Алгебра чотиривекторів

Чотиривектори позначаються інакше, ніж тривектори. Наприклад, тривектор імпульсу позначають р. Якщо хочуть дати більш детальний запис, то говорять про три компоненти р_x, p_y, p_z; можна писати й коротше р_i, обумовлюючи, що i набуває трьох значень х, у і z. Для чотиривекторів ми застосовуватимемо схоже позначення: писатимемо р_μ, а μ, нехай замінює собою чотири напрями t, х, у, z. Звісно, можна користуватися будь-якими позначеннями. Не посміхайтеся, що ми так багато говоримо про позначення; вчіться винаходити їх: у них уся сила. Адже й сама математика значною мірою полягає у винаході кращих позначень. Ідея чотиривектора — це теж удосконалення позначень з таким розрахунком, щоб перетворення було легше запам'ятати. Отже, A_μ — це загальний чотиривектор, р_μ— чотириімпульс, p_t — енергія, р_x— імпульс у напрямі х, р_y— у напрямі y, p_z— у напрямі z. Додаючи чотиривектори, додають їхні відповідні компоненти. Якщо чотиривектори пов'язані якимось рівнянням, то це означає, що рівняння виконується для будь-якої компоненти. Наприклад, якщо закон збереження тривектора імпульсу дотримується при зіткненні частинок, тобто сума імпульсів багатьох взаємодіючих або таких, що стикаються, частинок стала, то це означає, що сума всіх компонент імпульсів стала і в напрямку х, і в напрямку у, і в напрямку z. Сам по собі такий закон у теорії відносності неможливий: він неповний; це те саме, що говорити тільки про дві компоненти тривектора. Неповний він тому, що при повороті осей різні компоненти змішуються, отже, до закону збереження мають увійти всі три компоненти. Таким чином, у теорії відносності потрібно доповнити закон збереження імпульсу, включивши в нього збереження часової компоненти. Цілком необхідно, щоб збереження перших трьох компонент супроводжувалося збереженням четвертої, інакше не вийде релятивістської інваріантності. Четверте рівняння — це якраз збереження енергії; воно має супроводжувати збереження імпульсу для того, щоб чотиривекторні співвідношення в геометрії простору-часу були справедливі. Отже, закон збереження енергії та імпульсу в чотиривимірному позначенні такий:

де i = 1, 2, ... стосується частинок, що стикаються, j =1, 2,... — частинок, які виникають при зіткненні, a μ = x, y, z або t. Ви запитаєте: «А що з осями координат?» Це неважливо. Закон правильний для будь-яких компонент, за будь-яких осей. У векторному аналізі нам трапилося одне поняття — скалярний добуток двох векторів. Що відповідає йому в просторі-часі? При звичайних обертаннях незмінною лишається величина x² + y² + z². У чотиривимірному світі такою властивістю при перетвореннях володіє величина t²—х²—у²—z² [рівняння (17.3)]. Як можна це записати? Можна було б, наприклад, користуватися значком на кшталт Aμ◊Bμ, але зазвичай пишуть

Штрих при Σ нагадує, що перший, «часовий» член додатний, а решта три від'ємні. Ця величина одна й та сама в будь-якій системі координат, і можна назвати її квадратом довжини чотиривектора. Чому дорівнює, наприклад, квадрат довжини чотиривектора імпульсу окремої частинки? Відповідь: p²_t - p²_x - p²_y - p²_z, або, інакше, Е²—р², бо p_t це і є Е. Чому дорівнює Е² — р²? За умовою має вийти щось, що однакове в будь-якій системі координат, зокрема й у системі координат, яка рухається разом із частинкою, так що частинка в цій системі спочиває. Але якщо частинка нерухома, отже, вона не має імпульсу. Отже, в неї лишається тільки енергія, яка в цьому разі збігається з її масою. Отже, Е²—р²=m₀², тобто квадрат довжини чотиривектора імпульсу дорівнює m₀².
Користуючись виразом для квадрата вектора, легко винайти скалярний добуток двох чотиривекторів: якщо один із них а_μ , а інший b_μ, то скалярний добуток визначається так:

Цей вираз не змінюється при перетворенні системи координат. Слід ще згадати про частинки з нульовою масою спокою, наприклад про фотон — частинку світла. Фотон схожий на частинку тим, що він переносить енергію та імпульс. Енергія фотона дорівнює добутку деякої сталої (стала Планка) на частоту світла: E=hv. Такий фотон несе з собою й імпульс, який (як у всякої частинки) дорівнює сталій h, поділеній на довжину хвилі світла: p = h/λ. Але у фотона зв'язок між частотою і довжиною хвилі цілком визначений: v=c/λ. (Кількість хвиль, що проходять за 1 с, помножена на їхню довжину, дасть відстань, яку проходить світло за 1 с, тобто с.) Ми відразу отримуємо, що енергія фотона дорівнює його імпульсу, помноженому на с, і, далі, поклавши с = 1, що енергія дорівнює імпульсу. Але це не означає, що маса спокою дорівнює нулю. Замислімося над цією цікавою обставиною. Якщо фотон — частинка з нульовою масою спокою, то що з ним буває, коли він зупиняється? Але він ніколи не зупиняється] Він завжди рухається зі швидкістю с. Звичайна формула для енергії — це m₀/√(1 - v²). Чи можна стверджувати, що при m₀ = 0 і v = 1 енергія фотона дорівнює нулю? Ні, не можна; насправді фотон може мати (і має) енергію, хоч і не має маси спокою, за рахунок того, що завжди рухається зі швидкістю світла! Ми знаємо також, що імпульс будь-якої частинки дорівнює добутку повної енергії на швидкість: p=vE при с = 1, або, у звичайних одиницях, p = vE/c². Для будь-якої частинки, яка рухається зі швидкістю світла, р=Е, якщо с=1. Формули для енергії фотона в рухомій системі даються, як і раніше, рівнянням (17.12), але замість імпульсу туди треба підставити енергію, помножену на с (на 1). Зміна енергії при перетворенні означає зміну частоти світла. Це явище називається ефектом Доплера; формулу для нього легко отримати з рівняння (17.12), поклавши Е = р і E = hv. Як сказав Мінковський: «Простір сам по собі і час сам по собі занурляться в річку забуття, а житиме далі лише своєрідний їхній союз».