі відліку черепаха буде просто нерухомим тілом, яке має досягти Ахіллес, що біжить зі швидкістю V—v. Після переходу до системи відліку, пов'язаної з черепахою, ми опиняємося перед проблемою з апорії «Дихотомія»: треба пройти відстань s (початкову відстань між черепахою та Ахіллесом) зі швидкістю V—v. Очевидно, для цього потрібен час
t=s/(V - v) с.
Ми дістаємо точно той самий результат, що й раніше. Принцип відносності привів нас до нього швидше й простіше, ніж міркування, викладені в § 5.
Рис. 14. Схематичне зображення пружного зіткнення двох куль однакової маси
Закони пружних зіткнень. Дві кульки з однаковими радіусами й рівними масами зближуються по прямій, кожна зі швидкістю v відносно Землі (рис. 14, а). Зіткнувшись, обидві кульки деформуються й зупиняються (рис. 14, б). Якщо кульки зроблено з непружного матеріалу, на цьому все й закінчується. А в пружних кульок вдавлені поверхні напружені на кшталт пружини. Щойно рух кульок припиняється, вони негайно починають відновлювати свою попередню форму. Деформовані поверхні випрямляються, і (якщо кульки абсолютно пружні) вони відскакують одна від одної з тією самою швидкістю, з якою зближувалися. Після зіткнення обидві кульки котяться зі швидкістю v у зворотному напрямку (рис. 14, в).
Так відбувається зіткнення двох пружних кульок з рівними масами. Саме так стикаються, наприклад, дві більярдні кулі.
А що станеться після зіткнення двох однакових кульок з різними швидкостями? Голландський учений Гюйгенс ще в XVII ст. показав, що за допомогою принципу відносності таке питання розв'язується просто. Розглянемо, наприклад, таку задачу.
Куля A, рухаючись, зіштовхується з нерухомою кулею B. Як рухатимуться кулі після зіткнення, якщо швидкість кулі A до того була 2v (маси куль вважаємо однаковими)?
Приступаючи до розв'язання цієї задачі, Гюйгенс писав: «Коли пасажир якогось корабля, що рухається з постійною швидкістю, зіштовхує дві рівні кулі з рівними відносно нього та частин корабля швидкостями, то вони повинні відскочити з такими самими, відносно нього, швидкостями, достоту так, як це має місце для людини, що стоїть на березі». Тим самим Гюйгенс ураховував принцип відносності: зіткнення двох куль на кораблі, що пливе рівномірно й прямолінійно, відбувається так само, як і на березі, а цей принцип дає ключ до розв'язання задачі.
Нехай на кораблі, що пливе зі швидкістю v, пружно зіштовхуються дві кулі з рівними масами, які котяться палубою зі швидкістю v (рис. 15, а). Це зіткнення відбуватиметься точно так само, як і на березі, тобто після зіткнення кулі розходитимуться, рухаючись відносно корабля зі швидкістю v (рис. 15,0).
Спостерігач, що стоїть на березі, побачить це саме зіткнення інакше: до удару куля B зовсім не рухається відносно берега (наскільки корабель іде вперед, настільки ж куля відкочується назад), тоді як куля A рухається зі швидкістю 2v за напрямком руху корабля. Такими й були початкові дані нашої задачі. Отже, з рис. 15, б, на якому зображено рух куль після удару, можна побачити розв'язок задачі. Для цього треба тільки визначити, як кулі рухаються відносно берега. Очевидно, що після зіткнення куля A стає нерухомою відносно земної поверхні, а куля B почне рухатися зі швидкістю 2v праворуч. Це й буде розв'язком задачі. Куля B, яка перед зіткненням перебувала в спокої, покотиться зі швидкістю 2v а куля A, що раніше рухалася, зупиниться. Рухома куля передала під час удару всю свою швидкість (точніше, весь свій імпульс) тій, що була в спокої, і сама зупинилася.
Рис. 15. Схематичне зображення пружного зіткнення двох куль однакової маси на кораблі. Швидкості куль дано відносно корабля, швидкість корабля дано відносно берега
За аналогією з попереднім читач може з'ясувати характер пружних зіткнень для однакових куль, що мають різні швидкості. При цьому він легко встановить загальний закон: за пружного (центрального) зіткнення кулі з рівними масами обмінюються імпульсами.
Ще раз про Ахіллеса і черепаху. Повернімося до апорії Зенона, у якій він намагався довести, що бистроногий Ахіллес не здатен наздогнати черепаху. Цього разу для розв'язання апорії скористаймося принципом відносності.
Раніше ми вивчали рух Ахіллеса і черепахи відносно Землі, тобто в системі відліку, пов'язаній із Землею. Розглянемо тепер цю задачу в системі відліку, пов'язаній із черепахою. Класичний принцип відносності стверджує, що обидві системи відліку рівноправні. Отже, результат не повинен залежати від системи відліку.
Користування системою відліку, пов'язаною з черепахою, означає, що тепер ми всі швидкості вимірюємо відносно черепахи. Швидкість Ахіллеса відносно Землі — V, швидкість черепахи — v. Швидкість Ахіллеса відносно черепахи, отже, V—v. Швидкість же черепахи відносно неї самої, звісно, дорівнює нулю, тобто в новій системі відліку черепаха буде просто нерухомим тілом, яке має досягти Ахіллес, що біжить зі швидкістю V—v. Після переходу до системи відліку, пов'язаної з черепахою, ми опиняємося перед проблемою з апорії «Дихотомія»: треба пройти відстань s (початкову відстань між черепахою та Ахіллесом) зі швидкістю V—v. Очевидно, для цього потрібен час
t=s/(V - v) с.
Ми дістаємо точно той самий результат, що й раніше. Принцип відносності привів нас до нього швидше й простіше, ніж міркування, викладені в § 5.
Рис. 14. Схематичне зображення пружного зіткнення двох куль однакової масиЗакони пружних зіткнень. Дві кульки з однаковими радіусами й рівними масами зближуються по прямій, кожна зі швидкістю v відносно Землі (рис. 14, а). Зіткнувшись, обидві кульки деформуються й зупиняються (рис. 14, б). Якщо кульки зроблено з непружного матеріалу, на цьому все й закінчується. А в пружних кульок вдавлені поверхні напружені на кшталт пружини. Щойно рух кульок припиняється, вони негайно починають відновлювати свою попередню форму. Деформовані поверхні випрямляються, і (якщо кульки абсолютно пружні) вони відскакують одна від одної з тією самою швидкістю, з якою зближувалися. Після зіткнення обидві кульки котяться зі швидкістю v у зворотному напрямку (рис. 14, в).
Так відбувається зіткнення двох пружних кульок з рівними масами. Саме так стикаються, наприклад, дві більярдні кулі.
А що станеться після зіткнення двох однакових кульок з різними швидкостями? Голландський учений Гюйгенс ще в XVII ст. показав, що за допомогою принципу відносності таке питання розв'язується просто. Розглянемо, наприклад, таку задачу.
Куля A, рухаючись, зіштовхується з нерухомою кулею B. Як рухатимуться кулі після зіткнення, якщо швидкість кулі A до того була 2v (маси куль вважаємо однаковими)?
Приступаючи до розв'язання цієї задачі, Гюйгенс писав: «Коли пасажир якогось корабля, що рухається з постійною швидкістю, зіштовхує дві рівні кулі з рівними відносно нього та частин корабля швидкостями, то вони повинні відскочити з такими самими, відносно нього, швидкостями, достоту так, як це має місце для людини, що стоїть на березі». Тим самим Гюйгенс ураховував принцип відносності: зіткнення двох куль на кораблі, що пливе рівномірно й прямолінійно, відбувається так само, як і на березі, а цей принцип дає ключ до розв'язання задачі.
Нехай на кораблі, що пливе зі швидкістю v, пружно зіштовхуються дві кулі з рівними масами, які котяться палубою зі швидкістю v (рис. 15, а). Це зіткнення відбуватиметься точно так само, як і на березі, тобто після зіткнення кулі розходитимуться, рухаючись відносно корабля зі швидкістю v (рис. 15,0).
Спостерігач, що стоїть на березі, побачить це саме зіткнення інакше: до удару куля B зовсім не рухається відносно берега (наскільки корабель іде вперед, настільки ж куля відкочується назад), тоді як куля A рухається зі швидкістю 2v за напрямком руху корабля. Такими й були початкові дані нашої задачі. Отже, з рис. 15, б, на якому зображено рух куль після удару, можна побачити розв'язок задачі. Для цього треба тільки визначити, як кулі рухаються відносно берега. Очевидно, що після зіткнення куля A стає нерухомою відносно земної поверхні, а куля B почне рухатися зі швидкістю 2v праворуч. Це й буде розв'язком задачі. Куля B, яка перед зіткненням перебувала в спокої, покотиться зі швидкістю 2v а куля A, що раніше рухалася, зупиниться. Рухома куля передала під час удару всю свою швидкість (точніше, весь свій імпульс) тій, що була в спокої, і сама зупинилася.
Рис. 15. Схематичне зображення пружного зіткнення двох куль однакової маси на кораблі. Швидкості куль дано відносно корабля, швидкість корабля дано відносно берегаЗа аналогією з попереднім читач може з'ясувати характер пружних зіткнень для однакових куль, що мають різні швидкості. При цьому він легко встановить загальний закон: за пружного (центрального) зіткнення кулі з рівними масами обмінюються імпульсами.