Хоча геометрія простору-часу не звичайна (не евклідова), проте ця геометрія дуже схожа на евклідову, але в деяких відношеннях досить своєрідна. Якщо це уявлення про геометрію правильне, то мають існувати такі функції координат і часу, які не залежать від системи координат. Наприклад, за звичайних обертань, якщо взяти дві точки, одну для простоти в початку координат обох систем, а іншу в будь-якому іншому місці, то в обох системах координат відстань між точками буде однаковою. Це перша властивість точок, яка не залежить від конкретного способу вимірювання: квадрат відстані, або x2+y2+z2, не змінюється при поворотах. А як зі простором-часом? Неважко показати, що і тут є щось, що не залежить від способу вимірювання, а саме комбінація c2t2 - x2 - y2 - z2 однакова до і після перетворення
Зображення
Тому ця величина, подібно до відстані, «реальна» в тому сенсі, який було надано цьому слову вище; її називають інтервалом між двома просторово-часовими точками, одна з яких у цьому разі збігається з початком координат. (Точніше кажучи, це не інтервал, а квадрат інтервала, так само як і x2+y2+z2 — квадрат відстані.) Ця назва підкреслює відмінність у геометріях; зверніть увагу, що у формулі присутнє с, а деякі знаки обернені.
Позбудьмося с, воно нам не потрібне, якщо ми хочемо мати зручний простір, у якому х і t можна переставляти. Уявіть, до якої плутанини призведе вимірювання ширини за кутом, під яким видно предмет, а товщини — за скороченням м'язів під час фіксування ока на предметі, і вираження товщини в метрах, а ширини в радіанах. При перетвореннях рівнянь типу (17.2) тоді вийде страшне безладдя, і ніяк не вдасться розгледіти всю простоту і ясність предмета з тієї технічної причини, що те саме вимірюватиметься двома різними одиницями. За допомогою рівнянь (17.1) і (17.3) природа каже нам, що час рівнозначний простору; час стає простором; їх треба вимірювати в однакових одиницях. Яку відстань вимірює секунда? З рівняння (17.3) це легко зрозуміти: секунда — це 3*108 м, відстань, яку світло проходить за 1 с. Інакше кажучи, якби відстані і час ми вимірювали в однакових одиницях (секундах), то одиницею довжини було б 3*108 м, і рівняння спростилися б. А інший спосіб зрівняти одиниці — це вимірювати час у метрах. Чому дорівнює метр часу? Метр часу — це час, за який світло проходить відстань в 1 м, тобто (1/3)*108 с, або 3,3 мільярдних частки секунди! Іншими словами, нам треба записати всі рівняння в системі одиниць, де с = 1. Коли час і простір почнуть вимірюватися в однакових одиницях, рівняння, природно, спростяться:
Зображення
Можливо, ви сумніваєтеся в законності цього або вас «лякає», що, поклавши с=1, ви не зможете повернутися до правильних рівнянь? Навпаки, без с їх набагато легше запам'ятати, а с легко поставити на потрібні місця, якщо придивитися до розмірностей. Скажімо, у √(1 - u2) ми бачимо, що з неіменованого числа 1 доводиться віднімати іменоване (квадрат швидкості u2); природно, цей квадрат треба поділити на с2, щоб зробити від'ємник безрозмірним. Таким шляхом можна розставити с, де належить.
Дуже цікава відмінність між простором-часом і звичайним простором, відмінність між інтервалом і відстанню. Погляньте на формулу (17.5). Якщо дві події відбулися в якійсь системі координат в один і той самий час, але в різних точках простору, то, помістивши початок координат у точку, яка зображує одну з подій, ми отримаємо, що t=0, а, наприклад, х≠0. Отже, квадрат інтервала вийде від'ємним, а сам інтервал — уявним (квадратний корінь з від'ємного числа). Інтервали в цій теорії бувають і дійсні, і уявні, бо їхні квадрати можуть бути і додатними, і від'ємними (на відміну від відстані, квадрат якої буває тільки додатним). Коли інтервал уявний, кажуть, що інтервал між двома подіями (точками) просторовоподібний (а не уявний), бо такий інтервал виходив би завжди, якби весь світ застиг на одному часі. З іншого боку, якщо два предмети в даній системі координат потрапляють в одне й те саме місце в різні моменти часу, тоді t≠0, a x=y=z=0, і квадрат інтервала додатний; це називається часоподібним інтервалом. Далі, якщо провести на діаграмі простору-часу дві прямі під кутом 45° (у чотирьох вимірах вони обернуться на «конус», що називається світловим), то точки на цих прямих будуть відділені від початку координат нульовим інтервалом. Куди б з початку координат не поширювалося світло, все одно x2 + y2 + z2=c2t2, тобто інтервал між подією приходу світла в будь-яку точку і початком завжди дорівнює нулю [як легко побачити з (17.5)]. До речі, ми щойно довели, що швидкість світла в будь-яких системах координат однакова: адже якщо інтервал в обох системах однаковий, то, дорівнюючи нулю в одній із них, він дорівнює нулю і в іншій, і квадрат швидкості світла — відношення x`2 + y`2 + z`2 до t`2 — знову дорівнює с2.
Сказати, що швидкість поширення світла — інваріант, — це те саме, що сказати, що інтервал дорівнює нулю.