Цілком особливий погляд на питання про рух мали давньогрецькі філософи, що жили в VI і V століттях до н. е. на Апеннінському півострові в місті Елея (їх називають елеатами). Розмірковуючи про рух тіл, елеати дійшли висновку, що руху взагалі не існує. Якщо ж ми й бачимо в природі рух, стверджували вони, то це лише омана почуттів. Настільки хибними можуть бути людські почуття! Особливо цікавими були міркування про неможливість руху в елеата Зенона. Наведемо тут його чотири знамениті апорії?
Дихотомія. У цій апорії Зенон стверджує, що шлях скінченної довжини неможливо пройти за скінченний час.
Припустімо, що нам потрібно переміститися з точки A в точку B (рис. 7). Щоб пройти шлях від A до B, потрібно спочатку пройти половину шляху, тобто досягти точки B1. Але для того, щоб пройти шлях від A до B1, потрібно спочатку пройти його половину, тобто з точки A дійти до точки B2. Так можна міркувати без кінця. Щоб пройти шлях, потрібно спочатку пройти його половину, щоб пройти півшляху, потрібно пройти половину від половини шляху і т. д. Щоб дістатися з точки A в точку B необхідно пройти нескінченну кількість відрізків шляху, а це неможливо зробити за скінченний час. З одного місця в інше потрібно рухатися нескінченно довго, тобто рух насправді неможливий.
Рис. 7. За Зеноном, шлях скінченної довжини неможливо пройти за скінченний час
Рис. 8. Ахіллес і черепаха
Рис. 9. За Зеноном, визнання руху призводить до абсурду: ціле дорівнює своїй половині
Рис. 10. Пояснення те саме, що й до рис. 9
Ахіллес і черепаха. Герой Троянської війни Ахіллес славився тим, що дуже швидко бігав. Зенон, однак, доводив, що Ахіллес не здатний випередити навіть черепаху. Як це можливо? Нехай, понадіявшись на свої швидкі ноги, Ахіллес візьме старт далеко позаду черепахи. Черепаха почне повзти від точки A1 Ахіллес же побіжить від точки A, що лежить позаду неї (рис. 8). До того часу, як Ахіллес досягне точки A1, черепаха переповзе в точку A2. Коли ж Ахіллес добіжить до точки A2, черепаха буде вже в точці A3 і т. д. і т. д. Швидконогий Ахіллес ніколи не наздожене повільної черепахи. Отже, руху не існує.
Стріла. У цій апорії Зенон стверджує, що летюча стріла перебуває в спокої. Справді, в даний момент стріла, що рухається, перебуває в певній точці простору, тобто в даний момент часу стрілу можемо вважати такою, що перебуває в спокої. Стріла перебуває в спокої в будь-який даний момент часу, отже, вона зовсім не рухається.
Стадії. Тут Зенон показує, що визнання існування руху призводить до безглуздого висновку: ціле дорівнює своїй половині. Нехай три ряди вершників розташовані так, як показано на рис. 9. Довжина всіх трьох рядів однакова. Нехай другий ряд починає рухатися ліворуч, третій — праворуч. Через деякий час вершники розташуються так, як показано на рис. 10. Останній вершник третього ряду минув половину першого ряду і весь другий ряд. Отже, ціле дорівнює своїй половині. Цей безглуздий висновок має показувати, що рух насправді неможливий.
Такими були апорії Зенона, з яких мала б випливати неможливість руху. З цим твердженням ми погодитися не можемо. Навпаки, кожне тіло в природі завжди рухається. Лише в спеціально вибраній системі відліку тіло може виявитися нерухомим. Спокій — лише окремий випадок руху.
Апорії Зенона були предметом роздумів математиків і філософів протягом багатьох століть. Але нам немає потреби вдаватися тут до теоретичних тонкощів. З досвіду кожен знає, що Ахіллес наздожене черепаху. Подивімося, як виражається цей факт механіки, виходячи з поняття швидкості.
Якщо відстань між точками A і B дорівнює а, то під час руху зі швидкістю v цю відстань буде пройдено за а/v с.
Розгляньмо докладніше проблему про дихотомію. Якби ми досягли точки В1 (див. рис. 7), то залишилося б пройти ще шлях довжиною а/2 (половину всього шляху). Під час руху зі швидкістю v цю відстань буде пройдено за
t1 = a/2v с.
Для проходження відрізка B2B1 необхідний час
t2 = a/4v с.
щоб пройти відрізок B3B2, потрібно, щоб
t3 = a/8v с.
і т. д. до нескінченності.
Додавши всі ці проміжки, отримаємо час, витрачений на те, щоб пройти шлях АВ,
Апорію про Ахіллеса і черепаху наводить на сторінках роману «Війна і мир» Лев Толстой. Він пише: «Для людського розуму незбагненна абсолютна безперервність руху. Людині стають зрозумілими закони якого б то не було руху лише тоді, коли вона розглядає довільно взяті одиниці цього руху. Але водночас саме з цього довільного ділення безперервного руху на переривчасті одиниці випливає більша частина людських помилок.
Відомий так званий софізм давніх, що полягає в тому, що Ахіллес ніколи не наздожене черепаху, яка йде попереду, незважаючи на те, що Ахіллес іде в десять разів швидше за черепаху... Ця задача здавалася давнім нерозв'язною. Безглуздість розв'язку (що Ахіллес ніколи не наздожене черепаху) випливала лише з того, що довільно були допущені переривчасті одиниці руху, тоді як рух і Ахіллеса, і черепахи відбувався безперервно».
Говорячи про математичне розв'язання питання про Ахіллеса і черепаху, Толстой пише далі:
«Нова галузь математики, досягши мистецтва поводитися з нескінченно малими величинами, ... дає тепер відповіді й на складніші питання, що здавалися нерозв'язними. Ця нова, невідома давнім, галузь математики... тим самим виправляє ту неминучу помилку, якої людський розум не може не робити, розглядаючи замість безперервного руху окремі одиниці руху».
В апорії про стрілу Зенон допускає ту саму помилку, що й у двох перших: він залишає без уваги властивість безперервності руху. Рух стріли не можна розглядати як суму станів спокою: рух — більш загальне явище, ніж спокій, тому його неможливо пояснити лише станами спокою.
Особливо цікава для нас четверта апорія. Суперечність, до якої дійшов тут Зенон, зумовлена нерозумінням відносності руху. Цю апорію розв'язати нескладно.
Нехай другий ряд вершників рухається відносно першого зі швидкістю u ліворуч, третій ряд — відносно першого з такою самою швидкістю праворуч. Тоді швидкість останнього вершника третього ряду буде u відносно першого ряду і 2v — відносно другого ряду. Якщо вершник проскакав t с, то відносно першого ряду він змістився на vt м, відносно другого — на 2 vt м. Тут ми маємо приклад опису руху в різних системах відліку: в одному випадку тілом відліку буде перший ряд вершників, в іншому випадку — другий. Опис руху в різних системах відліку, природно, дає різні результати; жодних суперечностей цей факт у собі не містить.
Дихотомія. У цій апорії Зенон стверджує, що шлях скінченної довжини неможливо пройти за скінченний час.
Припустімо, що нам потрібно переміститися з точки A в точку B (рис. 7). Щоб пройти шлях від A до B, потрібно спочатку пройти половину шляху, тобто досягти точки B1. Але для того, щоб пройти шлях від A до B1, потрібно спочатку пройти його половину, тобто з точки A дійти до точки B2. Так можна міркувати без кінця. Щоб пройти шлях, потрібно спочатку пройти його половину, щоб пройти півшляху, потрібно пройти половину від половини шляху і т. д. Щоб дістатися з точки A в точку B необхідно пройти нескінченну кількість відрізків шляху, а це неможливо зробити за скінченний час. З одного місця в інше потрібно рухатися нескінченно довго, тобто рух насправді неможливий.
Рис. 7. За Зеноном, шлях скінченної довжини неможливо пройти за скінченний часРис. 8. Ахіллес і черепахаРис. 9. За Зеноном, визнання руху призводить до абсурду: ціле дорівнює своїй половиніРис. 10. Пояснення те саме, що й до рис. 9Ахіллес і черепаха. Герой Троянської війни Ахіллес славився тим, що дуже швидко бігав. Зенон, однак, доводив, що Ахіллес не здатний випередити навіть черепаху. Як це можливо? Нехай, понадіявшись на свої швидкі ноги, Ахіллес візьме старт далеко позаду черепахи. Черепаха почне повзти від точки A1 Ахіллес же побіжить від точки A, що лежить позаду неї (рис. 8). До того часу, як Ахіллес досягне точки A1, черепаха переповзе в точку A2. Коли ж Ахіллес добіжить до точки A2, черепаха буде вже в точці A3 і т. д. і т. д. Швидконогий Ахіллес ніколи не наздожене повільної черепахи. Отже, руху не існує.
Стріла. У цій апорії Зенон стверджує, що летюча стріла перебуває в спокої. Справді, в даний момент стріла, що рухається, перебуває в певній точці простору, тобто в даний момент часу стрілу можемо вважати такою, що перебуває в спокої. Стріла перебуває в спокої в будь-який даний момент часу, отже, вона зовсім не рухається.
Стадії. Тут Зенон показує, що визнання існування руху призводить до безглуздого висновку: ціле дорівнює своїй половині. Нехай три ряди вершників розташовані так, як показано на рис. 9. Довжина всіх трьох рядів однакова. Нехай другий ряд починає рухатися ліворуч, третій — праворуч. Через деякий час вершники розташуються так, як показано на рис. 10. Останній вершник третього ряду минув половину першого ряду і весь другий ряд. Отже, ціле дорівнює своїй половині. Цей безглуздий висновок має показувати, що рух насправді неможливий.
Такими були апорії Зенона, з яких мала б випливати неможливість руху. З цим твердженням ми погодитися не можемо. Навпаки, кожне тіло в природі завжди рухається. Лише в спеціально вибраній системі відліку тіло може виявитися нерухомим. Спокій — лише окремий випадок руху.
Апорії Зенона були предметом роздумів математиків і філософів протягом багатьох століть. Але нам немає потреби вдаватися тут до теоретичних тонкощів. З досвіду кожен знає, що Ахіллес наздожене черепаху. Подивімося, як виражається цей факт механіки, виходячи з поняття швидкості.
Якщо відстань між точками A і B дорівнює а, то під час руху зі швидкістю v цю відстань буде пройдено за а/v с.
Розгляньмо докладніше проблему про дихотомію. Якби ми досягли точки В1 (див. рис. 7), то залишилося б пройти ще шлях довжиною а/2 (половину всього шляху). Під час руху зі швидкістю v цю відстань буде пройдено за
t1 = a/2v с.
Для проходження відрізка B2B1 необхідний час
t2 = a/4v с.
щоб пройти відрізок B3B2, потрібно, щоб
t3 = a/8v с.
і т. д. до нескінченності.
Додавши всі ці проміжки, отримаємо час, витрачений на те, щоб пройти шлях АВ,
Апорію про Ахіллеса і черепаху наводить на сторінках роману «Війна і мир» Лев Толстой. Він пише: «Для людського розуму незбагненна абсолютна безперервність руху. Людині стають зрозумілими закони якого б то не було руху лише тоді, коли вона розглядає довільно взяті одиниці цього руху. Але водночас саме з цього довільного ділення безперервного руху на переривчасті одиниці випливає більша частина людських помилок.
Відомий так званий софізм давніх, що полягає в тому, що Ахіллес ніколи не наздожене черепаху, яка йде попереду, незважаючи на те, що Ахіллес іде в десять разів швидше за черепаху... Ця задача здавалася давнім нерозв'язною. Безглуздість розв'язку (що Ахіллес ніколи не наздожене черепаху) випливала лише з того, що довільно були допущені переривчасті одиниці руху, тоді як рух і Ахіллеса, і черепахи відбувався безперервно».
Говорячи про математичне розв'язання питання про Ахіллеса і черепаху, Толстой пише далі:
«Нова галузь математики, досягши мистецтва поводитися з нескінченно малими величинами, ... дає тепер відповіді й на складніші питання, що здавалися нерозв'язними. Ця нова, невідома давнім, галузь математики... тим самим виправляє ту неминучу помилку, якої людський розум не може не робити, розглядаючи замість безперервного руху окремі одиниці руху».
В апорії про стрілу Зенон допускає ту саму помилку, що й у двох перших: він залишає без уваги властивість безперервності руху. Рух стріли не можна розглядати як суму станів спокою: рух — більш загальне явище, ніж спокій, тому його неможливо пояснити лише станами спокою.
Особливо цікава для нас четверта апорія. Суперечність, до якої дійшов тут Зенон, зумовлена нерозумінням відносності руху. Цю апорію розв'язати нескладно.
Нехай другий ряд вершників рухається відносно першого зі швидкістю u ліворуч, третій ряд — відносно першого з такою самою швидкістю праворуч. Тоді швидкість останнього вершника третього ряду буде u відносно першого ряду і 2v — відносно другого ряду. Якщо вершник проскакав t с, то відносно першого ряду він змістився на vt м, відносно другого — на 2 vt м. Тут ми маємо приклад опису руху в різних системах відліку: в одному випадку тілом відліку буде перший ряд вершників, в іншому випадку — другий. Опис руху в різних системах відліку, природно, дає різні результати; жодних суперечностей цей факт у собі не містить.
Зображення
